Flashcards : Introduction aux nombres complexes — 44 cartes

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1Question

Qu'est-ce qu'un nombre complexe z ?

Réponse

Un point du plan écrit sous la forme z = a + ib avec a,b réels.

2Question

Que représente a dans z = a + ib ?

Réponse

La partie réelle de z.

3Question

Que représente b dans z = a + ib ?

Réponse

La partie imaginaire de z.

4Question

Quand dit-on qu'ib est un imaginaire pur ?

Réponse

Lorsque la partie réelle a est nulle.

5Question

Quelle condition doit vérifier l'égalité de deux nombres complexes ?

Réponse

Leurs parties réelles et imaginaires doivent être égales.

6Question

Quelle est la formule de la somme de z₁ = a₁ + ib₁ et z₂ = a₂ + ib₂ ?

Réponse

z1+z2=(a1+a2)+i(b1+b2)z₁+z₂=(a₁+a₂)+i(b₁+b₂)

7Question

Qu'impose la commutativité de l'addition des nombres complexes ?

Réponse

z1+z2=z2+z1z₁ + z₂ = z₂ + z₁

8Question

Quelle propriété associe l'addition de trois nombres complexes ?

Réponse

(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)(z₁ + z₂) + z₃ = z₁ + (z₂ + z₃)

9Question

Quelle relation vérifie l'unité imaginaire i ?

Réponse

i2=−1i^2 = -1

10Question

Quelle est la formule du produit de deux complexes z1z_1 et z2z_2 ?

Réponse

z1z2=(a1a2−b1b2)+i(a1b2+a2b1)z_1 z_2 = (a_1 a_2 - b_1 b_2) + i(a_1 b_2 + a_2 b_1)

11Question

Quelles propriétés algébriques possède la multiplication complexe ?

Réponse

Elle est commutative, associative et distributive par rapport à l'addition.

12Question

Que fait la multiplication par ii sur un complexe z=a+ibz = a + ib ?

Réponse

Elle transforme le vecteur associé (a,b) en (−b,a).

13Question

À quoi correspond la multiplication par ii en géométrie complexe ?

Réponse

À une rotation d'angle π/2\pi/2 autour de l'origine.

14Question

Quelle est la formule de l'inverse d'un complexe non nul z = a + ib ?

Réponse

1z=a−iba2+b2\frac{1}{z}=\frac{a-ib}{a^2+b^2}

15Question

Comment définit-on le quotient de deux complexes z₁ et z₂ (z₂ non nul) ?

Réponse

z1z2=z1×1z2\frac{z_1}{z_2}=z_1 \times \frac{1}{z_2}

16Question

Quelle relation lie z = a + ib et son conjugué dans le produit z(a - ib) ?

Réponse

Le produit vaut a2+b2a^2 + b^2.

17Question

Qu'est-ce que le module |z| d'un nombre complexe z ?

Réponse

C'est la distance de z à l'origine dans le plan complexe.

18Question

Quelle formule donne le module de z = a + ib ?

Réponse

∣z∣=a2+b2|z|=\sqrt{a^2+b^2}

19Question

Quelle inégalité vérifie le module de nombres complexes ?

Réponse

Le module vérifie l'inégalité triangulaire ∣z1+z2∣≤∣z1∣+∣z2∣|z_1+z_2|\leq |z_1|+|z_2|.

20Question

Quelle propriété multiplicative vérifie le module ?

Réponse

Le module est multiplicatif : ∣z1z2∣=∣z1∣∣z2∣|z_1z_2|=|z_1||z_2|.

21Question

Comment se définit l'exponentielle complexe pour un réel θ ?

Réponse

eiθ=cos⁡(θ)+isin⁡(θ)e^{iθ} = \cos(θ) + i\sin(θ).

22Question

Quelle est la formule du produit de deux exponentielles complexes eiθe^{iθ} et eiφe^{iφ} ?

Réponse

eiθeiφ=ei(θ+φ)e^{iθ} e^{iφ} = e^{i(θ+φ)}.

23Question

Quand deux exponentielles complexes sont-elles égales ?

Réponse

Si leurs angles diffèrent d'un multiple entier de 2π2\pi.

24Question

Qu'est-ce que la forme trigonométrique d'un complexe z ?

Réponse

C'est l'écriture z=reiθz=re^{i\theta} avec r=∣z∣≥0r=|z|\geq0 et θ\theta un argument de z.

25Question

Quelle condition d'égalité pour deux complexes non nuls en forme trigonométrique ?

Réponse

Ils sont égaux si r1=r2r_1=r_2 et θ1=θ2+2kπ\theta_1=\theta_2+2k\pi avec k∈Zk\in\mathbb{Z}.

26Question

Quelle est la forme trigonométrique du complexe 3+i\sqrt{3}+i ?

Réponse

Elle est 2eiπ/62e^{i\pi/6}.

27Question

Quelle est la formule du produit de deux nombres complexes en forme exponentielle ?

Réponse

z1z2=r1r2ei(θ1+θ2)z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i(\theta_1 + \theta_2)}.

28Question

Quelle est la formule de la puissance n-ième d'un nombre complexe z=reiθz = re^{iθ} ?

Réponse

zn=rneinθz^n = r^n e^{i n \theta} pour tout entier naturel n.

29Question

Comment s'exprime l'inverse d'un nombre complexe z=reiθz = re^{iθ} non nul ?

Réponse

1z=1re−iθ\frac{1}{z} = \frac{1}{r} e^{-i \theta}.

30Question

Quelle est la formule du quotient de deux nombres complexes z_1 et z_2 en forme exponentielle ?

Réponse

z1z2=r1r2ei(θ1−θ2)\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} e^{i(\theta_1 - \theta_2)} pour z2≠0z_2 \neq 0.

31Question

Comment peut-on écrire une inconnue complexe pour résoudre une équation ?

Réponse

On peut écrire z=a+ibz = a + ib, z=reiθz = re^{i\theta}, ou garder zz comme inconnue.

32Question

Quelle méthode utilise-t-on pour résoudre z+i=1−3izz + i = 1 - 3iz ?

Réponse

On regroupe les termes en zz puis multiplie par l'inverse du coefficient non nul de zz.

33Question

Qu'est-ce que le conjugué d'un nombre complexe z = a + ib ?

Réponse

Le conjugué est z‾=a−ib\overline{z} = a - ib.

34Question

Quelle symétrie caractérise le conjugué d'un complexe ?

Réponse

Il est symétrique par rapport à l’axe des abscisses.

35Question

Qu'impose la conjugaison sur la somme et le produit de complexes ?

Réponse

Elle transforme ces opérations en opérations sur les conjugués correspondants.

36Question

Quelle relation lie un complexe z à son conjugué z‾\overline{z} et son module ?

Réponse

On a zz‾=∣z∣2z\overline{z} = |z|^2.

37Question

Comment exprime-t-on la partie réelle de z avec son conjugué ?

Réponse

Re(z)=z+z‾2Re(z) = \frac{z + \overline{z}}{2}.

38Question

Comment exprime-t-on la partie imaginaire de z avec son conjugué ?

Réponse

Im(z)=z−z‾2iIm(z) = \frac{z - \overline{z}}{2i}.

39Question

Quelle est la formule du discriminant pour az² + bz + c = 0 ?

Réponse

Le discriminant est Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac.

40Question

Que signifie Δ ≥ 0 pour les racines du trinôme ?

Réponse

Le trinôme possède deux racines réelles, éventuellement confondues si Δ = 0.

41Question

Quelle est la forme de la racine α\alpha quand Δ < 0 ?

Réponse

α=−b+i∣Δ∣2a\alpha=\frac{-b+i\sqrt{|\Delta|}}{2a}.

42Question

Quelle est la forme de la racine conjuguée α‾\overline\alpha quand Δ < 0 ?

Réponse

α‾=−b−i∣Δ∣2a\overline\alpha=\frac{-b-i\sqrt{|\Delta|}}{2a}.

43Question

Que permettent de représenter les nombres complexes dans le plan ?

Réponse

Les points du plan.

44Question

Quelle unification les nombres complexes assurent-ils ?

Réponse

Ils unifient les calculs algébriques, géométriques et trigonométriques.

Teste-toi avec le QCM

Teste tes connaissances avec un QCM de 25 questions sur Introduction aux nombres complexes.

1. Deux nombres complexes sont égaux lorsque :

2. Concernant la somme de nombres complexes, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Faire le QCM →

Consultez la fiche

Révisez le cours complet dans la fiche de révision de Introduction aux nombres complexes.

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