QCM : Introduction aux probabilités et fonctions fondamentales — 14 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quand deux événements sont-ils indépendants ?

Quand ils ne peuvent pas se produire en même temps
Quand la probabilité de l’un ne change pas lorsqu’on sait que l’autre est réalisé
Quand la somme de leurs probabilités vaut 1
Quand ils ont la même probabilité de réalisation

Quand la probabilité de l’un ne change pas lorsqu’on sait que l’autre est réalisé

Explication

Deux événements sont indépendants si connaître la réalisation de l’un ne modifie pas la probabilité de l’autre. Une égalité comme P(A∩B)=P(A)×P(B) traduit aussi cette indépendance.

2. Dans un arbre pondéré, que représente la probabilité inscrite sur une branche ?

La probabilité cumulée de tout le chemin parcouru
La fréquence observée après un grand nombre d’essais
La probabilité de l’événement contraire au premier niveau
La probabilité de l’issue associée à cette branche

La probabilité de l’issue associée à cette branche

Explication

Dans un arbre pondéré, chaque branche porte la probabilité de l’issue ou de l’étape correspondante. La probabilité cumulée d’un chemin se calcule ensuite en multipliant les probabilités des branches.

3. Qu’est-ce qu’une variable aléatoire ?

Une grandeur qui prend la même valeur dans toutes les issues
Une liste de probabilités associées à des événements incompatibles
Une fonction qui associe un nombre réel à chaque issue possible d’une expérience aléatoire
Une probabilité conditionnelle calculée après observation

Une fonction qui associe un nombre réel à chaque issue possible d’une expérience aléatoire

Explication

Une variable aléatoire associe bien un nombre réel à chaque issue de l’univers des possibles. La liste des probabilités des valeurs prises correspond ensuite à sa loi de probabilité.

4. Quelle formule donne l’espérance d’une variable aléatoire prenant les valeurs x1, ..., xn avec probabilités p1, ..., pn ?

E(X)=x1+...+xn
E(X)=p1x1+...+pnxn
E(X)=x1/p1+...+xn/pn
E(X)=p1+...+pn

E(X)=p1x1+...+pnxn

Explication

L’espérance est la moyenne théorique pondérée des valeurs possibles : on multiplie chaque valeur par sa probabilité puis on additionne. La somme des probabilités vaut 1, mais ce n’est pas la formule de l’espérance.

5. Comment le signe du coefficient directeur a influence-t-il les variations d’une fonction affine f(x)=ax+b ?

Si a>0, la fonction est décroissante ; si a<0, elle est croissante
La fonction est toujours constante quel que soit a
Le signe de a n’a aucun effet sur les variations
Si a>0, la fonction est croissante ; si a<0, elle est décroissante

Si a>0, la fonction est croissante ; si a<0, elle est décroissante

Explication

Le coefficient directeur mesure la variation de f quand x augmente de 1 : un a positif donne une fonction croissante et un a négatif une fonction décroissante. Si a=0, la fonction est constante.

6. Dans une fonction affine passant par deux points distincts, quelle expression permet de calculer son coefficient directeur ?

La différence des ordonnées divisée par la différence des abscisses
L’ordonnée du premier point moins l’ordonnée à l’origine
La somme des ordonnées divisée par la somme des abscisses
Le produit des abscisses des deux points

La différence des ordonnées divisée par la différence des abscisses

Explication

Pour une fonction affine, le coefficient directeur se calcule par le quotient des variations : \(a=\dfrac{f(n)-f(m)}{n-m}\). Les autres propositions ne donnent pas la pente de la droite.

7. Quelle est la dérivée de f(x)=2x^2-8x+1 ?

f'(x)=2x-8
f'(x)=4x-1
f'(x)=x-4
f'(x)=4x-8

f'(x)=4x-8

Explication

On dérive terme à terme : la dérivée de 2x^2 est 4x, celle de -8x est -8, et celle de la constante 1 est 0. On obtient donc f'(x)=4x-8.

8. Quand une fonction dérivable admet-elle un extremum en un point x0 ?

Lorsque sa dérivée est nulle sans autre condition
Lorsque sa fonction est polynomiale de degré 2
Lorsque sa dérivée s’annule et change de signe en x0
Lorsque sa dérivée est positive en x0

Lorsque sa dérivée s’annule et change de signe en x0

Explication

Un extremum apparaît lorsque la dérivée s’annule et change de signe au point considéré. Le fait que la dérivée soit nulle seul ne suffit pas toujours à conclure.

9. Quelle formule donne le terme général d’une suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r ?

u_n=u_0 r^n
u_n=u_0+n r
u_n=u_0-r^n
u_n=u_0+n/r

u_n=u_0+n r

Explication

Dans une suite arithmétique, on ajoute la raison r à chaque étape, d’où la formule u_n=u_0+n r. La formule u_0 r^n correspond au terme général d’une suite géométrique.

10. Dans une suite géométrique de premier terme u0 strictement positif, quel comportement correspond à 0<q<1 ?

La suite est croissante
Le sens de variation est impossible à déterminer
La suite est décroissante
La suite est constante

La suite est décroissante

Explication

Si u0>0 et 0<q<1, chaque terme est obtenu en multipliant par un nombre inférieur à 1, donc la suite décroît. À l’inverse, q>1 conduit à une suite croissante dans ce cas.

11. Quelle expression donne le terme général d’une suite arithmétique de premier terme u₀ et de raison r ?

uₙ = u₀ × rⁿ
uₙ = u₀ + n r
uₙ = u₀ − n r
uₙ = u₀ + rⁿ

uₙ = u₀ + n r

Explication

Dans une suite arithmétique, on ajoute la même raison r à chaque étape, donc le terme général s’écrit uₙ = u₀ + nr. La forme avec qⁿ correspond à une suite géométrique, pas arithmétique.

12. Comment varie une suite arithmétique lorsque sa raison r est négative ?

Elle est croissante
Elle est décroissante
Elle est d’abord croissante puis décroissante
Son sens de variation dépend de u₀

Elle est décroissante

Explication

Pour une suite arithmétique, le signe de la raison détermine le sens de variation : si r < 0, chaque terme est plus petit que le précédent, donc la suite décroît. Le terme initial u₀ n’inverse pas ce résultat.

13. Dans un triangle, que permet principalement de déterminer le théorème d’Al Kashi ?

L’aire d’un triangle à partir de son périmètre
La longueur d’un côté à partir des deux autres côtés et de l’angle compris
La mesure d’un angle droit à partir d’un seul côté
La hauteur d’un triangle isocèle à partir de sa base

La longueur d’un côté à partir des deux autres côtés et de l’angle compris

Explication

Le théorème d’Al Kashi sert à relier les trois côtés d’un triangle et l’angle compris, ce qui permet notamment de calculer une longueur manquante. Il ne donne pas directement une aire ni une hauteur.

14. Quelle formule exprime la distance entre deux points de coordonnées A(x₁, y₁) et B(x₂, y₂) dans un repère orthonormé ?

AB = (x₂ − x₁) + (y₂ − y₁)
AB = √[(x₂ + x₁)² + (y₂ + y₁)²]
AB = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]
AB = (x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²

AB = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]

Explication

Dans un repère orthonormé, la distance entre deux points se calcule avec la racine carrée de la somme des carrés des écarts de coordonnées. Les autres propositions oublient la racine ou utilisent des signes incorrects.

Révisez avec les flashcards

Mémorisez les réponses avec 14 flashcards sur Introduction aux probabilités et fonctions fondamentales.

Indépendance — définition ?

Probabilités conditionnelles égales à la probabilité simple.

Arbre pondéré — rôle ?

Représenter les issues successives avec probabilités.

Variable aléatoire — rôle ?

Associer un nombre réel à chaque issue.

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Approfondir avec la fiche

Consultez la fiche de révision complète sur Introduction aux probabilités et fonctions fondamentales.

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