Fiche de révision : Introduction aux lois et calculs en probabilités discrètes

📋 Plan du Cours

1. Probabilités conditionnelles en français
2. Variables aléatoires discrètes
3. Loi uniforme discrète
4. Loi binomiale
5. Loi géométrique
6. Indépendance des événements
7. Probabilités totales
8. Coefficient binomial
9. Espérance et variance
10. Calculs avec lois de Bernoulli

📖 1. Probabilités conditionnelles en français

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité sur un univers fini : La probabilité d’un évènement est un nombre compris entre 0 et 1, associé à chaque évènement élémentaire d’un univers fini U, tel que la somme des probabilités de tous les évènements élémentaires est égale à 1. (source : page 192)

• Évènement certain et évènement impossible : L’évènement certain a une probabilité égale à 1, celui impossible a une probabilité égale à 0. (source : page 192)

• Évènement contraire : Si A est un évènement, son évènement contraire Ā est constitué de tous les éléments de U qui ne sont pas dans A. La relation p(A) + p(Ā) = 1 exprime cette opposition. (source : page 192)

• Probabilité conditionnelle : La probabilité que B se réalise sachant que A est réalisé, notée p_B(A), est définie par p_B(A) = p(A ∩ B) / p(B), avec p(B) ≠ 0. (source : page 192)

• Intersection et réunion d’évènements :

  • L’intersection A ∩ B est l’ensemble des issues communes à A et B.
  • La réunion A ∪ B est l’ensemble des issues appartenant à A ou à B (ou aux deux). La formule fondamentale est p(A ∪ B) = p(A) + p(B) – p(A ∩ B). (source : pages 192-193)

📝 Points essentiels

• La probabilité sur un univers fini U est définie en associant à chaque évènement élémentaire eᵢ une probabilité pᵢ, telle que la somme p₁ + p₂ + ... + pₙ = 1. La probabilité d’un évènement A est la somme des probabilités des évènements élémentaires qui le composent.
• La relation p(A) + p(Ā) = 1 permet d’établir la complémentarité entre un évènement et son contraire.
• La probabilité conditionnelle p_B(A) permet de mettre à jour la probabilité de B en tenant compte du fait que A est réalisé, ce qui est visualisé aisément par un arbre de probabilité.
• Deux évènements A et B sont indépendants si p(A ∩ B) = p(A) × p(B), ce qui implique que la réalisation de l’un n’affecte pas la probabilité de l’autre.
• La formule p(A ∪ B) = p(A) + p(B) – p(A ∩ B) est fondamentale pour calculer la probabilité de la réunion de deux évènements.

💡 À retenir

La probabilité conditionnelle permet de mettre à jour la probabilité d’un évènement en fonction d’une information préalable, en utilisant la formule p_B(A) = p(A ∩ B) / p(B). La relation entre évènements, leur indépendance et leur complémentarité est essentielle pour manipuler et calculer les probabilités dans un univers fini.

📖 2. Variables aléatoires discrètes

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable aléatoire discrète : Fonction $X : U \to \mathbb{R}$, où $U$ est un univers fini, associant à chaque élément un nombre réel. Elle prend un nombre fini ou dénombrable de valeurs possibles.
• Ensemble fini des valeurs prises par une variable aléatoire : L’ensemble des images de $X$, c’est-à-dire les valeurs $x_i$ telles que $X(\omega) = x_i$ pour certains $\omega \in U$.
• Définition d’une loi de probabilité associée à une variable aléatoire discrète : Attribution à chaque valeur $x_i$ de $X$ d’une probabilité $P(X = x_i)$, telle que $\sum_i P(X = x_i) = 1$.
• Notations et calcul de $P(X = x_i)$ : La probabilité que la variable prenne la valeur $x_i$, notée $P(X = x_i)$, se calcule souvent via un tableau ou en utilisant la loi de probabilité.
• Exemple d’une variable aléatoire non définie par une couleur (non numérique) : La couleur d’une boule tirée dans une urne ne définit pas une variable aléatoire discrète si elle n’est pas associée à une valeur numérique.
• Interprétation de l’espérance comme valeur moyenne : $E(X) = \sum_i x_i \times P(X = x_i)$, représentant la moyenne théorique de $X$ si l’expérience est répétée un grand nombre de fois.

📝 Points essentiels

• La variable aléatoire discrète est une fonction $X : U \to \mathbb{R}$, où $U$ est un univers fini ou dénombrable, permettant de modéliser des résultats numériques issus d’expériences aléatoires.
• La loi de probabilité associée à $X$ est définie par la liste des probabilités $P(X = x_i)$, qui doivent satisfaire $\sum_i P(X = x_i) = 1$.
• La valeur $E(X)$ est la moyenne pondérée des valeurs possibles, avec pour poids leur probabilité, ce qui donne une interprétation en termes de moyenne théorique.
• La connaissance de l’ensemble fini des valeurs prises par $X$ permet de calculer facilement ses caractéristiques (espérance, variance).
• La variable aléatoire peut prendre des valeurs numériques ou non, mais pour être discrète, ses valeurs doivent être dénombrables et associées à des probabilités.

💡 À retenir

Une variable aléatoire discrète est une fonction dénombrable associant chaque issue d’une expérience aléatoire à un nombre réel, avec une loi de probabilité définie par la distribution de ces valeurs. Son espérance représente la moyenne théorique de ses résultats.

📖 3. Loi uniforme discrète

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi uniforme discrète : Loi de probabilité où toutes les valeurs d’un univers fini sont équiprobables, c’est-à-dire que chaque issue a la même probabilité de se produire. Formule : p(X = xᵢ) = 1/n, avec n la taille de l’univers (source : contenu source).

• Univers U : Ensemble fini contenant n éléments {x₁, x₂, ..., xₙ} sur lequel la variable aléatoire X est définie. La loi uniforme discrète s’applique lorsque chaque élément a la même chance d’être tiré.

• Espérance E(X) pour une loi uniforme discrète : La valeur moyenne ou attendue de la variable X. Formule : E(X) = (x₁ + x₂ + ... + xₙ) / n.

  • Si U = {1, 2, ..., n} : E(X) = (n + 1) / 2 (source : contenu source).
  • Si U = {a, a+1, ..., b} : E(X) = (a + b) / 2 (source : contenu source).

• Exemples d’univers :

  • {1, ..., n} avec p(X = k) = 1/n.
  • {a, ..., b} avec p(X = xᵢ) = 1 / (b - a + 1).

📝 Points essentiels

• La loi uniforme discrète suppose que chaque issue est équiprobable, ce qui implique p(X = xᵢ) = 1/n pour tout i.
• La formule de l’espérance pour un univers {1, ..., n} est E(X) = (n + 1) / 2, ce qui correspond à la moyenne arithmétique des valeurs possibles.
• Pour un univers {a, ..., b}, l’espérance est E(X) = (a + b) / 2.
• La propriété fondamentale est que toutes les valeurs ont la même probabilité, ce qui simplifie le calcul de l’espérance et facilite l’analyse des résultats.

💡 À retenir

La loi uniforme discrète attribue une probabilité identique à chaque issue d’un univers fini, et son espérance est la moyenne arithmétique des valeurs possibles. Elle modélise des situations où chaque résultat est également probable, comme le tirage au hasard d’un nombre ou d’un jeton numéroté.

📖 4. Loi binomiale

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi de Bernoulli (voir section 8) : loi probabiliste associée à une expérience à deux issues, avec un paramètre p, où la probabilité d’un succès est p, et celle d’un échec est 1 - p. La variable aléatoire X prend la valeur 1 en cas de succès et 0 en cas d’échec, avec p(X=0) = 1 - p et p(X=1) = p.

• Loi binomiale (voir section 10) : loi de probabilité qui résulte de la répétition indépendante de n épreuves de Bernoulli identiques, où la variable aléatoire X compte le nombre de succès. Elle est notée B(n, p) et sa probabilité est donnée par p(X = k) = (n k) × p^k × (1 - p)^{n - k}.

• Coefficient binomial (voir section 8) : nombre de façons de choisir k succès parmi n essais, noté (n k), calculé par (n k) = n! / [k! (n - k)!].

📝 Points essentiels

• La loi binomiale modélise le nombre de succès dans une suite de n épreuves de Bernoulli indépendantes, chacune avec succès de probabilité p. La variable X suit la loi B(n, p).

• La probabilité d’obtenir exactement k succès est donnée par la formule :
  $p(X = k) = (n k) \times p^k \times (1 - p)^{n - k}$

• La somme des probabilités pour k allant de 0 à n est égale à 1 : $\sum_{k=0}^n p(X=k) = 1$.

• L’espérance mathématique de X est $E(X) = n \times p$, et la variance est $V(X) = n p (1 - p)$ (voir section 9).

• La loi binomiale est une généralisation de la loi de Bernoulli (voir section 8), correspondant à la somme de n variables de Bernoulli indépendantes.

• La représentation graphique d’une loi binomiale montre la distribution des probabilités pour chaque nombre de succès k (voir section 10).

💡 À retenir

La loi binomiale modélise le nombre de succès dans une série d’épreuves indépendantes de Bernoulli, avec une formule de probabilité précise, et ses paramètres n et p déterminent la forme de la distribution.

📖 5. Loi géométrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Succession d’épreuves indépendantes : série d’expériences où le résultat de chacune n’influence pas celui des autres, et où chaque expérience a la même loi de probabilité (voir "Lien entre indépendance et répétition d’épreuves de Bernoulli").
• Épreuve de Bernoulli : expérience aléatoire à deux issues possibles, souvent notées succès (S) et échec (S̅), avec une probabilité p pour le succès (voir "Définition d’une épreuve de Bernoulli").
• Variable aléatoire de la loi géométrique : nombre d’essais nécessaires jusqu’au premier succès dans une série d’épreuves de Bernoulli indépendantes, avec la même probabilité p (voir "Propriétés").
• p(X = k) : probabilité que le premier succès survienne au k-ième essai, donnée par p(X = k) = (1-p)^(k-1) × p (voir "Propriétés").
• Propriété de mémoire : la loi géométrique possède la propriété que la probabilité de continuer à échouer après n essais est (1-p)^n, indépendamment du nombre d’échecs précédents (voir "Propriétés").

📝 Points essentiels

• La variable aléatoire X suit une loi géométrique de paramètre p, qui modélise le nombre d’épreuves jusqu’au premier succès dans une suite d’épreuves de Bernoulli indépendantes (voir "Propriété 1").
• La loi géométrique est caractérisée par la formule p(X = k) = (1-p)^(k-1) × p, pour k ≥ 1.
• La moyenne d’attente, ou espérance, du nombre d’essais avant le premier succès est E(X) = 1/p, ce qui indique que plus p est élevé, plus le succès survient rapidement (voir "Propriétés").
• La propriété de mémoire indique que la probabilité de continuer à échouer après n essais ne dépend pas du nombre d’échecs déjà observés, ce qui facilite la modélisation de processus répétitifs (voir "Propriété 1").

💡 À retenir

La loi géométrique modélise le nombre d’épreuves nécessaires pour obtenir le premier succès dans une série d’expériences indépendantes de Bernoulli, avec une propriété de mémoire qui simplifie son analyse.

📖 6. Indépendance des événements

🔑 Notions clés & Définitions

• Indépendance entre deux événements A et B : Deux événements A et B sont dits indépendants si la réalisation de l’un ne modifie pas la probabilité de réalisation de l’autre. Formule : p(A ∩ B) = p(A) × p(B).
• Condition équivalente d’indépendance : La probabilité de B sachant A, notée p_B(A), est égale à p(B), c’est-à-dire p_B(A) = p(B), ou de façon symétrique p_A(B) = p(A), où p_B(A) = p(A ∩ B) / p(B) (voir section 1).
• Propriété d’indépendance avec les complémentaires : Si A et B sont indépendants, alors leurs complémentaires Ā et B le sont aussi, c’est-à-dire p(Ā ∩ B) = p(Ā) × p(B).

📝 Points essentiels

• Deux événements A et B sont indépendants si et seulement si p(A ∩ B) = p(A) × p(B). Cette formule est la définition fondamentale de l’indépendance (voir aussi la condition équivalente via les probabilités conditionnelles).
• La propriété d’indépendance s’étend aux complémentaires : si A et B sont indépendants, alors p(Ā ∩ B) = p(Ā) × p(B). Cela permet de vérifier l’indépendance en utilisant aussi leurs compléments.
• Deux événements incompatibles (intersection vide, A ∩ B = ∅) ne peuvent pas être indépendants sauf si p(A) = 0 ou p(B) = 0. En effet, dans ce cas, p(A ∩ B) = 0 ≠ p(A) × p(B) sauf si l’un des deux événements a une probabilité nulle.
• La formule pour deux événements incompatibles est : p(A ∪ B) = p(A) + p(B), car p(A ∩ B) = 0 (voir section 1).

💡 À retenir

L’indépendance entre deux événements A et B est caractérisée par la relation p(A ∩ B) = p(A) × p(B), ce qui signifie que la réalisation de l’un n’influence pas la probabilité de l’autre.

📖 7. Probabilités totales

🔑 Notions clés & Définitions

• Partition (voir section 3) : Ensemble d’évènements A1, A2, ..., An non vides, disjoints deux à deux, dont la réunion couvre tout l’univers U, c’est-à-dire :

  • Ai ≠ ∅ pour tout i
  • Ai ∩ Aj = ∅ pour tout i ≠ j
  • A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An = U

• Théorème des probabilités totales (voir page 4) : Si A1, A2, ..., An forment une partition de U et B un évènement de U, alors :
  $p(B) = \sum_{i=1}^n p(B \cap A_i)$
  ou encore, en utilisant la probabilité conditionnelle :
  $p(B) = \sum_{i=1}^n p(A_i) \times p_B(A_i)$

• Utilisation d’un arbre pondéré (voir page 3) : Outil graphique permettant de représenter et calculer des probabilités conditionnelles. Chaque branche correspond à une issue ou évènement, avec une probabilité associée, et la probabilité d’un chemin est le produit des probabilités des branches. La somme des probabilités des chemins aboutissant à un évènement donne la probabilité de cet évènement.

📝 Points essentiels

• La partition permet de décomposer la calcul de probabilités d’un évènement B en la somme des probabilités de B intersectant chaque sous-évènement A_i de la partition.
• Le théorème des probabilités totales est fondamental pour traiter des événements dépendants ou conditionnels, en particulier lorsque l’univers est divisé en sous-ensembles disjoints couvrant tout l’espace.
• La visualisation par arbre pondéré facilite la compréhension des probabilités conditionnelles et leur calcul, notamment dans des situations complexes ou successives.
• Exemple d’application : Si l’on souhaite calculer p(B) dans un contexte où l’univers U est partitionné en plusieurs classes (exemple : niveaux d’élèves, modes de transport), on peut utiliser la formule du théorème des probabilités totales pour simplifier le calcul.

💡 À retenir

Le théorème des probabilités totales permet de décomposer la probabilité d’un évènement en sommation de probabilités conditionnelles sur une partition de l’univers, facilitant ainsi le calcul dans des situations complexes ou hiérarchisées.

📖 8. Coefficient binomial

🔑 Notions clés & Définitions

• Coefficient binomial (n k) : Nombre de façons de choisir k éléments parmi n sans tenir compte de l’ordre, défini par la formule (n k) = n! / (k! (n - k)!) où n! désigne la factorielle de n.
• Propriétés combinatoires du coefficient binomial :
  • (n 0) = 1 et (n n) = 1,
  • (n k) = (n-1 k-1) + (n-1 k) (relation de Pascal),
  • (n k) est le nombre de chemins menant à k succès dans un arbre de Bernoulli à n épreuves (voir aussi la propriété 1).
• Utilisation dans la loi binomiale :
  • La probabilité d’obtenir k succès en n essais indépendants de Bernoulli avec succès p est donnée par p(X = k) = (n k) × p^k × (1 - p)^{n - k} (voir aussi la formule de la loi binomiale).

📝 Points essentiels

• Le coefficient binomial (n k) représente le nombre de combinaisons possibles pour choisir k éléments parmi n, sans ordre.
• La relation de Pascal, (n k) = (n-1 k-1) + (n-1 k), permet de construire le triangle de Pascal, qui donne tous les coefficients binomiaux.
• Dans la loi binomiale, (n k) intervient dans le calcul de la probabilité d’obtenir exactement k succès en n essais, en combinant le nombre de configurations possibles avec la probabilité associée à chaque configuration.
• Les valeurs (n 0) et (n n) sont toujours égales à 1, ce qui correspond respectivement à l’événement où aucun succès ou tous les essais sont des succès.
• La formule du coefficient binomial est essentielle pour compter le nombre de chemins ou de configurations favorables dans un schéma de Bernoulli.

💡 À retenir

Le coefficient binomial (n k) quantifie le nombre de façons de réaliser k succès parmi n essais indépendants, et il constitue la clé pour calculer les probabilités dans la loi binomiale.

📖 9. Espérance et variance

🔑 Notions clés & Définitions

• Espérance mathématique E(X) : La moyenne pondérée des valeurs possibles d'une variable aléatoire discrète, définie par "E(X) = Σ xᵢ × p(X = xᵢ)" (voir section 2). Elle représente la valeur moyenne attendue après de nombreuses répétitions de l'expérience.

• Variance V(X) : La mesure de dispersion des valeurs de la variable aléatoire autour de son espérance, donnée par "V(X) = Σ pᵢ × (xᵢ – E(X))²" (voir section 2). Elle indique à quel point les valeurs sont dispersées par rapport à la moyenne.

• Écart-type σ(X) : La racine carrée de la variance, soit "σ(X) = √V(X)" (voir section 2). Il s'agit d'une mesure de dispersion exprimée dans la même unité que X, permettant d'interpréter la variabilité autour de l'espérance.

• Formule de l'espérance pour une variable discrète : "E(X) = Σ xᵢ × p(X = xᵢ)" (voir section 2). Exemple : si X prend les valeurs x₁, x₂, ..., xₙ avec probabilités p₁, p₂, ..., pₙ, alors l'espérance est la somme des produits de chaque valeur par sa probabilité.

• Formule de la variance : "V(X) = Σ pᵢ × (xᵢ – E(X))²" (voir section 2). Elle peut aussi s'écrire sous la forme V(X) = E[(X – E(X))²].

📝 Points essentiels

• L'espérance E(X) est la valeur moyenne attendue d'une variable aléatoire discrète, interprétée comme la moyenne des résultats si l'expérience est répétée un grand nombre de fois (voir section 2).

• La variance V(X) quantifie la dispersion des valeurs autour de l'espérance, en calculant la moyenne des carrés des écarts à cette dernière (voir section 2).

• La formule de la variance peut s'écrire aussi en utilisant la formule de l'espérance du carré : V(X) = E(X²) – [E(X)]² (relation fondamentale).

• L'écart-type σ(X) est souvent préféré à la variance pour sa facilité d'interprétation, car il est dans la même unité que X.

• Exemple : pour une variable X prenant des valeurs x₁, x₂, ..., xₙ avec probabilités p₁, p₂, ..., pₙ, on calcule d'abord E(X), puis V(X) et enfin σ(X).

💡 À retenir

L'espérance donne la valeur moyenne attendue, la variance mesure la dispersion autour de cette moyenne, et l'écart-type permet d'interpréter cette dispersion dans la même unité que la variable. Ces notions sont fondamentales pour analyser la distribution d'une variable aléatoire discrète.

📖 10. Calculs avec lois de Bernoulli

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi binomiale : La loi binomiale, notée B(n, p), est la distribution de la somme de n épreuves de Bernoulli indépendantes, chacune ayant une probabilité p de succès. Elle modélise le nombre de succès dans une série d’épreuves identiques et indépendantes (voir chapitre 4).
• Probabilité p(X = k) : La probabilité que la variable aléatoire X, suivant une loi binomiale, prenne la valeur k. Elle se calcule avec la formule p(X = k) = (n k) × p^k × (1-p)^(n-k).
• Espérance E(X) : La moyenne ou valeur attendue de la variable X suivant une loi binomiale, donnée par E(X) = n × p, où n est le nombre d’épreuves et p la probabilité de succès (voir section 4).
• Lien entre loi de Bernoulli et loi binomiale : La loi binomiale résulte de la somme de n lois de Bernoulli indépendantes, chaque loi modélisant une seule épreuve avec deux issues possibles (succès ou échec).

📝 Points essentiels

• La loi binomiale est la distribution du nombre de succès dans une série de n épreuves de Bernoulli indépendantes, chacune avec une probabilité p de succès. La variable X suit la loi B(n, p).
• La formule de la probabilité d’obtenir exactement k succès est :
  $p(X = k) = \binom{n}{k} \times p^k \times (1-p)^{n-k}$
• L’espérance mathématique d’une loi binomiale est :
  $E(X) = n \times p$
• La loi binomiale peut être appliquée dans divers contextes, par exemple, le nombre de clients acceptant une carte de fidélité ou le nombre de succès lors de tirages successifs.
• La relation entre la loi de Bernoulli (une seule épreuve) et la loi binomiale (série de n épreuves) est fondamentale : la loi binomiale est la somme de n lois de Bernoulli indépendantes (voir section 4).

💡 À retenir

La loi binomiale modélise le nombre de succès dans une série d’épreuves de Bernoulli indépendantes, avec une espérance simple donnée par n × p, et sa probabilité d’obtenir k succès s’exprime à l’aide du coefficient binomial.

📅 Repères chronologiques

📊 Tableaux de Synthèse

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre la probabilité conditionnelle $p_B(A)$ avec la probabilité simple $p(A)$.
2. Omettre la condition $p(B) \neq 0$ dans la formule de probabilité conditionnelle.
3. Confondre la loi uniforme discrète avec la loi continue ou la loi normale.
4. Calculer incorrectement l’espérance en utilisant la moyenne arithmétique sans pondérer par la loi.
5. Confondre le coefficient binomial $\binom{n}{k}$ avec d’autres coefficients ou combinaisons.
6. Ne pas vérifier que la somme des probabilités dans une loi binomiale est égale à 1.
7. Confondre la variable aléatoire discrète avec une variable continue ou non numérique.

✅ Checklist Examen

• Connaître la définition de la probabilité sur un univers fini (Page 192).
• Maîtriser la formule de la probabilité conditionnelle $p_B(A) = \frac{p(A \cap B)}{p(B)}$.
• Savoir définir une variable aléatoire discrète et calculer $P(X = x_i)$.
• Connaître la formule de l’espérance $E(X) = \sum_i x_i P(X = x_i)$.
• Comprendre la loi uniforme discrète, ses propriétés et calculs d’espérance.
• Maîtriser la formule de la loi binomiale $p(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$.
• Savoir calculer le coefficient binomial $\binom{n}{k}$.
• Connaître la relation entre indépendance et probabilité $p(A \cap B) = p(A) p(B)$.
• Être capable de calculer la variance d’une variable discrète.
• Savoir utiliser la formule de la réunion d’évènements : $p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B)$.
• Maîtriser la formule de l’espérance pour une loi binomiale : $E(X) = np$.
• Vérifier que la somme des probabilités dans une loi binomiale est égale à 1.