Fiche de révision : Introduction aux probabilités conditionnelles

📋 Plan du Cours

1. Probabilité conditionnelle : définition et notation
2. Méthodes de calcul : tableau, arbre, formules
3. Arbre de probabilités pondéré : règles et événements
4. Formule de probabilité conditionnelle
5. Indépendance de deux événements et caractérisations
6. Formule des probabilités totales et partition de l’univers
7. Rappels sur l’union et les événements incompatibles

📖 1. Probabilité conditionnelle : définition et notation

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité conditionnelle : La probabilité conditionnelle mesure la probabilité d’un événement B quand on sait que l’événement A est réalisé.
• pA(B) : La notation pA(B) désigne la probabilité de B sachant que A est réalisé.
• P(B|A) : La notation P(B|A) est une écriture équivalente de la probabilité de B sachant A.
• Événement A : Un événement A est un sous-ensemble de l’univers Ω dont la réalisation sert de condition.
• Événement B : Un événement B est un sous-ensemble de l’univers Ω dont on cherche la probabilité sous condition.

📝 Points essentiels

• La probabilité conditionnelle correspond à la probabilité de B après avoir appris que A est réalisé.
• On la note pA(B) ou P(B|A).
• Le calcul de P(B|A) nécessite une information sur A et sur l’intersection A∩B.
• Le cours présente trois méthodes de calcul : tableau, arbre, formules à partir des nombres de cas.
• La probabilité conditionnelle est une probabilité « sous contrainte » et pas une probabilité ordinaire.

💡 Astuce mémo

Condition = filtre : P(B|A) = probabilité de B dans le monde où A est vrai.

📖 2. Méthodes de calcul : tableau, arbre, formules

🔑 Notions clés & Définitions

• Tableau de probabilités : Un tableau est un outil de dénombrement qui organise les cas pour calculer des probabilités à partir de nombres de cas favorables.
• Arbre de probabilité : Un arbre de probabilité est un schéma qui résume une situation aléatoire et permet de calculer des probabilités par étapes.
• Arbre de probabilités pondéré : Un arbre pondéré associe à chaque branche une probabilité, ce qui permet de calculer les probabilités des issues via les chemins.
• Formules de dénombrement : Les formules de calcul utilisent directement les nombres de cas réalisant chaque événement pour obtenir les probabilités.

📝 Points essentiels

• Le tableau sert à faciliter la déduction et le calcul des cas favorables à chaque événement.
• L’arbre est utilisé quand on connaît des probabilités à chaque étape.
• Les formules sont utilisées quand on connaît directement les nombres de cas réalisant chaque événement.
• Dans un arbre pondéré, les probabilités portées sur les branches correspondent aux événements menant à ces branches.
• La probabilité d’une issue se calcule en combinant les probabilités des branches du chemin correspondant.

💡 Astuce mémo

Tableau = cas favorables, Arbre = probabilités par étapes, Formules = nombres de cas directement.

📖 3. Arbre de probabilités pondéré : règles et événements

🔑 Notions clés & Définitions

• Branche : Une branche est un segment de l’arbre reliant deux événements successifs.
• Nœud : Un nœud est un point de l’arbre où plusieurs branches se rencontrent.
• Chemin : Un chemin est une suite de branches allant du nœud initial jusqu’à une extrémité de l’arbre.
• Événement bilan : L’événement bilan est l’événement associé à l’extrémité d’un chemin, défini comme l’intersection de tous les événements du chemin.
• Univers Ω : L’univers Ω regroupe toutes les issues possibles de l’expérience aléatoire.

📝 Points essentiels

• La somme des probabilités des branches issues d’un même nœud vaut 1.
• La probabilité d’une issue s’obtient en multipliant les probabilités des branches du chemin qui mène à cette issue.
• La probabilité d’une liste d’issues correspondant à plusieurs chemins s’obtient en additionnant les probabilités de chaque chemin.
• L’événement bilan est l’intersection de tous les événements rencontrés le long du chemin.
• Le cours illustre l’usage de l’arbre avec des tirages successifs, où la structure du chemin correspond aux étapes successives.

💡 Astuce mémo

Chemin = intersection, branches = multiplication, plusieurs chemins = addition.

📖 4. Formule de probabilité conditionnelle

🔑 Notions clés & Définitions

• Règle de probabilité conditionnelle : La règle relie la probabilité conditionnelle à la probabilité de l’intersection et à la probabilité de la condition.
• Intersection A∩B : L’intersection A∩B représente l’événement où A et B se réalisent simultanément.
• Probabilité de A : La probabilité de A, notée p(A), mesure la chance que la condition A soit réalisée.
• pA(B) : pA(B) est la probabilité de B sachant que A est réalisé.

📝 Points essentiels

• La formule donnée est pA(B)= p(A∩B) / p(A).
• Le dénominateur est p(A), donc la formule suppose que p(A) est non nulle pour être interprétable.
• Le cours relie directement la probabilité conditionnelle à l’intersection A∩B.
• Dans l’exemple d’urne, la probabilité conditionnelle correspond aux probabilités placées sur les branches de l’arbre.
• La formule permet de passer d’une probabilité d’intersection à une probabilité conditionnelle.

💡 Astuce mémo

Fraction : intersection au numérateur, condition au dénominateur.

📖 5. Indépendance de deux événements et caractérisations

🔑 Notions clés & Définitions

• Indépendance : Deux événements sont indépendants si la réalisation de l’un ne modifie pas la probabilité de l’autre.
• Événements indépendants : Des événements A et B sont indépendants lorsque la probabilité de B sachant A reste égale à la probabilité de B.
• p(A∩B) : p(A∩B) est la probabilité que A et B se produisent ensemble.
• p(A)×p(B) : Le produit p(A)×p(B) est l’expression attendue pour p(A∩B) lorsque A et B sont indépendants.
• pA(B) : pA(B) est la probabilité de B sachant A, utilisée pour tester l’indépendance.

📝 Points essentiels

• Si A et B sont indépendants, alors pA(B)= p(A∩B)/p(A) et cela conduit à pA(B)=p(B).
• La caractérisation centrale est p(A∩B)=p(A)×p(B).
• Le cours donne aussi l’égalité p(A∩B)=p(A)×p(B) comme équivalence à l’indépendance.
• Si A et B sont indépendants, alors A et B ; B et A ; A et B le sont aussi (symétrie).
• L’exemple avec tirage avec remise illustre que la deuxième expérience ne dépend pas de la première, ce qui correspond à l’indépendance.

💡 Astuce mémo

Indépendance = pas d’effet : P(B|A)=P(B) et donc P(A∩B)=P(A)P(B).

📖 6. Formule des probabilités totales et partition de l’univers

🔑 Notions clés & Définitions

• Partition de l’univers Ω : Une partition de Ω est une décomposition en événements tels que chaque issue appartient à un seul d’entre eux.
• Événements A1, A2, …, An : Les événements A1 à An sont les blocs de la partition utilisés pour décomposer les probabilités.
• Formule des probabilités totales : La formule des probabilités totales exprime la probabilité d’un événement B comme somme des probabilités de B sur chaque bloc de la partition.
• p(B∩Ai) : p(B∩Ai) est la probabilité que B et le bloc Ai se réalisent ensemble.

📝 Points essentiels

• Les événements A1, A2, …, An forment une partition de Ω quand chaque issue de Ω appartient à un et un seul Ai.
• Pour tout événement B de Ω, on a p(B)=p(B∩A1)+p(B∩A2)+…+p(B∩An).
• La formule repose sur l’idée que les cas se répartissent entre les blocs de la partition.
• Dans l’exemple cartes, la partition correspond à « rouge » et « noire » et chaque bloc a une probabilité 0,5.
• Le calcul de la probabilité d’un roi se fait en additionnant les contributions sur les blocs rouge puis noir.

💡 Astuce mémo

Partition = somme : P(B)=Σ P(B∩Ai).

📖 7. Rappels sur l’union et les événements incompatibles

🔑 Notions clés & Définitions

• Union A∪B : L’union A∪B est l’événement où au moins un des événements A ou B se réalise.
• Événements incompatibles : Deux événements sont incompatibles s’ils ne peuvent pas se réaliser simultanément, donc leur intersection est vide.
• Intersection A∩B : L’intersection A∩B est l’événement commun aux deux événements A et B.
• Formule d’addition générale : La formule d’addition générale relie la probabilité de l’union à la somme des probabilités individuelles et à la correction par l’intersection.

📝 Points essentiels

• La formule générale est p(A∪B)=p(A)+p(B)−p(A∩B).
• Si A et B sont incompatibles, alors p(A∪B)=p(A)+p(B).
• L’incompatibilité correspond à l’absence de recouvrement : p(A∩B)=0 dans ce cas.
• La correction −p(A∩B) évite de compter deux fois la partie commune quand A et B se recouvrent.
• Le cours relie explicitement la formule d’union à la notion d’incompatibilité.

💡 Astuce mémo

Union = somme moins doublon : p(A∪B)=p(A)+p(B)−p(A∩B).

📊 Tableaux de synthèse

Indépendance : conséquences équivalentes

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre pA(B) avec p(B) : pA(B) est une probabilité sous condition, pas une probabilité ordinaire.
2. Oublier que la formule pA(B)=p(A∩B)/p(A) nécessite p(A) non nul.
3. Dans un arbre, additionner les probabilités de branches au lieu de multiplier celles d’un chemin.
4. Dans un arbre, confondre événement bilan (intersection le long du chemin) et simple événement de la dernière branche.
5. Appliquer p(A∪B)=p(A)+p(B) alors que A et B ne sont pas incompatibles (il faut alors soustraire p(A∩B)).
6. Penser que l’indépendance est seulement « une idée » : elle se caractérise par des égalités précises comme p(A∩B)=p(A)p(B) et pA(B)=p(B).

✅ Checklist Examen

1. Savoir définir la probabilité conditionnelle et donner les notations pA(B) et P(B|A).
2. Savoir choisir et appliquer une méthode de calcul : tableau, arbre pondéré, ou formules à partir des nombres de cas.
3. Savoir lire un arbre pondéré : somme des probabilités sortant d’un nœud vaut 1, probabilité d’une issue = produit le long du chemin, probabilité de plusieurs issues = somme des chemins.
4. Savoir utiliser la formule pA(B)=p(A∩B)/p(A) pour calculer une probabilité conditionnelle.
5. Savoir caractériser l’indépendance : pA(B)=p(B) et p(A∩B)=p(A)×p(B), et reconnaître la symétrie des rôles.
6. Savoir appliquer la formule des probabilités totales avec une partition : p(B)=Σ p(B∩Ai).
7. Savoir utiliser la formule d’union : p(A∪B)=p(A)+p(B)−p(A∩B) et la simplification en cas d’incompatibilité.