Fiche de révision : Introduction aux probabilités et fonctions fondamentales

📋 Plan du Cours

1. Indépendance et arbres pondérés
2. Variables aléatoires et espérance
3. Fonctions affines et variations
4. Fonctions polynomiales et dérivation
5. Suites arithmétiques et géométriques
6. Géométrie analytique et Al Kashi
7. Trigonométrie, exponentielle et dérivation

📖 1. Indépendance et arbres pondérés

🔑 Notions clés & Définitions

• Indépendance de deux événements : Deux événements sont indépendants quand la probabilité de l’un ne change pas quand on sait que l’autre est réalisé.
• Épreuves indépendantes : Des épreuves sont indépendantes quand le résultat d’une épreuve ne dépend pas des résultats des épreuves précédentes.
• Arbre pondéré : Un arbre pondéré est une représentation des issues successives où chaque branche porte une probabilité.

📝 Points essentiels

• Si $P(B)\neq 0$ et que $P( B\mid A)=P(B)$, alors $A$ et $B$ sont indépendants.
• Pour deux événements indépendants, on utilise $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$ pour calculer une probabilité sur les deux ensembles.
• Avec un jeu de 32 cartes, $R$ (tirer un roi) et $T$ (tirer un trèfle) sont indépendants car $P_T(R)=P(R)$ vaut $1/8$.
• Après ajout de deux jokers, $P_T(R)\neq P(R)$ donc $R$ et $T$ ne sont plus indépendants.

💡 Astuce mémo

Indépendance = même probabilité « que je sache ou non » : $P(B\mid A)=P(B)$ ; l’arbre traduit ça avec des branches identiques.

📖 2. Variables aléatoires et espérance

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable aléatoire : Une variable aléatoire associe un nombre réel à chaque issue de l’univers des possibles d’une expérience aléatoire.
• Loi de probabilité : La loi de probabilité d’une variable aléatoire liste, pour chaque valeur possible $x_i$, la probabilité $P(X=x_i)$.
• Espérance de X : L’espérance $E(X)$ est la moyenne théorique pondérée des valeurs possibles de $X$ par leurs probabilités.

📝 Points essentiels

• Pour calculer $P(X=5)$ ou $P(X=-1)$, on traduit l’événement en termes de cartes (ou d’issues) correspondant à la valeur prise par $X$ puis on divise par le nombre total d’issues.
• Si $X$ prend les valeurs $x_1,\dots,x_n$ avec probabilités $p_1,\dots,p_n$, alors $E(X)=\sum_{i=1}^n p_i x_i$.
• Dans le jeu de 32 cartes (cœur=+2, roi=+5, autres=-1), on obtient $E(X)=\frac{15}{32}\approx 0{,}47\,EUR$.
• Dans ce même exemple, la variance vaut $V(X)\approx 5{,}1865$ et l’écart-type $\sigma(X)\approx 2{,}28$.

💡 Astuce mémo

Espérance : somme des valeurs, mais “pondérée” par les probabilités : $E(X)=p_1x_1+\cdots+p_nx_n$.

📖 3. Fonctions affines et variations

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction affine : Une fonction affine sur $\mathbb{R}$ s’écrit sous la forme $f(x)=ax+b$ avec deux réels $a$ et $b$.
• Coefficient directeur : Le coefficient directeur $a$ d’une fonction affine mesure la variation de $f$ quand on augmente $x$ de 1.
• **Constante $b** : La constante$b$est l’ordonnée à l’origine de la fonction affine$f(x)=ax+b$.

📝 Points essentiels

• Pour $f(x)=ax+b$, si $m\neq n$ alors $a=\dfrac{f(n)-f(m)}{n-m}$, calculable à partir de deux points distincts.
• Dans le calcul de $a$, échanger $m$ et $n$ ne change pas la valeur de $a$ car le numérateur et le dénominateur changent de signe.
• Pour trouver $b$, on remplace un des points donnés dans $f(x)=ax+b$, puis on isole $b$ dans l’égalité obtenue.
• Une fois $a$ et $b$ trouvés, l’expression de $f$ est entièrement déterminée par $f(x)=ax+b$.

💡 Astuce mémo

Pente = (variation des valeurs)/(variation des abscisses), donc $a=\frac{\Delta f}{\Delta x}$.

📖 4. Fonctions polynomiales et dérivation

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynomiale : Une fonction polynomiale est une fonction écrite comme somme de termes de la forme $a x^n$ avec $n$ entier, dont la dérivée se calcule terme à terme.
• Dérivée d’un polynôme : La dérivée d’une fonction polynomiale transforme chaque terme $a x^n$ en $a n x^{n-1}$, ce qui permet ensuite d’étudier son signe.
• Extremum via dérivée : Un extremum d’une fonction dérivable apparaît quand sa dérivée s’annule et change de signe au point considéré.

📝 Points essentiels

• Si $f(x)=2x^2-8x+1$, alors $f'(x)=4x-8$ et le signe de $f'(x)$ se lit via les valeurs de $x$ pour lesquelles $4x-8=0$, soit $x=2$.
• Pour $f(x)=x^3+ rac{9}{2}x^2-12x+5$ (forme donnée dans le cours), on calcule $f'(x)=3x^2+9x-12$ puis on détermine ses racines pour savoir où la fonction change de sens.
• Sur un intervalle ouvert, si $f'(x)$ s’annule et change de signe en $x=x_0$, alors $f$ admet un extremum au point d’abscisse $x_0$.
• Pour une fonction du second degré, la dérivée est une fonction affine donc son signe est négatif puis positif (ou l’inverse) selon le coefficient directeur, avec un point critique unique.

📖 5. Suites arithmétiques et géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Une suite arithmétique vérifie qu’il existe une raison r telle que chaque terme vaut le précédent plus r.
• Raison d’une suite arithmétique : La raison est le nombre r égal à la différence entre deux termes consécutifs d’une suite arithmétique.
• Suite géométrique : Une suite géométrique vérifie qu’il existe une raison q non nulle telle que chaque terme vaut le précédent multiplié par q.

📝 Points essentiels

• Si (u_n) est arithmétique de premier terme u_0 et de raison r, alors u_n=u_0+n,r pour tout entier naturel n.
• Si r>0 alors une suite arithmétique est croissante, et si r<0 elle est décroissante.
• Si (u_n) est géométrique de premier terme u_0 et de raison q, alors u_n=u_0,q^n pour tout entier naturel n.
• Si u_0>0 : q>1 implique une suite géométrique croissante et 0<q<1 implique une suite décroissante ; si u_0<0, les sens s’inversent.

💡 Astuce mémo

Arithmétique : +r (accroît linéairement) ; Géométrique : ×q (accroît exponentiellement).

📖 6. Géométrie analytique et Al Kashi

📖 7. Trigonométrie, exponentielle et dérivation

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée d’une fonction composée : La dérivée d’une fonction composée exprime la dérivée du produit de deux étapes, la dérivée extérieure multipliée par la dérivée intérieure.
• Fonction puissance : Une fonction puissance $u(x)^n$ se dérive en appliquant la règle de puissance à la fonction extérieure puis en dérivant $u(x)$ à l’aide de la dérivation de composée.
• Racine carrée : La racine carrée $\sqrt{u(x)}$ est une fonction puissance particulière qu’on dérive en utilisant la règle de dérivation de $u(x)^{1/2}$.

📝 Points essentiels

• Pour une composée de la forme $f(ax+b)$, on a $(f(ax+b))' = a\,f'(ax+b)$.
• Si $g(x)=(7x+1)^3$, alors $g'(x)=21(7x+1)^2$.
• Si $h(x)=\sqrt{5x-4}$, alors $h'(x)=\dfrac{5}{2\sqrt{5x-4}}$.
• La dérivation d’une composée nécessite de multiplier par le facteur de la variable à l’intérieur, ici $a$ dans $ax+b$.

💡 Astuce mémo

Composée f(ax+b) : on garde f' au bon endroit et on multiplie par a (le “dédoublement intérieur→extérieur”).

📅 Repères chronologiques

📊 Tableaux de synthèse

Suites arithmétiques vs suites géométriques

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Penser que l’indépendance se teste avec P(A|B)=P(A) « au hasard » : il faut une probabilité conditionnelle avec les bons événements.
2. Confondre le 2e niveau d’un arbre « successions » (succession d’épreuves indépendantes) avec une vraie probabilité conditionnelle : ce n’est pas le cadre à ce niveau.
3. Oublier que pour une suite géométrique, le terme général utilise q^n (et non n×q).
4. Se tromper sur le sens de variation des suites : dans une géométrique, si u0<0, l’interprétation des sens s’inverse.
5. Chercher un extremum sans vérifier le critère « dérivée s’annule et change de signe » (ou, pour un polynôme du 2e degré, utiliser la structure de la dérivée affine).
6. Calculer la pente d’une tangente comme une variation « moyenne » sur un intervalle, alors qu’il faut le nombre dérivé au point (pente limite).
7. En exponentielle, confondre exp(x+y)=exp(x)exp(y) (somme → produit) avec exp(x−y) : il faut exp(x) / exp(y).

✅ Checklist Examen

1. Énoncer la définition de l’indépendance de deux événements et l’une des propriétés équivalentes avec probabilité conditionnelle ou P(A∩B)=P(A)×P(B).
2. Démontrer l’indépendance à partir des probabilités (notamment sur un jeu de 32 cartes) et conclure avec l’égalité attendue.
3. Reconnaître deux épreuves indépendantes (succession d’expériences identiques avec remise) et construire l’arbre pondéré des issues.
4. À l’aide d’un tableau croisé ou d’un arbre, calculer une probabilité conditionnelle P(B|A) (avec marges) puis une probabilité d’intersection.
5. Pour une variable aléatoire, établir sa loi de probabilité et calculer E(X)=Σ p_i x_i ; interpréter l’espérance.
6. Sur un polynôme, calculer la dérivée terme à terme, puis étudier le signe de la dérivée pour dresser les variations et identifier un extremum via annulation + changement de signe.
7. Pour une fonction affine f(x)=ax+b, déterminer le coefficient directeur a avec deux points, puis en déduire le sens de variation selon le signe de a.
8. Déterminer nature et terme général d’une suite arithmétique (u_n=u_0+n r) ou géométrique (u_n=u_0 q^n), puis établir le sens de variation avec les hypothèses (notamment q>1, 0<q<1, et le cas u0<0 en géométrique).
9. Résoudre un calcul avec somme de termes : utiliser la formule de somme de la suite arithmétique (1+...+n) ou de la suite géométrique (somme des n+1 premiers termes).
10. En exponentielle, appliquer les propriétés exp(x+y)=exp(x)exp(y) et exp(-x)=1/exp(x), puis dériver une fonction de type (x↦e^{kx}) avec f'(x)=k e^{kx}.
11. En trigonométrie, savoir passer degrés ↔ radians via 2π pour un tour et utiliser les valeurs remarquables de sin et cos sur les angles du cours.