Fiche de révision : Introduction aux mathématiques fondamentales

📋 Plan du Cours

1. Calcul numérique et algébrique
2. Proportions et pourcentages
3. Évolutions et variations
4. Fonctions et représentations
5. Statistiques descriptives
6. Probabilités conditionnelles

📖 1. Calcul numérique et algébrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Comparaison de nombres : Comparaison directe ou par calcul qui utilise la différence ou le quotient selon que les nombres sont strictement positifs.
• Opérations sur les fractions : Opérations et comparaisons portant sur des fractions simples à partir de règles algébriques élémentaires.
• Formes d’écriture d’un nombre : Changement de présentation d’un même nombre entre écriture décimale, fractionnaire et pourcentage.
• Calcul littéral élémentaire : Calcul avec des lettres à partir d’identités additives, multiplicatives, et de règles de simplification sur les signes et les produits.
• Équation et inéquation du premier degré : Résolution d’une inéquation du premier degré, ou d’une équation liée à des formes données (produit, quotient ou égalités avec regroupements).

📝 Points essentiels

• Pour comparer deux nombres, on peut utiliser leur différence, et si les deux sont strictement positifs leur quotient.
• On sait effectuer des opérations sur les puissances lors du calcul numérique et algébrique.
• On transforme une écriture d’un nombre entre décimale, fractionnaire et pourcentage.
• On estime un ordre de grandeur et on vérifie la vraisemblance ou la cohérence du résultat.
• On convertit des unités pour des grandeurs comme longueurs, aires, volumes, contenances, durées, vitesses et masses.
• On sait développer, factoriser et réduire des expressions algébriques simples, dont les identités sur (a+b)^2, (a-b)^2 et (a+b)(a-b).

💡 Astuce mémo

Différence ou quotient : différence pour comparer, quotient seulement si les deux sont strictement positifs.

📖 2. Proportions et pourcentages

🔑 Notions clés & Définitions

• Proportion : Relation entre une partie et le tout exprimée sous des formes décimale, fractionnaire ou pourcentage.
• Pourcentage : Forme particulière de proportion exprimée en pourcentage pour comparer des quantités à l’aide d’un taux relatif au tout.
• Partie connaissant le tout : Calcul d’une partie à partir du tout en utilisant une proportion.
• Tout connaissant une partie : Calcul du tout à partir d’une partie en utilisant une proportion.

📝 Points essentiels

• On sait exprimer une proportion en décimale, en fractionnaire et en pourcentage.
• On calcule une partie connaissant le tout grâce à une proportion exprimée sous une forme adaptée.
• On calcule le tout connaissant une partie à partir de la même logique de proportion.

📖 3. Évolutions et variations

🔑 Notions clés & Définitions

• Formulation additive : Expression d’une variation sous la forme d’augmentation ou de diminution de X %.
• Formulation multiplicative : Expression d’une évolution en multiplication par un facteur, par exemple 1,05 ou 0,95 pour ±5 %.
• Taux d’évolution : Valeur qui décrit le changement entre une valeur initiale et une valeur finale et s’exprime en pourcentage.
• Évolutions successives : Suite de changements où l’on calcule un taux d’évolution équivalent pour obtenir directement le facteur total.
• Taux d’évolution réciproque : Taux permettant de traduire l’inversion du sens de l’évolution entre valeur initiale et valeur finale.

📝 Points essentiels

• Pour passer d’une variation additive à une variation multiplicative, on remplace « augmenter de 5 % » par multiplier par 1,05 et « diminuer de 5 % » par multiplier par 0,95.
• On applique un taux d’évolution pour calculer une valeur finale à partir de la valeur initiale (ou inversement).
• On calcule un taux d’évolution et on l’exprime en pourcentage.
• On calcule un taux d’évolution équivalent à plusieurs évolutions successives.
• On calcule un taux d’évolution réciproque quand on inverse le sens de variation.

💡 Astuce mémo

+5 % → ×1,05 ; −5 % → ×0,95 : on remplace le « plus ou moins » par un facteur multiplicatif.

📖 4. Fonctions et représentations

🔑 Notions clés & Définitions

• Image et antécédent : Correspondance graphique où l’on associe à un réel son image sur la courbe, et réciproquement ses antécédents.
• Fonction linéaire : Type de fonction dont la représentation graphique est une droite.
• Fonction affine : Type de fonction dont la représentation graphique est une droite, reconnaissable par son expression.
• Équation de courbe : Égalité décrivant l’ensemble des points dont les coordonnées vérifient la relation donnée par la courbe.
• Tableau de variations : Représentation graphique indiquant le signe ou le sens des variations d’une fonction.

📝 Points essentiels

• On détermine graphiquement images et antécédents à partir de la représentation de la fonction.
• On exploite une équation de courbe pour vérifier l’appartenance d’un point et calculer des coordonnées.
• On reconnaît une fonction linéaire et une fonction affine et on sait que leur graphe est une droite.
• On résout graphiquement une équation ou inéquation du type f(x)=k ou f(x)<k.
• On lit graphiquement le coefficient directeur et l’équation réduite d’une droite à partir d’un point et d’un coefficient directeur ou de deux points.

📖 5. Statistiques descriptives

🔑 Notions clés & Définitions

• Diagramme en barres : Représentation graphique par rectangles dont la hauteur indique des effectifs ou valeurs pour comparer des catégories.
• Diagramme circulaire et semi-circulaire : Représentation en secteurs pour visualiser la part de chaque catégorie dans un ensemble.
• Courbe et nuage de points : Représentation cartésienne utilisée pour visualiser l’évolution ou la relation entre deux variables.
• Moyenne : Indicateur numérique calculé pour résumer une série statistique selon la manière dont les données sont présentées.
• Boîtes à moustaches : Représentation comparative d’une distribution permettant d’observer la dispersion à l’aide de quartiles.

📝 Points essentiels

• On lit et commente des diagrammes en barres, circulaires/semi-circulaires et des courbes/nuages de points.
• On calcule et interprète moyenne, médiane et quartiles pour une série statistique selon sa présentation (brutes, regroupées, graphiques).
• On compare des distributions à l’aide de boîtes à moustaches.
• On passe du graphique aux données et vice-versa en repérant origine, unités et échelles du repère ou de la figure.

💡 Astuce mémo

Indicateurs clés : moyenne, médiane, quartiles ; et pour comparer les distributions : boîtes à moustaches.

📖 6. Probabilités conditionnelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité : Nombre compris entre 0 et 1 associé à la réalisation d’un événement.
• Événement contraire : Événement correspondant au « non » de l’événement initial, dont la probabilité se calcule à partir de la probabilité de l’événement initial.
• Somme d’issues : Calcul d’une probabilité en additionnant les probabilités des issues constituant l’événement.
• Équiprobabilité : Situation où toutes les issues ont la même probabilité, utilisée pour appliquer une relation de comptage.
• Probabilité conditionnelle : Probabilité calculée lorsque l’information est donnée, par exemple via un tableau croisé d’effectifs ou un arbre pondéré.

📝 Points essentiels

• Une probabilité d’un événement est un nombre entre 0 et 1.
• La probabilité de l’événement contraire se calcule à partir de la probabilité de l’événement initial.
• La probabilité d’un événement se calcule comme somme des probabilités des issues qui le composent.
• En équiprobabilité, on utilise la relation $P(A)=\dfrac{C_a^{{\ }}d(A)}{C_a^{{\ }}d(\Omega)}$ pour compter les issues favorables sur l’ensemble.
• On distingue $P(A\cap B)$, $P_A(B)$ et $P_B(A)$ lors de probabilités conditionnelles.
• On calcule des probabilités conditionnelles à partir d’un tableau croisé d’effectifs ou d’arbres pondérés.

💡 Astuce mémo

Conditionnel = « sous contrainte » ; lire $P_A(B)$ comme « probabilité de B sachant A ».

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre comparaison par différence et comparaison par quotient : le quotient n’est indiqué que si les deux nombres sont strictement positifs.
2. Passer à la mauvaise forme d’évolution : « +5 % » ne devient pas une addition directe en multiplicatif, il faut multiplier par 1,05.
3. Confondre taux d’évolution et facteur multiplicatif : le premier s’exprime en pourcentage tandis que le second s’utilise pour multiplier.
4. Lire à l’envers un graphique : ne pas confondre image (valeur de sortie) et antécédent (valeur d’entrée) pour déterminer les coordonnées.
5. Mélanger les indicateurs statistiques : moyenne, médiane et quartiles ne se lisent ni ne se calculent de la même manière selon la présentation des données.
6. Confondre $P(A\cap B)$ avec $P_A(B)$ ou $P_B(A)$ : le premier concerne une intersection, les autres une condition donnée.
7. En probabilités, oublier que la probabilité est toujours entre 0 et 1 avant tout calcul ou interprétation.

✅ Checklist Examen

1. Comparer deux nombres directement ou en utilisant leur différence, puis utiliser le quotient seulement si les deux sont strictement positifs.
2. Effectuer des opérations et comparaisons sur des fractions simples.
3. Calculer et exploiter des puissances lors d’un calcul numérique ou algébrique.
4. Passer d’une écriture décimale à fractionnaire ou pourcentage et inversement.
5. Conversions d’unités : longueur, aire, volume, contenance, durée, vitesse et masse.
6. Réaliser un calcul littéral élémentaire avec identités additives et multiplicatives pour simplifier correctement les expressions.
7. Développer, factoriser ou réduire une expression algébrique simple à partir des identités vues.
8. Résoudre des équations/inéquations du premier degré ou des équations du type proposées (produit nul, quotient, formes indiquées) et isoler une variable.
9. Calculer une proportion sous plusieurs formes et résoudre un problème « partie connaissant le tout » ou « tout connaissant une partie ».
10. Transformer une évolution additive en multiplicative via les facteurs du cours et calculer une valeur finale/initiale à partir d’un taux.
11. Calculer un taux d’évolution en pourcentage et déterminer un taux équivalent pour des évolutions successives.
12. Calculer un taux d’évolution réciproque pour inverser le sens de variation.
13. Lire graphiquement images et antécédents, exploiter une équation de courbe et résoudre graphiquement des équations/inéquations du type f(x)=k ou f(x)<k.
14. Reconnaître fonction linéaire ou affine et déterminer le coefficient directeur ou l’équation réduite d’une droite à partir d’informations graphiques.