QCM : Introduction aux nombres complexes — 20 questions

Explication

Dans la forme $a+bi$, le coefficient de $i$ est la partie imaginaire. La partie réelle est le coefficient de $1$.

Explication

L’unité imaginaire est définie par $i^2=-1$. C’est la base du calcul algébrique des complexes.

Explication

Une équation du premier degré est linéaire : l’inconnue n’y apparaît qu’à la puissance 1. Les autres propositions décrivent d’autres types de problèmes.

Explication

Une équation à coefficients réels possède uniquement des coefficients numériques réels. Ses solutions peuvent néanmoins être complexes.

Explication

Le module correspond à la longueur du vecteur associé au complexe. L’angle, lui, est donné par l’argument.

Explication

Une racine carrée complexe est un nombre $z$ tel que $z^2$ soit égal au nombre donné. Ce n’est pas une condition sur le module seul.

Explication

L’affixe est le nombre complexe associé à la position du point dans le plan complexe. Elle encode directement ses coordonnées.

Explication

Le conjugué de $x+iy$ est $x-iy$. Il sert notamment à décrire des symétries dans le plan complexe.

Explication

La forme trigonométrique s’écrit avec le module $r$ et l’argument $\theta$ : $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$. La forme algébrique est $a+bi$.

Explication

Dans $re^{i\theta}$, $r$ est le module et $\theta$ l’argument. Cette écriture est équivalente à la forme trigonométrique.

Explication

La formule de De Moivre relie les puissances d’un complexe à son module et à son argument, en multipliant l’argument par l’exposant. Les autres propositions ne donnent pas cette règle de calcul des puissances.

Explication

Un quotient complexe n’est défini que si le dénominateur n’est pas nul. La valeur des arguments ou le caractère réel des nombres n’est pas une condition nécessaire.

Explication

Un zéro d’un polynôme est une valeur de l’inconnue qui rend le polynôme égal à zéro. Cela permet ensuite de factoriser, mais n’implique pas à lui seul une diminution du degré.

Explication

Connaître une racine permet d’introduire le facteur associé, ce qui donne une première étape de factorisation. Les autres affirmations ne découlent pas nécessairement de l’existence d’une racine.

Explication

L’argument décrit la direction du vecteur image dans le plan complexe. La longueur correspond au module, pas à l’argument.

Explication

Le conjugué change seulement le signe de la partie imaginaire : x+iy devient x-iy. Il s’agit d’une symétrie par rapport à l’axe réel dans le plan complexe.

Explication

Une équation du second degré est une équation polynomiale où l’inconnue apparaît au plus sous la forme z². Elle peut avoir des solutions complexes, et pas forcément deux solutions réelles.

Explication

Quand le discriminant est négatif et que les coefficients sont réels, les solutions ne sont pas réelles mais forment une paire de conjuguées complexes. L’absence de solutions n’est donc vraie qu’en réel.

Explication

Bombelli est présenté comme celui qui, en 1572, montre concrètement l’usage de quantités avec i dans le cadre des formules de Cardan. Girard est associé à une conjecture plus tardive sur le nombre de racines.

Explication

A. Girard est mentionné pour avoir soupçonné qu’une équation de degré n possède n racines réelles ou complexes. Les autres propositions concernent d’autres étapes historiques ou sont anachroniques.