Fiche de révision : Introduction aux fonctions affines et suites numériques

📋 Plan du Cours

1. Fonctions affines et cas particuliers
2. Graphique d'une fonction affine
3. Phénomènes discrets et suites numériques
4. Suites explicites et de récurrence
5. Représentation graphique d'une suite

📖 1. Fonctions affines et cas particuliers

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction affine : Une fonction affine est définie pour tout réel x par f(x)=mx+p, avec m et p fixés réels.
• Fonction linéaire : Une fonction linéaire est le cas particulier d’une fonction affine lorsque p=0, donc f(x)=mx.
• Fonction constante : Une fonction constante est un cas particulier de fonction affine lorsque m=0, donc f(x)=p.
• Fonction non affine : Une fonction n’est pas affine si elle ne peut pas s’écrire sous la forme mx+p pour tous les réels x.

📝 Points essentiels

• Si une fonction affine s’écrit f(x)=mx+p, alors m et p sont des réels fixés.
• Si p=0, alors f(x)=mx et la fonction est linéaire.
• Si m=0, alors f(x)=p et la fonction est constante.
• Exemple : f(x)=6x-2 est affine avec m=6 et p=-2.
• Exemple : J(x)=2x² n’est pas affine car elle n’a pas la forme mx+p.

💡 Astuce mémo

Cas en p=0 (linéaire), cas en m=0 (constante) : une variable s’éteint.

📖 2. Graphique d'une fonction affine

🔑 Notions clés & Définitions

• Représentation graphique : La représentation graphique d’une fonction est l’ensemble des points (x,f(x)) à tracer dans un repère.
• Droite d’une fonction affine : La représentation graphique d’une fonction affine est une droite dans le plan.
• Deux points pour tracer : Pour tracer une droite, il suffit de connaître deux points distincts qui appartiennent à cette droite.
• Ordonnée à l’origine : L’ordonnée à l’origine est la valeur f(0), qui correspond à l’intersection avec l’axe des ordonnées.

📝 Points essentiels

• La représentation graphique d’une fonction affine est une droite.
• Pour tracer une fonction affine, on calcule deux points à partir de deux valeurs de x.
• Quand la fonction est linéaire, la droite passe par l’origine du repère.
• Quand la fonction est constante, la droite est parallèle à l’axe des abscisses.
• Exemple : pour g(x)=0,4x-2, on obtient A(0;-2) et B(5;0).

💡 Astuce mémo

Deux points suffisent : calcule g(0) pour l’ordonnée à l’origine, puis g(5) (ou un autre x) pour compléter.

📖 3. Phénomènes discrets et suites numériques

🔑 Notions clés & Définitions

• Phénomène discret : Un phénomène discret se modélise avec des valeurs indexées par des entiers naturels, au fil de rangs successifs.
• Suite numérique : Une suite numérique u est une fonction définie sur ℕ qui associe à chaque n un réel u(n).
• Terme de rang n : Le terme de rang n d’une suite u est la valeur u(n) associée à l’entier n.
• Notations de suite : Une suite peut s’écrire sous la forme (u(n)) ou (u_n) selon la notation utilisée.

📝 Points essentiels

• Une suite u est une fonction u: n ↦ u(n) définie sur ℕ.
• Le terme u(n) est aussi noté un dans les notations de suite.
• On dit qu’une suite modélise des phénomènes discrets car les rangs sont des entiers naturels.
• Les rangs n sont des entiers naturels, pas des réels.
• Dans le repère, on représente une suite par un nuage de points (n;u_n) pour n entier naturel.

💡 Astuce mémo

Suite = fonction sur ℕ : chaque n donne un u(n), donc des rangs discrets.

📖 4. Suites explicites et de récurrence

🔑 Notions clés & Définitions

• Formule explicite : Une formule explicite définit directement le terme u_n en fonction du rang n, sans utiliser le terme précédent.
• Relation de récurrence : Une relation de récurrence définit u_{n+1} à partir de u_n, en utilisant le terme précédent.
• Suite définie par une récurrence : Une suite définie par récurrence comporte une valeur de départ puis une règle pour passer au terme suivant.
• Valeur initiale : La valeur initiale est le terme fixé au rang de départ, utilisé pour démarrer le calcul par récurrence.

📝 Points essentiels

• Une formule explicite permet de calculer directement u_n à partir de n.
• Exemple explicite : pour n non nul, u_n=1/n donne u1=1, u2=1/2 et u36=1/36.
• Une récurrence calcule un terme grâce au terme précédent.
• Exemple récurrent : u0=-2 et u_{n+1}=3u_n+2 donne u1=3×(-2)+2=-4 et u2=3×(-4)+2=-10.

💡 Astuce mémo

Explicite = direct ; récurrence = on marche : u_{n+1} dépend de u_n.

📖 5. Représentation graphique d'une suite

🔑 Notions clés & Définitions

• Nuage de points : Un nuage de points est l’ensemble des points calculés à partir des couples (n,u_n) pour différents rangs n.
• Coordonnées (n ; u_n) : Les coordonnées d’un point de la représentation d’une suite sont formées par le rang n en abscisse et le terme u_n en ordonnée.
• Représentation dans un repère : La représentation graphique d’une suite se fait dans le plan, en utilisant un repère classique.

📝 Points essentiels

• Dans un repère, la représentation graphique d’une suite u est le nuage des points (n;u_n) pour n entier naturel.
• Le rang n apparaît en abscisse, et le terme correspondant u_n en ordonnée.
• Pour tracer, on calcule d’abord plusieurs termes u_n à partir de la définition de la suite.
• On obtient alors plusieurs points distincts qui forment le nuage.

💡 Astuce mémo

Graphique d’une suite : (rang n, valeur u_n) et tu relies rien tout de suite, tu mets des points.

📊 Tableaux de synthèse

Cas particuliers d’une affine

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre fonction linéaire et affine : une affine garde p possible, la linéaire impose p=0.
2. Croire que m=0 implique une fonction nulle : en réalité, on obtient une fonction constante f(x)=p.
3. Trier une fonction non affine comme affine : par exemple 2x² ne peut pas s’écrire mx+p.
4. Mauvaise lecture du graphique : confondre abscisse n et ordonnée u_n dans un point (n;u_n).
5. Oublier la valeur initiale en récurrence : sans u0, on ne peut pas démarrer le calcul.
6. Confondre formule explicite et récurrence : une explicite calcule u_n directement à partir de n.

✅ Checklist Examen

1. Donner la forme générale d’une fonction affine f(x)=mx+p avec m et p réels.
2. Identifier si une fonction est linéaire en vérifiant que p=0.
3. Identifier si une fonction est constante en vérifiant que m=0.
4. Déterminer avec un exemple si une fonction est affine ou non (ex : 2x²).
5. Expliquer pourquoi la représentation graphique d’une fonction affine est une droite.
6. Calculer deux points pour tracer une fonction affine (calcul de f(0) et f(5) ou autre).
7. Reconnaître que la droite d’une fonction linéaire passe par l’origine.
8. Reconnaître que la droite d’une fonction constante est parallèle à l’axe des abscisses.
9. Définir une suite numérique comme une fonction u:ℕ→ℝ.
10. Donner le terme de rang n d’une suite et sa notation u(n) ou u_n.
11. Calculer des termes d’une suite explicite à partir de u_n=1/n par exemple.
12. Calculer des termes d’une suite par récurrence à partir d’une valeur initiale et de u_{n+1}=3u_n+2.
13. Décrire la représentation graphique d’une suite comme le nuage des points (n;u_n) pour n entier naturel.