Fiche de révision : Introduction aux nombres complexes

📋 Plan du Cours

1. Définition et représentation complexe
2. Somme de nombres complexes
3. Produit et géométrie complexe
4. Inverse et quotient complexes
5. Module et propriétés
6. Exponentielle complexe
7. Forme trigonométrique
8. Opérations trigonométriques
9. Équations dans les complexes
10. Conjugaison complexe
11. Équations du second degré
12. Utilité des nombres complexes

📖 1. Définition et représentation complexe

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre complexe : Point du plan que l’on écrit sous la forme algébrique z = a + ib, où a et b sont réels.

📝 Points essentiels

📌 Dans z = a + ib, a = Re(z) est la partie réelle et b = Im(z) est la partie imaginaire, tandis que ib est un imaginaire pur lorsque la partie réelle est nulle.

📌 Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles sont égales et leurs parties imaginaires sont égales.

💡 Astuce mémo

Un complexe comme un point (a,b) dans le plan

📖 2. Somme de nombres complexes

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour z₁ = a₁ + ib₁ et z₂ = a₂ + ib₂, on a $z₁+z₂=(a₁+a₂)+i(b₁+b₂)$.

Compléments

📌 L’addition des nombres complexes est commutative et associative : z₁ + z₂ = z₂ + z₁ et (z₁ + z₂) + z₃ = z₁ + (z₂ + z₃).

📖 3. Produit et géométrie complexe

★ À maîtriser

📐 Formule — L’unité imaginaire vérifie $i^2=-1$, ce qui donne, pour z₁ = a₁ + ib₁ et z₂ = a₂ + ib₂, $z₁z₂=(a₁a₂-b₁b₂)+i(a₁b₂+a₂b₁)$.

📌 La multiplication complexe est commutative, associative et distributive par rapport à l’addition.

Compléments

• Multiplier un complexe z = a + ib par i transforme son vecteur associé (a,b) en (−b,a), ce qui correspond à une rotation autour de l’origine d’angle π/2.

💡 Astuce mémo

i² = −1 → produit complexe et rotation par i

📖 4. Inverse et quotient complexes

🔑 Notions clés & Définitions

• Quotient complexe : Le quotient de z₁ par z₂, avec z₂ non nul, est défini par $\frac{z₁}{z₂}=z₁\times\frac{1}{z₂}$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour z = a + ib non nul, son inverse est $\frac{1}{z}=\frac{a-ib}{a^2+b^2}$.

Compléments

📐 Formule — Pour tout complexe z = a + ib, on a $z(a-ib)=a^2+b^2$.

📖 5. Module et propriétés

🔑 Notions clés & Définitions

• Module : Distance à l’origine dans le plan complexe.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Si z = a + ib, alors $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$.

📌 Le module vérifie l’inégalité triangulaire $|z₁+z₂|\leq |z₁|+|z₂|$ et la multiplicativité $|z₁z₂|=|z₁||z₂|$.

💡 Astuce mémo

Le module comme la distance entre l’origine et le point complexe

📖 6. Exponentielle complexe

🔑 Notions clés & Définitions

• Exponentielle complexe : Pour tout réel θ, $\cos(θ)+i\sin(θ)$.

📝 Points essentiels

📌 Pour tous réels θ et φ, $e^{iθ}e^{iφ}=e^{i(θ+φ)}$.

📌 Deux exponentielles complexes sont égales si et seulement si leurs angles diffèrent d’un multiple entier de 2π.

💡 Astuce mémo

Angles → produits → somme des angles

📖 7. Forme trigonométrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme trigonométrique : Tout complexe z s’écrit sous forme trigonométrique $z=re^{iθ}$, où r = |z| est positif ou nul et θ est un argument de z.

★ À maîtriser

📌 Pour deux complexes non nuls r₁e^{iθ₁} et r₂e^{iθ₂}, leur égalité équivaut à r₁ = r₂ et θ₁ = θ₂ + 2kπ pour un entier k.

Compléments

• Le complexe √3 + i a pour forme trigonométrique $2e^{i\pi/6}$.

📖 8. Opérations trigonométriques

★ À maîtriser

📐 Formule — Si z₁ = r₁e^{iθ₁} et z₂ = r₂e^{iθ₂}, alors $z₁z₂=r₁r₂e^{i(θ₁+θ₂)}$.

📐 Formule — Pour tout entier naturel n, $z^n=r^ne^{inθ}$ lorsque z = re^{iθ}.

Compléments

📐 Formule — Pour z = re^{iθ} non nul, $\frac{1}{z}=\frac{1}{r}e^{-iθ}$ et, pour z₂ non nul, $\frac{z₁}{z₂}=\frac{r₁}{r₂}e^{i(θ₁-θ₂)}$.

💡 Astuce mémo

La forme trigonométrique facilite les produits mais complique les sommes

📖 9. Équations dans les complexes

★ À maîtriser

• Une équation complexe peut être résolue en écrivant z = a + ib, en écrivant z = re^{iθ}, ou en conservant z comme inconnue selon la structure de l’équation.

Compléments

• Pour résoudre une équation comme z + i = 1 − 3iz, on peut regrouper les termes en z puis multiplier par l’inverse du coefficient non nul de z.

📖 10. Conjugaison complexe

🔑 Notions clés & Définitions

• Conjugué : Le complexe $a-ib$, symétrique de z par rapport à l’axe des abscisses.

📝 Points essentiels

📌 La conjugaison respecte les opérations : elle transforme une somme, une différence, un produit, un quotient défini ou une puissance en l’opération correspondante sur les conjugués.

📐 Formule — Pour tout z, $z\overline z=|z|^2$, $Re(z)=\frac{z+\overline z}{2}$ et $Im(z)=\frac{z-\overline z}{2i}$.

💡 Astuce mémo

z et son conjugué sont réfléchis de part et d’autre de l’axe réel

📖 11. Équations du second degré

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour az² + bz + c = 0 avec a, b et c réels et a non nul, le discriminant est $\Delta=b^2-4ac$.

📌 Si Δ ≥ 0, le trinôme possède deux racines réelles, éventuellement confondues lorsque Δ = 0, tandis que si Δ < 0, il possède deux racines complexes non réelles conjuguées.

📐 Formule — Lorsque Δ < 0, les racines sont $\alpha=\frac{-b+i\sqrt{|\Delta|}}{2a}$ et $\overline\alpha=\frac{-b-i\sqrt{|\Delta|}}{2a}$.

💡 Astuce mémo

Discriminant positif, nul, puis négatif

📖 12. Utilité des nombres complexes

📝 Points essentiels

• Les nombres complexes permettent de représenter les points du plan et d’unifier les calculs algébriques, géométriques et trigonométriques.

📊 Tableaux de synthèse

Formes d’un nombre complexe