Fiche de révision : Introduction aux méthodes statistiques et d'optimisation

📋 Plan du Cours

1. Analyses univariées et indicateurs
2. Saisonnalité et probabilités discrètes
3. Loi normale et variables continues
4. Espérance, variance et lois dérivées
5. Régulation des stocks et modèle de Wilson
6. Programmation linéaire graphique
7. Méthode du simplexe
8. Ordonnancement et méthode PERT

📖 1. Analyses univariées et indicateurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Série statistique univariée : Une série statistique univariée est décrite par des couples (Xi, ni) où Xi est la modalité et ni l’effectif correspondant.
• Moyenne arithmétique : La moyenne arithmétique est la somme des observations divisée par le nombre d’observations (ou, avec les fréquences, la moyenne pondérée).
• Médiane : La médiane est la valeur qui partage la population en deux parties d’effectifs égaux.
• Variance : La variance mesure la dispersion en calculant la moyenne des écarts à la moyenne élevés au carré.
• Écart type : L’écart-type est la racine carrée de la variance et sert à évaluer la dispersion autour de la moyenne.

📝 Points essentiels

• La variance se calcule comme la somme des écarts à la moyenne au carré divisée par l’effectif total.
• L’écart-type donne un indice de risque relatif via le rapport écart-type/moyenne : inférieur à 1 indique une dispersion faible et supérieur à 1 une dispersion importante.
• Une moyenne mobile est une moyenne calculée sur une période glissante de taille constante, recalculée après chaque décalage d’observations.
• Pour une moyenne mobile centrée sur des ventes trimestrielles, m = ((Vi-2)/2 + Vi-1 + Vi + Vi+1 + (Vi+2)/2)/4.
• Le coefficient de corrélation linéaire r vérifie toujours -1 ≤ r ≤ 1 et indique l’intensité d’une relation linéaire entre deux variables.
• Si r est proche de 0 il n’y a pas de relation linéaire, et son signe (positif ou négatif) indique si les variables évoluent dans le même sens ou en sens contraire.

💡 Astuce mémo

Variance = écarts^2 (dispersion), Écart-type = √variance, et ratio éc-type/moyenne (<1 vs >1) ↔ faible vs forte dispersion.

📖 2. Saisonnalité et probabilités discrètes

🔑 Notions clés & Définitions

• Coefficient de saisonnalité : Le coefficient de saisonnalité est un multiplicateur qui mesure l’écart entre une valeur observée et la valeur attendue issue de la tendance.
• Désaisonnaliser une série : Désaisonnaliser une série consiste à corriger les ventes réelles en divisant par le coefficient de saisonnalité pour isoler la tendance.
• Variable aléatoire discrète : Une variable aléatoire discrète admet un nombre limité de modalités, chacune associée à une probabilité.
• Loi de probabilité : Une loi de probabilité donne la probabilité de chaque modalité de la variable aléatoire sous forme de tableau ou via une fonction de répartition.
• Fonction de répartition : La fonction de répartition cumule les probabilités jusqu’à une valeur donnée pour représenter la loi de la variable.

📝 Points essentiels

• La probabilité d’un événement aléatoire s’exprime en pourcentage et mesure la chance qu’il se réalise.
• La somme des probabilités sur toutes les modalités d’une variable aléatoire discrète vaut toujours 1.
• Une variable aléatoire discrète est modélisée par un tableau de probabilités car le nombre de modalités est limité.
• Le coefficient de saisonnalité se calcule par donnée observée sur donnée ajustée, puis on l’agrège en moyenne sur la même période de l’année.
• Les ventes désaisonnalisées s’obtiennent en divisant les ventes réelles par le coefficient de saisonnalité et les ventes prévues en multipliant la tendance par ce coefficient.

💡 Astuce mémo

Coefficient de saisonnalité = Observé / Ajusté : on divise pour enlever la saison et on multiplie pour la rajouter.

📖 3. Loi normale et variables continues

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable aléatoire continue : Une variable aléatoire continue se décrit par une fonction de distribution de probabilité, utilisée pour obtenir les probabilités sur des intervalles.
• Fonction de répartition F(x) : La fonction de répartition F(x) donne la probabilité que la variable soit au plus égale à x et reste entre 0 et 1.
• Densité de probabilité f(x) : La densité f(x) sert à calculer les probabilités et correspond, graphiquement, à l’aire sous la courbe jusqu’à la valeur considérée.
• Loi normale : La loi normale a une représentation en forme de cloche et se caractérise notamment par une moyenne et un écart-type.
• Loi normale centrée réduite : La loi normale centrée réduite est la normale particulière N(0,1) utilisée comme référence pour les calculs.

📝 Points essentiels

• Pour une variable continue, la probabilité P(X≤a) se lit dans la table de la fonction de répartition F, associée à la loi considérée.
• Pour tout a≤b, on calcule P(a≤X≤b) par P(X≤b)−P(X≤a), soit F(b)−F(a).
• La densité f(x) de la loi normale est symétrique autour de la moyenne m, et la loi est définie pour des valeurs de -∞ à +∞.
• La loi normale N(m,σ) se ramène à la loi normale centrée réduite N(0,1) via la transformation T=(X−m)/σ.
• Si X suit N(m,σ), alors T suit N(0,1), ce qui permet d’utiliser les tables de la normale centrée réduite pour obtenir des probabilités.

💡 Astuce mémo

Transformation standard : pour passer en N(0,1), on recentre (−m) puis on réduit (÷σ) : T=(X−m)/σ.

📖 4. Espérance, variance et lois dérivées

📖 5. Régulation des stocks et modèle de Wilson

🔑 Notions clés & Définitions

• Quantité QR à commander : Quantité de commande fixée pour un cycle dans le modèle avec rupture de stock.
• Coûts de stockage CS : Coût associé à la détention des stocks, utilisé pour calculer la partie stockage du coût total annuel.
• Coût de passation CL : Coût déclenché à chaque commande, ajouté au coût total annuel via le nombre de commandes N.
• Coût de pénurie CR : Coût subi pendant les périodes de manque, calculé sur la quantité manquante pendant l’année.
• Paramètre μ : Paramètre d’ajustement lié aux durées TS* et T* et aux quantités S* et QR* dans la détermination de l’optimum.

📝 Points essentiels

• Dans le modèle de Wilson avec pénurie, le coût total annuel s’écrit comme la somme du coût de stockage moyen, du coût de passation et du coût de pénurie.
• Le coût de stockage moyen pendant l’année vaut CS*(S/2)(TS/T) et le coût de passation sur l’année vaut CLN.
• Le coût de pénurie sur l’année vaut CR*((QR-S)/2)TP/T, avec CT = CS(S/2)(TS/T)+CLN+CR*((QR-S)/2)*TP/T.
• La quantité optimale à commander pour minimiser les coûts avec pénurie est donnée par QR* = (Q*/√μ).
• À l’optimum, le modèle relie les paramètres par μ = TS*/T* = S*/QR*.
• En budgétisation, on échelonne les prévisions de consommation, commande, livraison et niveau de stock, avec deux contextes (consommation régulière ou irrégulière) et deux approches en cas d’irrégularité : quantités constantes ou périodes régulières.

📖 6. Programmation linéaire graphique

🔑 Notions clés & Définitions

• Sommet du polygone des contraintes : Dans un problème linéaire, l’optimum se trouve au sommet du polygone (ou du polyèdre) délimitant les contraintes.
• Parallèle à la fonction économique : En déplaçant une droite parallèle à la fonction économique, le dernier contact avec le domaine détermine le sommet optimal.
• Translation de la fonction économique : Si le déplacement de la fonction économique rend l’optimum ambigu entre deux sommets proches, on compare les valeurs de la fonction aux sommets concernés.
• Intersection des droites de contraintes : L’optimum peut être obtenu au point commun de deux droites correspondant aux contraintes de production.

📝 Points essentiels

• L’optimum est atteint à l’intersection des deux droites de contraintes de production dans l’exemple étudié.
• En cas d’ambiguïté après translation de la fonction économique, calcule la valeur de la fonction pour chacun des sommets proches et retiens celui qui maximise (ou minimise) la fonction économique.
• Dans l’exemple : 100-2BR=20-0,3BR conduit à 80=1,70BR donc BR=47.
• Toujours dans l’exemple : PC=6 et F=650+6047=3120 centimes soit 31,20 € pour la fonction économique.

💡 Astuce mémo

Optimisation = dernier contact : fais glisser une parallèle à F jusqu’au domaine, puis garde le sommet touché.

📖 7. Méthode du simplexe

🔑 Notions clés & Définitions

• Tableaux du simplexe : Un tableau organise les coefficients du programme linéaire afin de mettre à jour la base à chaque itération du simplexe.
• Variable entrante : La variable entrante est celle qui entre dans la base lors d’une itération, en prenant la place de la variable qui sort.
• Ligne du pivot : La ligne du pivot est la ligne correspondant au pivot et elle est divisée par la valeur du pivot pour construire le nouveau tableau.
• Condition d’optimalité : L’optimum est atteint quand tous les coefficients de la dernière ligne du tableau sont négatifs ou nuls.

📝 Points essentiels

• Deuxième étape : on divise toute la ligne du pivot par la valeur du pivot, ce qui définit la nouvelle ligne du pivot L’p et fait entrer la variable correspondante dans la base.
• Deuxième étape : chaque autre ligne L’i est obtenue en combinant la ligne en cours avec la ligne du pivot du tableau précédent, en utilisant le coefficient de la colonne de la variable entrante et le signe de la correction.
• Troisième étape : on répète la détermination du nouveau pivot jusqu’à ce que tous les coefficients de la dernière ligne soient négatifs ou nuls, ce qui donne la solution optimale.
• Dans l’exemple, la solution optimale est la production de 12 modèles classiques, 0 rustiques et 168 modernes, avec une MCV maximale de 213600 €.
• Dans l’exemple, il reste 176 unités pour le centre de finition.

💡 Astuce mémo

Pivot = diviser la ligne pivot, puis éliminer les autres lignes avec la colonne de la variable entrante jusqu’à ce que la dernière ligne ne contienne plus que des ≤ 0.

📖 8. Ordonnancement et méthode PERT

🔑 Notions clés & Définitions

• Chemin critique : Un chemin critique est la suite d’opérations qui impose la durée minimale du projet, car tout retard sur ces étapes décale la fin du projet.
• Date de début au plus tôt : La date de début au plus tôt est la première date possible de lancement d’une tâche, obtenue en propagent le calcul dans l’ordre du graphe.
• Date de début au plus tard : La date de début au plus tard est la dernière date acceptable de lancement d’une tâche sans retarder les tâches suivantes.
• Méthode PERT : La méthode PERT est une technique de planification citée parmi les méthodes d’ordonnancement utilisées pour élaborer le calendrier de production.

📝 Points essentiels

• Le chemin critique est le chemin le plus long entre le niveau 0 et la fin du projet, constitué des opérations qui doivent s’enchaîner sans délai.
• La date de début au plus tôt se calcule en allant de gauche à droite en partant des premières opérations.
• La date de début au plus tard se calcule en allant de droite à gauche en partant de la fin.
• Le chemin critique correspond aux tâches dont la date de début au plus tôt est égale à la date de début au plus tard.
• PERT est mentionnée comme méthode d’ordonnancement dans l’élaboration du budget de production, avec MPM et diagramme de Gantt.

💡 Astuce mémo

Au PERT/MPM : gauche→droite pour le plus tôt, droite→gauche pour le plus tard, et chemin critique quand les deux dates coïncident.

📅 Repères chronologiques

📊 Tableaux de synthèse

Variables aléatoires discrètes vs continues

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre moyenne et médiane : la moyenne est une moyenne arithmétique (somme/n) alors que la médiane partage la population en deux parts d’effectifs égaux.
2. Inverser le coefficient de saisonnalité : il faut calculer Observé/Ajusté, puis désaisonnaliser par Vréelles/coefficient et prévoir en tendance*coefficient.
3. Croire que le coefficient de corrélation peut dépasser 1 en valeur absolue : il est toujours entre -1 et 1, et près de 0 implique absence de relation linéaire.
4. Se tromper sur la lecture d’une loi normale : P(a≤X≤b)=F(b)−F(a), et P(X≤a) se lit directement dans la table F.
5. Penser que la variance et l’écart-type sont des indicateurs identiques : l’écart-type est la racine carrée de la variance.
6. Oublier que, dans le simplexe, l’optimum est atteint quand la dernière ligne a des coefficients négatifs ou nuls (selon la convention du tableau), pas quand une seule variable devient positive.
7. Confondre Wilson “sans pénurie” et “avec pénurie” : dans le modèle avec pénurie on sépare TS et TP et on introduit le taux de pénurie μ=(CR/(CS+CR)), ce qui change la fonction de coût et l’optimum QR*.

✅ Checklist Examen

1. Définir une série statistique univariée comme un ensemble de couples (Xi, ni).
2. Calculer et interpréter la moyenne arithmétique, et distinguer le cas “observations” vs “fréquences”.
3. Définir la médiane et le rôle “deux parts d’effectifs égaux”.
4. Calculer la variance comme somme des écarts à la moyenne au carré divisée par l’effectif total, puis en déduire l’écart-type (racine).
5. Définir la moyenne mobile et utiliser la formule donnée pour une moyenne mobile centrée de ventes trimestrielles.
6. Calculer le coefficient de saisonnalité (Observé/Ajusté), puis savoir désaisonnaliser et prévoir (ventes prévues = tendance*coefficient).
7. En probabilités : distinguer variable discrète vs continue, et utiliser la règle “somme des probabilités = 1” (discrète) et P(a≤X≤b)=F(b)−F(a) (continue via F).
8. Pour la loi normale : savoir ramener N(m,σ) à la normale centrée réduite via T=(X−m)/σ, et choisir la bonne probabilité (≤, entre, ≥).
9. Utiliser les propriétés de l’espérance et de la variance (échelles/sommes) pour dériver les lois d’une variable de type CA=pv et R=MV−CF quand la variable de base suit une loi normale.
10. Régulation des stocks : citer les objectifs (éviter rupture et surinvestissement), rappeler stock max / stock critique / stock de sécurité, puis les méthodes 20-80 et ABC (leurs principes et classes).
11. Wilson : énoncer l’objectif de minimisation du coût total, donner les coûts (stockage moyen et passation) et l’optimum Q* sans rupture, puis traiter les adaptations avec stock de sécurité et avec pénurie (TS/TP, μ, coûts et QR*).
12. Programmation linéaire : écrire la forme canonique (variables, contraintes, fonction économique), expliquer le principe du sommet optimal (dernier contact) et appliquer la règle d’ambiguïté (comparer F aux sommets).
13. Simplexe : décrire les 3 étapes (mise sous forme standard et premier tableau, choix pivot, itération) et le critère d’arrêt (dernière ligne négative ou nulle), puis interpréter la solution optimale lue dans la base.
14. Ordonnancement : définir chemin critique et dates début au plus tôt/au plus tard (gauche→droite / droite→gauche), puis relier le chemin critique aux tâches où ces dates coïncident ; savoir que Gantt n’affiche pas chemin critique.