QCM : Introduction aux fonctions et équations fondamentales — 24 questions

Explication

La fonction racine carrée est strictement croissante sur \(\mathbb R^+\). Elle ne peut donc pas être décroissante ni constante sur cet intervalle.

Explication

Si \(x<0\), alors \(|x|=-x\). C’est précisément la définition de la valeur absolue dans le cas négatif.

Explication

L’axe de symétrie d’une parabole d’équation \(y=ax^2+bx+c\) a pour équation \(x=-\frac{b}{2a}\). La proposition avec le signe positif correspond à une erreur classique.

Explication

La forme factorisée \(a(x-x_1)(x-x_2)\) permet de lire immédiatement les racines. Elle ne donne pas directement l’axe ou le sommet comme le fait la forme canonique.

Explication

Une suite arithmétique vérifie \(u_{n+1}=u_n+r\) pour tout rang. La relation multiplicative \(u_{n+1}=qu_n\) caractérise au contraire une suite géométrique.

Explication

Pour une suite géométrique, le terme général est \(v_n=v_0q^n\). La forme \(v_0+nq\) correspondrait à une suite arithmétique, pas géométrique.

Explication

Le discriminant d’un trinôme \(ax^2+bx+c\) est \(\Delta=b^2-4ac\). C’est lui qui permet ensuite de déterminer le nombre de racines réelles.

Explication

Si \(\Delta<0\), le trinôme n’admet aucune racine réelle. Les cas d’une racine double ou de deux racines distinctes correspondent respectivement à \(\Delta=0\) et \(\Delta>0\).

Explication

Un radian est défini à partir de la longueur d’arc sur un cercle de rayon 1. Cette définition relie directement l’angle à une longueur sur le cercle trigonométrique.

Explication

Deux angles qui diffèrent d’un multiple de \(2\pi\) représentent le même angle orienté. C’est la périodicité fondamentale de la mesure angulaire en trigonométrie circulaire.

Explication

La fonction cosinus est paire, ce qui signifie que la valeur en -x est égale à celle en x. La périodicité de cosinus est bien de période 2π, pas π.

Explication

On sait que sin(π/6)=1/2. La valeur √3/2 correspond plutôt à cos(π/6).

Explication

Le nombre dérivé f'(a) est la pente de la tangente à la courbe au point d’abscisse a. Il correspond donc au coefficient directeur de cette tangente.

Explication

Sur ℝ*, la dérivée de 1/x est -1/x². Le signe négatif est essentiel et constitue une erreur fréquente.

Explication

Deux événements sont indépendants si la réalisation de l’un n’influence pas la probabilité de l’autre. Cela ne signifie pas qu’ils sont incompatibles.

Explication

Les probabilités totales permettent d’exprimer une probabilité comme somme de probabilités conditionnelles pondérées par une partition. Elles ne servent pas à calculer directement une espérance.

Explication

Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire vaut 0. L’égalité des normes ne suffit pas.

Explication

Dans un repère orthonormé, le produit scalaire de u(x,y) et v(x',y') vaut xx' + yy'. C’est la formule cartésienne de base.

Explication

Le taux d’accroissement mesure la pente moyenne entre les points de la courbe d’abscisses a et a+h. Le nombre dérivé est obtenu ensuite comme limite lorsque h tend vers 0.

Explication

L’équation de la tangente en a est y = f'(a)(x-a) + f(a). Elle utilise la pente f'(a) et le point de contact (a,f(a)).

Explication

La tangente au point d’abscisse a a pour pente f'(a) et passe par le point (a,f(a)). Son équation est donc y = f'(a)(x-a)+f(a).

Explication

Le signe de la dérivée indique si la fonction est croissante ou décroissante sur un intervalle, ce qui permet d’en étudier les variations. Les autres propositions concernent d’autres objets, comme les racines ou la forme factorisée, qui ne se déduisent pas directement du signe de la dérivée.

Explication

La fonction exponentielle transforme une somme en produit : exp(x+y)=exp(x)exp(y). C’est une propriété fondamentale de cette fonction.

Explication

Comme exp(-x) est l’inverse de exp(x), leur produit vaut 1. Cela découle directement de la propriété inverse de l’exponentielle.