L’ensemble des issues possibles de l’expérience
Explication
L’univers Ω est l’ensemble de toutes les issues possibles d’une expérience aléatoire. Un événement est seulement une partie de Ω, pas l’ensemble complet.
Leur intersection est vide
Explication
Deux événements disjoints ne peuvent pas se produire en même temps, donc leur intersection est vide. Leur union n’est pas forcément l’univers.
En divisant le nombre de cas favorables par le nombre de cas possibles
Explication
En situation d’équiprobabilité, on utilise le rapport cas favorables / cas possibles. C’est la règle de base indiquée pour ce type de calcul.
P(B∪C)=P(B)+P(C)-P(B∩C)
Explication
Quand deux événements ont une intersection non vide, il faut retirer cette intersection pour éviter de la compter deux fois. La bonne formule est donc somme moins intersection.
P_B(A)=P(A∩B)/P(B)
Explication
La probabilité conditionnelle de A sachant B est définie par le quotient de la probabilité de l’intersection par celle de B. Cette expression n’est valable que si P(B) est non nulle.
P(A∩B)=P(A)P(B)
Explication
Deux événements sont indépendants lorsque la probabilité de leur intersection est le produit de leurs probabilités. Dans ce cas, connaître B ne modifie pas la probabilité de A.
En multipliant les probabilités des branches successives
Explication
Le principe du produit dit qu’un chemin sur un arbre se calcule en multipliant les probabilités le long des branches successives. C’est la règle fondamentale pour une issue atteinte par plusieurs étapes.
P(A)=∑ P(A∩Bi)
Explication
Lorsque les B_i forment une partition de Ω, la probabilité de A se décompose en somme des probabilités des intersections A∩B_i. C’est exactement la formule des probabilités totales.
Une fonction qui associe à chaque issue une valeur réelle
Explication
Une variable aléatoire discrète associe à chaque issue de l’univers une valeur réelle. Elle permet ensuite de définir une loi de probabilité sur ces valeurs.
F(x)=P(X≤x)
Explication
La fonction de répartition est définie par F(x)=P(X≤x), c’est-à-dire la probabilité que X prenne une valeur inférieure ou égale à x. Elle ne correspond pas à une probabilité ponctuelle.
10000
Explication
Avec répétition autorisée, on compte des arrangements avec répétition : il y a donc 10 choix pour chaque position, soit $10^4=10000$. 5040 correspondrait à un choix sans répétition.
\binom{n}{p}
Explication
Les combinaisons comptent des choix sans ordre et sans répétition, ce qui s’écrit $\binom{n}{p}=\dfrac{n!}{p!(n-p)!}$. La formule $\dfrac{n!}{(n-p)!}$ compte au contraire des arrangements sans répétition.
n répétitions indépendantes avec deux issues de probabilités p et 1-p
Explication
Un schéma de Bernoulli consiste en n répétitions indépendantes d’une même expérience à deux issues, succès et échec, de probabilités p et q=1-p. Les autres propositions introduisent soit la dépendance, soit plus de deux issues, soit une seule épreuve.
Le nombre total de succès obtenus
Explication
Dans ce cadre, X compte le nombre de succès obtenus sur les n répétitions. Elle ne représente ni la probabilité p, ni seulement les échecs, ni l’issue de la dernière épreuve.
\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}
Explication
La loi binomiale vérifie, pour k entre 0 et n, $P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$. Les autres expressions oublient soit le coefficient binomial, soit le bon exposant des succès et des échecs.
E(X)=np et V(X)=np(1-p)
Explication
Pour une loi binomiale B(n,p), l’espérance vaut $np$ et la variance vaut $npq$ avec $q=1-p$, donc $np(1-p)$. Les autres propositions confondent ces formules avec d’autres quantités.
Mémorisez les réponses avec 16 flashcards sur Introduction aux probabilités et combinatoire.
Événement aléatoire — définition ?
Issue non prévisible à l’avance, plusieurs résultats possibles.
Univers Ω — rôle ?
Ensemble des issues possibles d’une expérience.
Événement élémentaire — définition ?
Contient une seule issue de Ω.
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