Fiche de révision : Les ensembles de nombres

📋 Plan du Cours

1. Entiers naturels et zéro
2. Entiers relatifs et nombres décimaux
3. Nombres rationnels
4. Nombres irrationnels et réels
5. Algébriques et transcendants
6. Nombres complexes et extensions

📖 1. Entiers naturels et zéro

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers naturels : Nombres utilisés pour compter, auxquels appartient également zéro, et leur ensemble se note N.

📝 Points essentiels

• Zéro est le premier entier naturel et s’écrit 0.

📖 2. Entiers relatifs et nombres décimaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers relatifs : Regroupent les entiers positifs et les entiers négatifs, comme −5, −200 et −14, et leur ensemble se note Z.
• Nombres décimaux : Obtenus notamment en partageant un entier et possèdent une écriture décimale qui s’arrête, comme 1,5.

💡 Astuce mémo

Ajouter les négatifs → passer des naturels aux relatifs ; fractionner les entiers → obtenir les décimaux

📖 3. Nombres rationnels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres rationnels : Nombres qui peuvent s’écrire comme le quotient $\frac{A}{B}$ de deux nombres relatifs, avec un dénominateur non nul, et leur ensemble se note Q.

📝 Points essentiels

• Le quotient $\frac{1}{3}$ est un nombre rationnel dont l’écriture décimale est 0,333… avec une infinité de chiffres 3.

💡 Astuce mémo

Une fraction avec A au-dessus et B en dessous représente un rationnel

📖 4. Nombres irrationnels et réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres irrationnels : Nombres réels dont l’écriture décimale est infinie et ne présente pas de suite logique répétée.
• Nombres réels : Regroupent notamment les nombres rationnels et les nombres irrationnels, et leur ensemble se note R.

★ À maîtriser

• Le nombre $\sqrt{2}$ est irrationnel, car il vaut environ 1,4142135… et son écriture décimale ne s’arrête jamais.

Compléments

• Les pythagoriciens du VIe siècle avant Jésus-Christ ont longtemps nié l’existence des nombres irrationnels et ont tenté de les cacher.

💡 Astuce mémo

Rationnel : décimales périodiques ; irrationnel : décimales infinies sans période

📖 5. Algébriques et transcendants

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres transcendants : Nombres qui ne sont pas algébriques et qui ne sont solutions d’aucune équation polynomiale à coefficients entiers.

📝 Points essentiels

• Le nombre √2 est algébrique, car il est solution de l’équation polynomiale $x^2=2$.

• Le nombre π est transcendant, car il n’existe aucune équation polynomiale à coefficients entiers dont π soit solution.

💡 Astuce mémo

Algébrique : solution d’une équation polynomiale ; transcendant : aucune solution de ce type

📖 6. Nombres complexes et extensions

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres complexes : Nombres de la forme $A+iB$, où A et B sont des nombres réels, et leur ensemble se note C.
• Unité imaginaire : Solution complexe de l’équation $x^2=-1$, qui n’a pas de solution réelle.

★ À maîtriser

📌 Les ensembles de nombres sont emboîtés selon la chaîne N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.

Compléments

• Le nombre 1 est simultanément naturel, entier relatif, décimal, rationnel, réel et complexe.

• Après les nombres complexes, le cours cite les hypercomplexes ou quaternions notés H, les octavions notés O et les p-adiques notés QP.

💡 Astuce mémo

N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R ⊂ C

📊 Tableaux de synthèse

Inclusion des ensembles numériques