Fiche de révision : Introduction aux méthodes de classification discriminante

📋 Plan du Cours

1. Analyse discriminante
2. Approche géométrique
3. Approche probabiliste
4. LDA
5. Fonction discriminante
6. Classification supervisée
7. Méthode bayésienne
8. Réduction dimensionnelle
9. Fonctions linéaires
10. Frontière de décision

📖 1. Analyse discriminante

🔑 Notions clés & Définitions

• Analyse discriminante : Méthode statistique visant à distinguer et à classer des individus en fonction de leurs caractéristiques, en utilisant une variable qualitative Y à K classes et des variables explicatives X1,...,Xp. Son objectif principal est la description des différences entre groupes et le classement de nouvelles observations (voir introduction).
• Discrimination basée sur une variable qualitative Y à K classes : Processus de différenciation entre plusieurs groupes ou catégories définis par une variable qualitative Y, où chaque individu appartient à une seule classe parmi les K possibles.
• Variables explicatives X1,...,Xp : Variables numériques ou qualitatives utilisées pour discriminer ou classifier les individus selon leur appartenance à une classe Y. Elles servent à modéliser la relation entre les groupes et les caractéristiques observées.
• Objectifs principaux : La description des différences entre groupes (quelles sont les principales caractéristiques qui distinguent les classes) et le classement (attribuer une nouvelle observation à une classe en se basant sur ses variables explicatives).
• Auteur : La méthode s’inscrit dans le cadre de l’apprentissage supervisé, où la connaissance des classes est utilisée pour prédire l’appartenance de nouvelles observations (voir cadre général).

📝 Points essentiels

• L’analyse discriminante exploite l’information contenue dans un échantillon bien distribué pour classifier de nouvelles observations dont la classe est inconnue.
• Elle se concentre sur deux aspects : la description des différences entre groupes à partir des variables explicatives, et le classement des individus dans leur groupe d’appartenance.
• La discrimination repose sur l’utilisation de variables explicatives X1,...,Xp pour différencier les classes de la variable qualitative Y, qui peut comporter K catégories.
• La méthode est appliquée dans divers domaines : reconnaissance de formes, catégorisation de textes, diagnostic médical, etc. (voir exemples d’applications).
• La classification peut être géométrique (approche par projection) ou probabiliste (approche bayésienne), mais toutes visent à optimiser la séparation entre classes.
• La règle de décision consiste à affecter une observation à la classe dont la probabilité ou la proximité géométrique est la plus grande ou la plus faible, selon la méthode utilisée.

💡 À retenir

L’analyse discriminante est une méthode statistique essentielle pour différencier et classer des individus en utilisant leurs caractéristiques, en combinant description des différences et règles de classification, avec des approches géométriques ou probabilistes.

📖 2. Approche géométrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Nuage de points : Représentation géométrique des données en Rp où chaque individu est représenté par un vecteur de variables explicatives. La distribution des individus forme un ensemble de points dans l’espace.
• Centre de gravité d’une classe : Point moyen ou barycentre de tous les individus appartenant à une même classe, calculé par la moyenne des vecteurs de variables explicatives de cette classe. Selon Benyacoub (2026), gk = (1/nk) ∑i∈Ek xi, où nk est l’effectif de la classe k.
• Décomposition de la variance (W et B) : Technique qui divise la variance totale du nuage en deux composantes :
  • Variance intra-classe (W) : Variance à l’intérieur de chaque classe, représentant la dispersion des individus autour de leur centre de gravité. Selon Benyacoub (2026), W = ∑K k=1 nk/n Vk, où Vk est la matrice de variance de la classe k.
  • Variance inter-classe (B) : Variance entre les centres de gravité des classes, représentant la dispersion des centres par rapport au centre global. Selon Benyacoub (2026), B = ∑K k=1 nk/n (gk − g)(gk − g)ᵗ, où g est le centre global.
• Distance de Mahalanobis : Métrique utilisée pour mesurer la distance entre deux points xi et gk en tenant compte de la covariance intra-classe. Elle est définie par d²w−1(xi, gk) = (xi − gk)ᵗ W⁻¹ (xi − gk), où W est la matrice de variance intra-classe.

📝 Points essentiels

• La représentation géométrique consiste à projeter les individus dans un espace Rp, où chaque point correspond à un individu. La position relative de ces points permet d’observer la séparation ou la proximité des classes.
• La méthode de décomposition de la variance en intra-classe (W) et inter-classe (B) permet d’évaluer la dispersion au sein des classes et entre les classes, facilitant la discrimination.
• La visualisation en 2D, en utilisant par exemple la projection sur deux axes discriminants, permet d’observer la séparation des classes, comme illustré par Benyacoub (2026).
• La distance de Mahalanobis, définie par la matrice W⁻¹, ajuste la métrique en fonction de la covariance intra-classe, offrant une mesure plus pertinente pour la classification que la distance euclidienne.
• La matrice W⁻¹ est symétrique et définit une métrique adaptée à la structure des données, permettant de comparer efficacement la proximité d’un individu à un centre de classe.

💡 À retenir

L’approche géométrique utilise la représentation des données dans un espace Rp, où la séparation des classes est facilitée par la projection sur des axes discriminants et la mesure de distances ajustées par la covariance intra-classe, notamment via la distance de Mahalanobis.

📖 3. Approche probabiliste

🔑 Notions clés & Définitions

• Méthode bayésienne (selon Benyacoub (2026)) : approche qui utilise les probabilités a priori et les vraisemblances pour calculer la probabilité a posteriori d’appartenance d’un individu à une classe, permettant ainsi de prendre une décision de classification en maximisant cette probabilité.
• Règle de décision probabiliste : principe qui consiste à affecter une observation à la classe dont la probabilité a posteriori est la plus élevée, en utilisant la formule de Bayes.
• Classification supervisée basée sur échantillon étiqueté : méthode où l’apprentissage se fait à partir d’un ensemble d’exemples dont la classe est connue, afin de construire une règle de classification pour de nouvelles observations.
• Lien avec la méthode bayésienne : la classification probabiliste repose sur le calcul des probabilités conditionnelles et la règle de Bayes, permettant une décision optimale en termes de risque minimal (voir section dédiée).
• Vraisemblance (selon Benyacoub (2026)) : fonction qui évalue la probabilité d’observer un échantillon donné sous un modèle probabiliste spécifique, souvent une loi gaussienne dans le contexte de la classification.
• Probabilités a priori (selon Benyacoub (2026)) : probabilités initiales que chaque classe soit choisie avant d’observer les données, notées $P(Y = j)$, qui reflètent la fréquence ou la croyance initiale dans chaque classe.

📝 Points essentiels

• La méthode bayésienne en classification repose sur le théorème de Bayes :
  $P(Y = j | X = x_i) = \frac{P(x_i | Y = j) P(Y = j)}{\sum_{k=1}^K P(x_i | Y = k) P(Y = k)}$
  où $P(Y = j | X = x_i)$ est la probabilité a posteriori que l’individu $x_i$ appartienne à la classe $j$.
• La règle de décision consiste à affecter l’individu à la classe $j$ qui maximise cette probabilité a posteriori.
• La densité $P(x_i | Y = j)$ est souvent modélisée par une loi gaussienne $N(\mu_j, \Sigma_j)$, avec $\mu_j$ vecteur moyenne et $\Sigma_j$ matrice de covariance spécifique à chaque classe (voir Benyacoub (2026)**).
• La formule du log de la densité gaussienne permet de simplifier le calcul :
  $\log P(x_i | Y = j) = -\frac{1}{2} \left[ (x_i - \mu_j)^T \Sigma_j^{-1} (x_i - \mu_j) + \log \det \Sigma_j + p \log 2\pi \right]$
• La classification bayésienne minimise le risque en choisissant la classe avec la plus grande probabilité a posteriori, intégrant ainsi la connaissance préalable des fréquences des classes.

💡 À retenir

La méthode bayésienne en classification exploite les probabilités conditionnelles et les probabilités a priori pour déterminer la classe la plus probable d’un individu, assurant une décision optimale selon le théorème de Bayes.

📖 4. LDA

🔑 Notions clés & Définitions

• Analyse discriminante linéaire (LDA) : Méthode visant à classifier efficacement des observations en projetant les données sur une droite (ou plan) linéaire, afin de maximiser la séparation entre les classes (but : fournir une bonne classification par projection linéaire).
  (source : Benyacoub Badreddine, 2026)

• Distance aux centres de gravité : Calcul de la distance entre une observation et le centre de chaque classe, généralement via la métrique de Mahalanobis, pour déterminer l’appartenance la plus probable à une classe.
  (source : Benyacoub Badreddine, 2026)

• Formule de Fisher : Expression mathématique utilisée pour déterminer la fonction discriminante linéaire, en maximisant le rapport entre la variance inter-classe et la variance intra-classe. La fonction discriminante de Fisher s’écrit :
  $Z = c + a_1X_1 + \dots + a_pX_p$
  où $a$ et $c$ sont les coefficients du modèle.
  (source : Benyacoub Badreddine, 2026)

• Coefficients du modèle (a et c) : Vecteur $a = (a_1, \dots, a_p)$ représentant la combinaison linéaire des variables explicatives, et constante $c$, déterminés pour optimiser la séparation des classes.
  (source : Benyacoub Badreddine, 2026)

📝 Points essentiels

• La LDA cherche à projeter les données dans un espace de dimension réduite (souvent 1D ou 2D) où la séparation entre classes est maximisée, en utilisant une projection linéaire.
• La distance de Mahalanobis, basée sur la matrice de variance intra-classe $W$, est utilisée pour calculer la proximité d’une observation à chaque centre de gravité $g_k$.
• La formule de Fisher consiste à maximiser le rapport $\frac{a^T B a}{a^T W a}$, où $B$ est la matrice de variance inter-classe et $W$ la matrice de variance intra-classe, ce qui revient à résoudre un problème aux valeurs propres.
• La fonction discriminante linéaire $Z = c + a^T x$ est déterminée par les vecteurs propres associés à la valeur propre maximale de la matrice $W^{-1} B$.
• La frontière de décision dans l’espace projeté est orthogonale à la droite passant par les centres de gravité, et la classification d’une observation se fait en comparant la valeur de $Z$ à un seuil.

💡 À retenir

La LDA construit une fonction discriminante linéaire en maximisant la séparation entre classes via la ratio de variance inter- et intra-classe, permettant une classification efficace par projection linéaire.

📖 5. Fonction discriminante

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction discriminante linéaire de Fisher : Fonction utilisée pour classer une observation en fonction d’une combinaison linéaire des variables explicatives, permettant de maximiser la séparation entre classes (voir formule de Fisher).
• Expression mathématique : Z = c + a₁X₁ + ... + aₚXₚ, où c est une constante et a₁, ..., aₚ sont les coefficients déterminés pour la classification.
• Seuil d'appartenance à une classe : Valeur de décision qui détermine si une observation appartient à une classe ou une autre, généralement basé sur la valeur de Z par rapport à un seuil.
• Lien avec la règle de classification dans LDA : La fonction discriminante linéaire de Fisher sert à définir une règle de décision en comparant la valeur de Z à un seuil, ce qui correspond à la frontière de décision dans l’analyse discriminante linéaire (voir section 4).
• Auteur / Théoricien : La formule et la concept de la fonction discriminante linéaire de Fisher sont issus de Fisher (1936), visant à optimiser la séparation entre deux classes par projection linéaire.

📝 Points essentiels

• La fonction discriminante linéaire de Fisher est une fonction affine, de la forme Z = c + aᵗX, où a est un vecteur de coefficients déterminés pour maximiser la séparation entre classes (voir formule).
• La constante c, appelée seuil, est calculée à partir des centres de gravité des classes et de la matrice de variance intra-classe, permettant de définir la frontière de décision.
• La règle de classification consiste à affecter une observation x à la classe 1 si Z ≥ seuil, sinon à la classe 2, ce qui correspond à une frontière orthogonale à la droite joignant les centres de gravité (voir section 4).
• La fonction discriminante de Fisher est directement liée à la méthode LDA, qui cherche à projeter les données dans un espace où la séparation entre classes est maximisée (voir section 4).
• La formule de Fisher permet de réduire la dimensionnalité tout en conservant la meilleure discrimination possible entre plusieurs classes (voir approche géométrique).

💡 À retenir

La fonction discriminante linéaire de Fisher est une combinaison linéaire des variables explicatives qui permet de classifier efficacement en maximisant la séparation entre classes, en utilisant un seuil d’appartenance basé sur la projection.

📖 6. Classification supervisée

🔑 Notions clés & Définitions

• Classification supervisée : Technique d'apprentissage statistique visant à construire une règle de décision à partir d'exemples étiquetés, permettant d'assigner de nouvelles observations à des classes prédéfinies. (Benyacoub Badreddine, 2026)

• But de la classification supervisée : Développer une règle permettant d'identifier l’appartenance d’un objet à une classe en se basant sur des exemples étiquetés, facilitant le classement futur d’individus inconnus. (Benyacoub Badreddine, 2026)

• Applications typiques : Reconnaissance de formes (ex : chiffres manuscrits), catégorisation de textes (ex : spam/non-spam), diagnostic médical (ex : détection de risques de cancer). (Benyacoub Badreddine, 2026)

• Importance : Elle constitue une branche essentielle de l’apprentissage statistique et de la recherche opérationnelle, permettant l’automatisation et l’optimisation des processus de classification. (Benyacoub Badreddine, 2026)

📝 Points essentiels

• La classification supervisée exploite un échantillon d’individus étiquetés pour élaborer une règle de décision applicable à de nouvelles observations non étiquetées. Elle vise deux aspects principaux : la description des différences entre classes à l’aide des variables explicatives, et le classement des nouvelles observations. (Benyacoub Badreddine, 2026)

• Elle s’appuie sur deux approches principales : l’approche géométrique, qui utilise la projection et la distance (ex : LDA), et l’approche probabiliste, qui calcule des probabilités a posteriori pour déterminer l’appartenance à une classe (ex : méthode bayésienne). (Benyacoub Badreddine, 2026)

• La méthode probabiliste, notamment la classification bayésienne, consiste à maximiser la probabilité que l’individu appartienne à une classe donnée en utilisant la loi de probabilité de chaque classe et les probabilités a priori. (Benyacoub Badreddine, 2026)

• La règle de décision repose souvent sur la minimisation des distances (ex : distance de Mahalanobis dans LDA) ou sur le calcul des probabilités conditionnelles, permettant une classification efficace même dans des espaces de haute dimension. (Benyacoub Badreddine, 2026)

💡 À retenir

La classification supervisée construit une règle de décision à partir d’exemples étiquetés pour classer efficacement de nouvelles observations, en utilisant des approches géométriques ou probabilistes, essentielles dans de nombreux domaines appliqués.

📖 7. Méthode bayésienne

🔑 Notions clés & Définitions

• Principe de la méthode bayésienne en classification : Approche probabiliste qui consiste à utiliser le théorème de Bayes pour estimer la probabilité qu'une observation appartienne à une classe donnée, en intégrant à la fois les probabilités a priori et la vraisemblance (données observées). (Source : Benyacoub Badreddine, 2026)

• Utilisation des probabilités a priori : Probabilités initiales associées à chaque classe, notées $P(Y = j)$, qui représentent la croyance avant d'observer les données. Elles sont souvent basées sur la fréquence relative des classes dans l’échantillon. (Source : Benyacoub Badreddine, 2026)

• Vraisemblance (likelihood) : Fonction de densité ou de probabilité $P(x_i | y = j)$ qui mesure la probabilité d’observer la donnée $x_i$ si l’individu appartient à la classe $j$. Elle reflète la compatibilité de l’observation avec chaque classe. (Source : Benyacoub Badreddine, 2026)

• Probabilité a posteriori : Probabilité actualisée qu’une observation $x_i$ appartienne à une classe $j$ après avoir pris en compte la donnée, calculée par le théorème de Bayes :
  $P(Y = j | X = x_i) = \frac{P(x_i | y = j) P(Y = j)}{\sum_{k=1}^K P(x_i | y = k) P(Y = k)}$
  Elle sert à la décision de classification. (Source : Benyacoub Badreddine, 2026)

• Lien avec la classification supervisée et l’analyse discriminante probabiliste : La méthode bayésienne fournit une règle de décision basée sur la maximisation des probabilités a posteriori, ce qui relie directement la classification supervisée à l’approche probabiliste, notamment dans l’analyse discriminante bayésienne. (Source : Benyacoub Badreddine, 2026)

📝 Points essentiels

• La classification bayésienne repose sur le théorème de Bayes, permettant d’intégrer à la fois l’information a priori et la vraisemblance pour estimer la probabilité qu’une observation appartienne à chaque classe.
• La formule clé est :
  $P(Y = j | X = x_i) = \frac{P(x_i | y = j) P(Y = j)}{\sum_{k=1}^K P(x_i | y = k) P(Y = k)}$
  qui permet de calculer la probabilité a posteriori pour chaque classe.
• La décision consiste à affecter l’individu à la classe ayant la probabilité a posteriori maximale.
• La densité $P(x_i | y = j)$ est souvent modélisée par une loi gaussienne dans le cadre de l’analyse discriminante bayésienne, avec paramètres estimés à partir de l’échantillon.
• La méthode bayésienne est particulièrement efficace lorsque les probabilités a priori sont disponibles ou peuvent être estimées, et qu’on souhaite une classification probabiliste plutôt que déterministe.

💡 À retenir

La méthode bayésienne en classification utilise le théorème de Bayes pour combiner probabilités a priori et vraisemblance, permettant d’estimer la probabilité qu’une observation appartienne à chaque classe et de faire une décision optimale en maximisant cette probabilité a posteriori.

📖 8. Réduction dimensionnelle

🔑 Notions clés & Définitions

• Réduction de la dimensionnalité par projection linéaire : Technique consistant à transformer un espace de données de dimension élevée en un espace de dimension inférieure en utilisant des combinaisons linéaires des variables initiales, afin de conserver l'information pertinente tout en simplifiant l’analyse (Benyacoub, 2026).

• Recherche d'une direction maximisant la séparation entre classes : Approche visant à identifier une ou plusieurs directions dans l’espace des variables explicatives qui permettent de distinguer au mieux les différentes classes, en maximisant une mesure de séparation (ex : variance inter-classe) (Benyacoub, 2026).

• Projection du nuage de points sur un axe pour meilleure discrimination : Opération de réduire la dimension en projetant les points de données sur une droite ou un axe choisi, afin d’accroître la visibilité et la discrimination entre les groupes ou classes (Benyacoub, 2026).

• Lien avec LDA comme méthode de réduction dimensionnelle : La méthode d’Analyse Discriminante Linéaire (LDA) est une technique spécifique de réduction dimensionnelle qui cherche à projeter les données dans un espace de dimension inférieure tout en maximisant la séparation entre les classes (Benyacoub, 2026).

📖 9. Fonctions linéaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonctions linéaires utilisées pour la classification : Fonctions mathématiques de la forme $Z = c + a_1X_1 + \dots + a_pX_p$, où $c$ est une constante et $a_i$ sont des coefficients, permettant de séparer ou de classifier des observations en fonction de variables explicatives (exemple : fonction discriminante linéaire de Fisher).

• Combinaison linéaire des variables explicatives : Opération consistant à multiplier chaque variable explicative $X_j$ par un coefficient $a_j$ et à additionner ces produits avec une constante $c$, formant ainsi une seule fonction $Z$ qui résume l'information pour la classification (voir aussi "fonction discriminante linéaire de Fisher").

• Rôle dans la définition des frontières de décision : La fonction linéaire $Z$ sert à établir une frontière ou un seuil pour décider à quelle classe appartient une observation, en comparant $Z$ à un seuil prédéfini ou en utilisant une règle de décision basée sur la valeur de $Z$ (ex : seuil de Fisher).

• Exemple : fonction discriminante linéaire de Fisher : Fonction $Z = c + a_1X_1 + \dots + a_pX_p$, où $a_i$ sont déterminés pour maximiser la séparation entre classes, et $c$ est une constante de seuil, utilisée pour classifier en deux groupes en fonction de la position de $Z$ par rapport à un seuil (voir "formule de Fisher").

📝 Points essentiels

• La fonction linéaire $Z = c + \sum_{j=1}^p a_jX_j$ résume l'information de plusieurs variables explicatives en une seule dimension pour la classification.

• La détermination des coefficients $a_j$ est cruciale : dans le cadre de la fonction discriminante linéaire de Fisher, ils sont choisis pour maximiser la séparation entre les centres de gravité des classes tout en minimisant la variance intra-classe, en utilisant la formule $Z = a^T X + c$.

• La frontière de décision est généralement définie par une valeur seuil de $Z$, permettant d'affecter une observation à une classe selon que $Z$ est supérieure ou inférieure à ce seuil.

• La fonction discriminante linéaire de Fisher est un exemple clé illustrant l'utilisation des fonctions linéaires dans la classification supervisée, notamment dans l'analyse discriminante linéaire (voir "règle de Fisher").

• La formule $Z = c + a_1X_1 + \dots + a_pX_p$ est aussi appelée "fonction discriminante linéaire" et constitue la base pour la construction de règles de décision dans plusieurs méthodes statistiques et machine learning.

💡 À retenir

Les fonctions linéaires permettent de transformer plusieurs variables explicatives en une seule valeur discriminante, facilitant la séparation des classes par une frontière linéaire, comme illustré par la fonction discriminante linéaire de Fisher.

📖 10. Frontière de décision

🔑 Notions clés & Définitions

• Frontière de décision (decision boundary) : ligne ou surface dans l’espace des variables explicatives qui sépare deux classes ou plus, déterminant la région d’appartenance de chaque observation. Elle est définie par la règle de classification et permet d’attribuer une observation à une classe spécifique.
• Ligne ou surface séparant les classes : limite géométrique qui divise l’espace en régions correspondant à différentes classes, selon la règle de classification. Elle peut être linéaire ou non linéaire selon la méthode utilisée (ex : LDA, méthodes bayésiennes).
• Orthogonalité à la droite joignant les centres de gravité dans LDA : dans l’analyse discriminante linéaire (LDA), la frontière de décision est une surface orthogonale à la droite passant par les centres de gravité des classes, ce qui facilite la séparation optimale selon Fisher (Fisher, 1936).
• Utilisation pour affecter une observation à une classe : la frontière de décision sert à classifier une nouvelle observation en comparant sa position par rapport à cette frontière, en utilisant la règle de classification (ex : distance minimale ou probabilité a posteriori).

💡 À retenir

La frontière de décision, dans le contexte de l’analyse discriminante, est la surface géométrique qui délimite les régions d’appartenance des observations à différentes classes, en étant souvent orthogonale à la droite reliant les centres de gravité dans le cas de la LDA, et elle est essentielle pour l’affectation automatique des nouvelles observations.

📊 Tableaux de Synthèse

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre distance euclidienne et distance de Mahalanobis, oublier W⁻¹ dans le calcul.
2. Penser que la décomposition W et B est spécifique à l’approche géométrique, alors qu’elle peut aussi éclairer la méthode bayésienne.
3. Confondre la probabilité a priori $P(Y = j)$ avec la fréquence observée dans l’échantillon.
4. Oublier que la classification bayésienne suppose une loi gaussienne pour $P(x_i | Y = j)$.
5. Mal interpréter la règle de décision : choisir la classe avec la plus grande probabilité a posteriori, et non la plus proche géométriquement.
6. Négliger la nécessité de normaliser ou de centrer les données pour certaines méthodes.
7. Confondre la variance intra-classe (W) avec la variance totale, ou la variance inter-classe (B) avec la dispersion globale.

✅ Checklist Examen

1. Connaître la définition de l’analyse discriminante selon Fisher et ses objectifs principaux.
2. Savoir distinguer l’approche géométrique et l’approche probabiliste dans la classification.
3. Maîtriser la formule de la distance de Mahalanobis et son rôle dans la séparation des classes.
4. Comprendre la décomposition de la variance en intra-classe (W) et inter-classe (B) selon Benyacoub (2026).
5. Savoir calculer le centre de gravité d’une classe et son importance dans l’approche géométrique.
6. Connaître la règle de décision en classification bayésienne : maximiser la probabilité a posteriori.
7. Savoir modéliser $P(x_i | Y = j)$ par une loi gaussienne et connaître la formule du log-vraisemblance.
8. Être capable d’expliquer la différence entre la classification géométrique et probabiliste.
9. Connaître le rôle de la matrice de covariance dans la méthode bayésienne.
10. Savoir ce qu’est la décomposition de la variance et son utilisation pour la réduction dimensionnelle.
11. Connaître les applications typiques de l’analyse discriminante : reconnaissance de formes, diagnostic médical, etc.
12. Vérifier la maîtrise du vocabulaire : nuage de points, centre de gravité, distance de Mahalanobis, vraisemblance, règle de Bayes.