Fiche de révision : Introduction aux fonctions linéaires et affines

📋 Plan du Cours

1. Fonctions linéaires
2. Représentation graphique
3. Proportionnalité
4. Tableaux de proportionnalité
5. Coefficient directeur
6. Fonctions affines
7. Forme f(x)=a x + b
8. Cas particulier fonctions constantes

📖 1. Fonctions linéaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction linéaire : Fonction de la forme $f(x) = a x$, où $a$ est un nombre fixé. Elle associe à tout nombre $x$ le nombre $a x$.
  AUTEUR (date) : Définition.
  Notation : $f : x \mapsto a x$.

• Coefficient $a$ : Nombre fixé qui détermine la pente de la droite représentative de la fonction linéaire.
  AUTEUR (date) : Définition.

• Représentation graphique d’une fonction linéaire : La droite d’équation $y = a x$, passant par l’origine du repère.
  AUTEUR (date) : Définition.

• Tableau de proportionnalité : Tableau où la deuxième ligne est l’image de la première par une fonction linéaire, illustrant la proportionnalité.
  AUTEUR (date) : Définition.

• Fonction affine : Fonction de la forme $f(x) = a x + b$, avec $a$ et $b$ fixés. Elle généralise la fonction linéaire en ajoutant un terme constant $b$.
  AUTEUR (date) : Définition.

📝 Points essentiels

• Une fonction linéaire est entièrement déterminée par le coefficient $a$, qui représente le coefficient directeur ou pente de la droite.
• La représentation graphique d’une fonction linéaire $f(x) = a x$ est une droite passant par l’origine, dont la pente est donnée par $a$.
• La relation $f(x) = a x$ implique que la fonction est proportionnelle : si $x$ est multiplié par un facteur, $f(x)$ l’est aussi, par le même facteur.
• La linéarité se vérifie aussi par la propriété $f(x + y) = f(x) + f(y)$ et $f(k x) = k f(x)$, pour tout $x, y$ et tout scalaire $k$.
• La fonction affine $f(x) = a x + b$ inclut la fonction linéaire comme cas particulier quand $b=0$.
• La représentation graphique de la fonction affine est une droite dont l’ordonnée à l’origine est $b$.
• La résolution d’équations du type $f(x) = c$ revient à résoudre une équation affine, souvent linéaire.

💡 À retenir

Une fonction linéaire est une fonction du type $f(x) = a x$ dont la représentation graphique est une droite passant par l’origine, caractérisée par son coefficient $a$ qui indique sa pente.

📖 2. Représentation graphique

🔑 Notions clés & Définitions

• Représentation graphique d’une fonction linéaire : La représentation graphique d’une fonction linéaire définie par f(x) = a x est une droite d’équation y = a x passant par l’origine du repère.
  AUTEUR (date) : La droite passe par l’origine, ce qui caractérise une fonction linéaire.

• Calcul d’un point sur la droite par f(x) = a x : Pour obtenir un point de la droite, il suffit de choisir une valeur de x, puis de calculer f(x). Par exemple, si x=5 et a=3,5, alors f(5)=17,5, donc le point A(5 ; 17,5) appartient à la droite.
  AUTEUR (date) : La méthode consiste à calculer f(x) pour un x donné afin de déterminer un point.

• Interprétation graphique du coefficient directeur comme pente de la droite : Le coefficient a dans f(x) = a x représente la pente de la droite, c’est-à-dire la variation de y quand x augmente d’une unité. Si a > 0, la droite monte (fonction croissante), si a < 0, elle descend (fonction décroissante).
  AUTEUR (date) : La pente est l’interprétation graphique du coefficient directeur.

📝 Points essentiels

• La droite d’équation y = a x est une représentation graphique d’une fonction linéaire, passant toujours par l’origine du repère.
• Pour déterminer un point sur cette droite, il suffit de choisir une valeur x, puis de calculer f(x) = a x. Par exemple, avec f(x) = 3,5 x, si x=5, alors f(5)=17,5, ce qui donne le point (5 ; 17,5).
• La pente de la droite, donnée par le coefficient a, indique la rapidité avec laquelle la fonction augmente ou diminue. Un coefficient positif indique une croissance, un coefficient négatif une décroissance.
• La représentation graphique permet d’interpréter visuellement la relation entre x et f(x), notamment la proportionnalité si la droite passe par l’origine.

💡 À retenir

La représentation graphique d’une fonction linéaire est une droite passant par l’origine, dont la pente correspond au coefficient directeur, permettant d’interpréter visuellement la relation entre x et f(x).

📖 3. Proportionnalité

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction linéaire : Selon PRELE J-C (collège Joffre), c’est une fonction du type $f(x) = a x$, où $a$ est un nombre fixé. La fonction associe à tout nombre $x$ le nombre $a x$. Elle représente une situation de proportionnalité, avec le coefficient de proportionnalité égal à $a$.

• Coefficient de proportionnalité : C’est le coefficient $a$ dans une fonction linéaire $f(x) = a x$. Il indique la pente de la droite représentative, c’est-à-dire la variation de $f(x)$ lorsque $x$ augmente d’une unité. Il est aussi appelé coefficient directeur dans une représentation graphique.

• Relation entre augmentation de $x$ et augmentation de $f(x)$ : Dans une fonction linéaire, lorsque $x$ augmente d’une unité, $f(x)$ augmente de $a$ unités. Cette relation traduit la proportionnalité entre $x$ et $f(x)$.

• Tableau de proportionnalité : C’est un tableau où la deuxième ligne est l’image de la première par une fonction linéaire. Par exemple, si $f(x) = 3,5 x$, alors le tableau de proportionnalité associe chaque $x$ à $f(x)$. La présence d’un tel tableau caractérise une situation de proportionnalité, avec le coefficient de proportionnalité égal à $a$.

📝 Points essentiels

• Une fonction linéaire $f(x) = a x$ modélise une situation de proportionnalité, où $a$ est le coefficient de proportionnalité ou coefficient directeur. La représentation graphique est une droite passant par l’origine, avec une pente égale à $a$.

• La représentation graphique d’une fonction linéaire $f(x) = a x$ est la droite d’équation $y = a x$, passant par l’origine du repère. La pente de cette droite, appelée coefficient directeur, est le coefficient de proportionnalité.

• La relation entre $x$ et $f(x)$ est linéaire : si $x$ augmente de 1, $f(x)$ augmente de $a$. La constance de cette variation est la caractéristique de la proportionnalité.

• Un tableau de proportionnalité est un outil permettant de vérifier si une relation est proportionnelle : si les images sont proportionnelles aux $x$, alors la relation est une fonction linéaire avec un coefficient de proportionnalité constant.

• La fonction affine $f(x) = a x + b$ généralise la fonction linéaire en introduisant une valeur de décalage $b$. Si $b=0$, la fonction est linéaire ; si $a=0$, c’est une fonction constante.

💡 À retenir

Une fonction linéaire, représentée par une droite passant par l’origine, modélise une situation de proportionnalité, où le coefficient de proportionnalité $a$ indique la variation de $f(x)$ en fonction de $x$. Le tableau de proportionnalité est un outil clé pour vérifier cette relation.

📖 4. Tableaux de proportionnalité

🔑 Notions clés & Définitions

• Tableau de proportionnalité : Un tableau où la deuxième ligne est l’image de la première par une fonction linéaire, c’est-à-dire que chaque valeur de la deuxième ligne est obtenue en appliquant une fonction linéaire à la valeur correspondante de la première ligne.
• Fonction linéaire : Fonction de la forme f(x) = a x, où a est un nombre fixé, qui associe à tout x un nombre a x. La représentation graphique est une droite passant par l’origine, avec une pente égale à a.
• Lien entre tableau de proportionnalité et fonction linéaire : Un tableau de proportionnalité est une illustration concrète d’une fonction linéaire, où chaque paire de valeurs (x, f(x)) respecte la relation f(x) = a x, avec a constant.
• Exemple de tableau avec f(x) = 3,5 x : La première ligne contient des valeurs de x, la seconde ligne contient leurs images par la fonction f(x) = 3,5 x, illustrant la proportionnalité.
• Caractère de proportionnalité : Lorsque la deuxième ligne est l’image de la première par une fonction linéaire, le tableau vérifie la proportionnalité si le rapport entre chaque f(x) et x est constant, égal à a.

📝 Points essentiels

• Un tableau de proportionnalité est constitué de deux lignes où la seconde est l’image de la première par une fonction linéaire, c’est-à-dire que chaque valeur de la deuxième ligne est obtenue en multipliant la valeur correspondante de la première ligne par un coefficient constant a.
• La représentation graphique d’une fonction linéaire f(x) = a x est une droite passant par l’origine, dont la pente a correspond au coefficient de proportionnalité.
• Lorsqu’on construit un tableau de proportionnalité avec la fonction f(x) = 3,5 x, on vérifie que pour chaque x, f(x) = 3,5 x, ce qui confirme la proportionnalité.
• La relation f(17) = f(5 + 12) = f(5) + f(12) et f(20) = 4 f(5) montre la linéarité et la proportionnalité dans le tableau.
• La constante de proportionnalité a (ex : 3,5) indique que lorsque x augmente d’une unité, f(x) augmente de a unités. La fonction est croissante si a > 0.
• Un tableau de proportionnalité permet de vérifier si deux grandeurs sont proportionnelles, en vérifiant que le rapport entre f(x) et x est constant.

💡 À retenir

Un tableau de proportionnalité est une représentation concrète d’une fonction linéaire où chaque valeur de la seconde ligne est obtenue en multipliant la valeur de la première par un coefficient constant, illustrant la relation de proportionnalité.

📖 5. Coefficient directeur

🔑 Notions clés & Définitions

• Coefficient directeur (a) : dans une fonction de la forme f(x) = a x ou f(x) = a x + b, c’est le nombre a qui indique la pente de la droite représentative de la fonction.
  AUTEUR (date) : « Le coefficient directeur est le coefficient de proportionnalité dans une fonction linéaire » (source).

• Interprétation du coefficient directeur : il représente la pente de la droite, c’est-à-dire la variation de f(x) lorsque x augmente d’une unité. Si a > 0, la fonction est croissante ; si a < 0, elle est décroissante.
  AUTEUR (date) : « La représentation graphique d’une fonction linéaire définie par f(x) = a x, est la droite d’équation y = a x, passant par l’origine du repère » (source).

• Lien avec la croissance ou décroissance : un coefficient directeur positif indique une croissance de la fonction (la droite monte), un coefficient négatif indique une décroissance (la droite descend).
  AUTEUR (date) : « Lorsque x augmente d’une unité, f(x) augmente de a unités » (source).

• Fonction linéaire et coefficient de proportionnalité : dans une fonction linéaire, le coefficient directeur a est aussi le coefficient de proportionnalité entre x et f(x).
  AUTEUR (date) : « La fonction f(x) = a x est une situation de proportionnalité, son coefficient de proportionnalité est a » (source).

📝 Points essentiels

• Le coefficient directeur a est le nombre qui indique la pente de la droite représentant la fonction linéaire ou affine.
• La valeur de a détermine si la fonction est croissante (a > 0) ou décroissante (a < 0).
• La représentation graphique d’une fonction linéaire f(x) = a x est une droite passant par l’origine, avec une pente égale à a.
• La variation de f(x) lorsque x augmente d’une unité est précisément donnée par a : f(x + 1) - f(x) = a.
• Dans une fonction affine f(x) = a x + b, le coefficient directeur a reste le même, indépendamment de b.
• La relation entre coefficient directeur et proportionnalité est fondamentale : a est le coefficient de proportionnalité dans une situation de proportionnalité (voir section 3).

💡 À retenir

Le coefficient directeur a est la pente de la droite représentant une fonction linéaire ou affine, déterminant si la fonction croît ou décroît, et correspondant au coefficient de proportionnalité dans une situation de proportionnalité.

📖 6. Fonctions affines

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction affine : AUTEUR (date) : fonction de la forme $f(x) = a x + b$, où $a$ et $b$ sont des nombres fixés. Elle associe à chaque nombre $x$ un nombre $a x + b$.
• Notation : La fonction affine est notée $f : x \mapsto a x + b$ ou $f(x) = a x + b$.
• Lien avec fonction linéaire : Si $b=0$, alors $f(x) = a x$, ce qui correspond à une fonction linéaire (voir section 1).
• Lien avec fonction constante : Si $a=0$, alors $f(x) = b$, ce qui correspond à une fonction constante (voir section 8).

📝 Points essentiels

• La fonction affine est une généralisation de la fonction linéaire, intégrant un terme constant $b$.
• La forme $f(x) = a x + b$ permet de représenter graphiquement la droite d’équation $y = a x + b$.
• Si $b=0$, la fonction est linéaire : la droite passe par l’origine, et le coefficient $a$ est le coefficient directeur ou pente.
• Si $a=0$, la fonction est constante : la droite est parallèle à l’axe des abscisses, et la valeur est toujours $b$.
• La valeur de $f(x)$ pour un $x$ donné se calcule par $f(x) = a x + b$. Par exemple, pour $f(x) = 0,3 x + 40$, on trouve $f(10) = 43$.
• La résolution d’équations comme $f(x) = y$ permet de déterminer l’antécédent $x$, par exemple : $0,3 x + 40 = 49 \Rightarrow x=30$.

💡 À retenir

Une fonction affine est une droite représentée par $f(x) = a x + b$, où $a$ est le coefficient directeur et $b$ l’ordonnée à l’origine, permettant de modéliser des relations linéaires ou constantes selon les cas.

📖 7. Forme f(x)=a x + b

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction affine : Fonction de la forme $f(x) = a x + b$, où $a$ et $b$ sont des nombres fixés. Elle associe à chaque nombre $x$ un nombre $a x + b$.
  Exemple : $f(x) = 0,3 x + 40$.
  (source : contenu source)

• Coefficient $a$ : Dans la forme $f(x) = a x + b$, $a$ est le coefficient de proportionnalité ou coefficient directeur, représentant la pente de la droite.
  Signification : Lorsqu’on augmente $x$ d’une unité, $f(x)$ augmente de $a$ unités.
  (source : contenu source)

• Coefficient $b$ : Dans la forme $f(x) = a x + b$, $b$ est l’ordonnée à l’origine, c’est la valeur de $f(x)$ lorsque $x=0$.
  Signification : Point d’intersection de la droite avec l’axe des ordonnées.
  (source : contenu source)

📝 Points essentiels

• La forme générale d’une fonction affine est $f(x) = a x + b$, où $a$ et $b$ sont fixés.
• Si $b=0$, la fonction est linéaire : $f(x) = a x$.
• Si $a=0$, la fonction est constante : $f(x) = b$.
• La représentation graphique d’une fonction affine est une droite passant par le point $(0, b)$ avec une pente $a$.
• La valeur de $f(x)$ pour un $x$ donné se calcule en remplaçant $x$ dans la formule : par exemple, pour $f(x) = 0,3 x + 40$, $f(10) = 0,3 \times 10 + 40 = 43$.
• La résolution d’une équation $f(x) = y$ consiste à isoler $x$ : par exemple, pour $f(x) = 49$, on résout $0,3 x + 40 = 49$, ce qui donne $x=30$.
• La forme $f(x) = a x + b$ permet de modéliser des situations de croissance ou décroissance, en fonction du signe de $a$.
• La fonction affine est une extension de la fonction linéaire, intégrant une translation verticale par $b$.

💡 À retenir

La fonction affine $f(x) = a x + b$ est une droite dont la pente $a$ indique la croissance ou décroissance, et dont l’ordonnée à l’origine $b$ indique le point d’intersection avec l’axe des ordonnées.

📖 8. Cas particulier fonctions constantes

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction constante : fonction de la forme $f(x) = b$, où $b$ est une valeur fixée. Elle associe à tout $x$ la même valeur $b$.
• Cas particulier de la fonction affine avec $a=0$ : lorsque dans une fonction affine $f(x) = a x + b$, on a $a=0$, la fonction devient une fonction constante $f(x) = b$.
• Représentation graphique d’une fonction constante : une droite parallèle à l’axe des abscisses (axe $x$), située à la hauteur $b$ sur l’axe des ordonnées (axe $y$).
• Auteur : PRELE J-C (collège Joffre, 2023) : la fonction constante associe à tout $x$ la même valeur $b$.

📝 Points essentiels

• La fonction constante est une fonction affine où le coefficient $a=0$.
• Son graphique est une droite horizontale, parallèle à l’axe $x$, située à la hauteur $b$ (valeur constante).
• La valeur $b$ est l’image de tout $x$, c’est-à-dire $f(x) = b$ pour tout $x$.
• La représentation graphique est une droite horizontale, passant par tous les points $(x, b)$.
• La fonction constante est un cas particulier de la fonction affine, qui elle-même est un cas particulier de la fonction linéaire lorsque $a=0$.
• La simplicité de cette fonction permet de modéliser des situations où une grandeur reste inchangée indépendamment de la variable $x$.

💡 À retenir

Une fonction constante est une fonction affine dont le coefficient directeur est nul, dont le graphique est une droite horizontale située à la hauteur de la valeur constante $b$.

📊 Tableaux de Synthèse

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre la fonction affine $f(x) = a x + b$ avec la fonction linéaire $f(x) = a x$.
2. Croire qu’une droite passant par l’origine n’a pas de terme constant, alors que c’est une caractéristique essentielle.
3. Confondre la pente $a$ avec l’ordonnée à l’origine $b$ dans la représentation graphique.
4. Penser qu’une fonction linéaire ne peut pas avoir un décalage $b$ différent de zéro.
5. Oublier que la proportionnalité est caractérisée par une fonction linéaire passant par l’origine.
6. Se tromper dans le calcul d’un point en utilisant la formule $f(x) = a x$.
7. Confondre la représentation graphique d’une fonction affine avec celle d’une fonction constante ou d’une fonction non linéaire.

✅ Checklist Examen

1. Connaître la définition d’une fonction linéaire selon Définition (date inconnue).
2. Savoir que la représentation graphique d’une fonction linéaire est une droite passant par l’origine, avec pente $a$.
3. Maîtriser la formule $f(x) = a x$ pour une fonction linéaire.
4. Savoir que le coefficient $a$ représente la pente ou coefficient directeur.
5. Connaître la définition d’une fonction affine $f(x) = a x + b$ et ses différences avec la fonction linéaire.
6. Savoir que la représentation graphique d’une fonction affine est une droite dont l’ordonnée à l’origine est $b$.
7. Comprendre que la proportionnalité se caractérise par une fonction linéaire $f(x) = a x$ passant par l’origine.
8. Savoir calculer un point sur la droite en choisissant une valeur $x$ et en calculant $f(x)$.
9. Connaître la relation entre la variation de $x$ et celle de $f(x)$ dans une fonction linéaire.
10. Être capable d’interpréter graphiquement la pente comme la rapidité de croissance ou décroissance.
11. Savoir utiliser un tableau de proportionnalité pour vérifier si une relation est proportionnelle.
12. Connaître la relation entre tableau de proportionnalité et fonction linéaire, notamment la constance du coefficient $a$.