Fiche de révision : Introduction aux fondamentaux de la statistique

📌 L'essentiel

• La statistique permet de collecter, d’analyser, d’interpréter et de représenter des données.
• La différence entre statistique descriptive (résumer) et inférentielle (estimer).
• La loi normale et la loi de Student, fondamentales pour l’estimation et les intervalles de confiance.
• L’échantillonnage, outil clé pour réduire coûts et temps tout en assurant la représentativité.
• La loi de Student est adaptée aux petits échantillons ou lorsque la variance de la population est inconnue.
• La règle empirique décrit la distribution normale : 68% à ±1σ, 95% à ±2σ, 99.7% à ±3σ.

📖 Concepts clés

Variable : Caractéristique mesurable d’un individu, quantitative ou qualitative.
Individu/observation : Unité étudiée (personne, objet, etc.).
Population : Ensemble complet d’individus ou d’observations.
Échantillon : Sous-ensemble représentatif de la population.
Estimateur : Règle ou formule pour estimer un paramètre à partir de l’échantillon.

📐 Formules et lois

Moyenne d’échantillon : $\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$
Variance d’échantillon : $s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2$
Écart-type d’échantillon : $s = \sqrt{s^2}$
Loi normale : distribution continue en forme de cloche, paramétrée par la moyenne $\mu$ et l’écart-type $\sigma$.
Loi normale centrée réduite : $Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0{,}1)$
Règle empirique : En loi normale, environ 68% des observations dans $\pm 1\sigma$, 95% dans $\pm 2\sigma$, 99.7% dans $\pm 3\sigma$.

🔍 Méthodes

1. Définir la population cible précisément.
2. Choisir ou déterminer la taille de l’échantillon $n$, en s’assurant qu’il est représentatif.
3. Sélectionner la méthode d’échantillonnage adaptée (aléatoire simple, stratifié, en grappes…).
4. Recueillir les données avec rigueur.
5. Calculer les statistiques de l’échantillon : moyenne, variance, écart-type.
6. Vérifier la normalité si l’utilisation de la loi normale est nécessaire (tests).
7. Estimer le paramètre de la population et construire un intervalle de confiance.
8. Effectuer des tests d’hypothèses si cela est pertinent.

💡 Exemples

• Pesée d’un lot de bocaux suivant une loi normale $N(250, 7.5)$, estimation de la proportion pesant moins de 248g.
• Analyse d’achats pour déterminer la dépense moyenne et son intervalle.
• Évaluation du risque de dépassement de limite de charge en utilisant la moyenne et l’écart-type du poids des passagers.

⚠️ Pièges

• Confondre moyenne d’échantillon et de la population.
• Mal interpréter $\mu$ et $\sigma$.
• Employer la loi de Student à tort si la taille de l’échantillon est grande ou si la variance populationnelle est connue.
• Négliger la variabilité des données.
• Sous-estimer l’importance de la représentativité de l’échantillon.
• Confondre intervalle de confiance et intervalle de prédiction.
• Appliquer incorrectement la règle empirique si la distribution n’est pas normale.

📊 Synthèse comparative

✅ Checklist examen

• Définir clairement variable, population, échantillon.
• Connaître formule moyenne, variance et écarts-type.
• Comprendre les principes des lois normales et de Student.
• Savoir construire un intervalle de confiance.
• Savoir choisir la méthode d’échantillonnage adaptée.
• Être capable d’effectuer un test d’hypothèses.
• Connaître les pièges courants et éviter leur erreur.