Fiche de révision : Introduction aux probabilités et statistiques fondamentales

📋 Plan du Cours

1. Dénombrements en probabilités : factorielle, arrangements et combinaisons
2. Opérations sur les événements : réunion, intersection, complémentaire, inclusion et incompatibilité
3. Notions fondamentales de probabilité : espace probabilisé, axiomes et probabilités totales
4. Indépendance et probabilité conditionnelle avec exemples d’application
5. Variables aléatoires réelles : définition, discrètes et continues, et propriétés de mesurabilité
6. Lois usuelles discrètes : loi de Poisson, binomiale et approximations
7. Espérance, variance et propriétés des variables aléatoires
8. Lois usuelles continues : loi normale centrée réduite et tables de répartition
9. Statistique descriptive : variance empirique, calcul pratique et correction du biais
10. Coefficient de corrélation linéaire et introduction à l’échantillonnage et à l’estimation
11. Tests d’hypothèses et application avec le logiciel R
12. Bibliographie et ressources complémentaires en probabilités et statistiques

📖 1. Dénombrements en probabilités : factorielle, arrangements et combinaisons

🔑 Notions clés & Définitions

• Exemple : Dispersion d’un lot de 400 r´esistances ;
• Fonction de r´epartition empirique : Une fonction en escalier qui, pour tout réel x, donne la proportion d'observations inférieures ou égales à x dans un échantillon ordonné, utilisée pour estimer la distribution d'une variable aléatoire.
• Variables qualitatives : Ces caract`eres ne sont pas de nature num´erique et aucune op´eration arithm´etique n’est possible (mˆeme si, parfois, elles peuvent ˆetre cod´ees par un nombre).

📝 Points essentiels

• La factorielle n! est le produit de tous les entiers de 1 à n, avec 0! = 1 par convention.
• Le nombre d'arrangements de r éléments parmi n est Anr = n! / (n-r)! et correspond à des dispositions ordonnées.
• Le nombre de combinaisons de r éléments parmi n est Cnr = n! / (r! (n-r)!) et correspond à des sélections non ordonnées.
• Une permutation est un arrangement de n éléments, soit Ann = n!.
• Statistique 6 novembre 2024 35 / 143 Variables al´eatoires Exemples Dans une population de canards colverts, lors d’une alerte, l’ensemble des individus quittent leur lieu de repos. Ainsi a t = 0, la surface de l’´etang est d´eserte et la probabilit´e qu’un canard regagne l’´etang entre les temps t1 et t2 (en minutes) est donn´ee par : R t2 t1 f (t) dt avec f (t) = 2e−t − 2e−2t qui repr´esente la fonction densit´e de probabilit´e. La primitive de f (t), FT (t), fonction de r´epartition est de la forme : (a) Fonction de den- sit´e de probabilit´e (b) Fonction de r´e- partition L’´evolution de la recolonisation de l’´etang par les canards colverts en fonction du temps est donn´ee par la courbe rouge. On observe ainsi que plus de 50 % des canards se posent sur l’´etang au cours des 2 premieres minutes qui suivent l’alerte. Au bout de 7 minutes, tous les canards ont regagn´e l’´etang. La distribution des probabilit´es cumul´ees est donn´ee sur la courbe verte. D´eterminer l’esp´erance et la variance. la dur´ee moyenne pour la recolonisation est : E (T ) = R +∞ 0 tf (t) dt = R +∞ 0 2e−t − 2e−2t dt = 3/2. Sous ce mod`ele, la dur´ee moyenne de recolonisation pour l’ensemble de la population de canards colverts est de 1,5 minutes. La variance de la loi de probabilit´e est : V (T ) = R +∞ −∞(t − E (T ))2f (t) dt = 5/4 avec σ = 1, 12 Dr Malicki ZOROM (2iE) Probabilit´e et
• Statistique 6 novembre 2024 61 / 143 Lois usuelles Lois continues G´en´eralit´e On parle de loi normale lorsque l’on a affaire a une variable al´eatoire continue d´ependant d’un grand nombre de causes ind´ependantes dont les effets s’additionnent et dont aucune n’est pr´epond´erante (conditions de Borel). Cette loi acquiert sa forme d´efinitive avec Gauss (en 1809) et Laplace (en 1812). C’est pourquoi elle porte ´egalement les noms de : loi de Laplace, loi de Gauss et loi de Laplace-Gauss. Elle jouit d’une importance fondamentale car un grand nombre de m´ethodes statistiques reposent sur elle. Ceci est li´e au fait qu’elle intervient comme loi limite dans des conditions tres g´en´erales. Pour faire ressortir toute son importance et sa forme, Youden W.J., du National Bureau of Standards, a eu l’ing´enieuse id´ee de la pr´esenter telle qu’elle apparaˆıt ci-dessous. La loi normale des erreurs constitue l’une des g´en´eralisations les plus ´etendues de la philosophie naturelle dans l’histoire de l’humanit´e. Elle est un outil pr´ecieux pour la recherche en sciences physiques et sociales ainsi qu’en m´edecine, en agriculture et en g´enie. Elle est indispensable a l’analyse et a l’interpr´etation des donn´ees obtenues par l’observation ou l’exp´erience. Dr Malicki ZOROM (2iE) Probabilit´e et

💡 À retenir

La factorielle n! est le produit de tous les entiers de 1 à n, avec 0! = 1 par convention.

📖 2. Opérations sur les événements : réunion, intersection, complémentaire, inclusion et incompatibilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Réunion : L'opération qui forme un événement constitué des résultats élémentaires appartenant à au moins un des événements considérés, A ou B.
• Intersection : L'opération qui forme un événement constitué des résultats élémentaires appartenant simultanément aux deux événements considérés, A et B.
• Complémentaire : Soit ω le r´esultat de l’exp´erience : A ∩ B
• Continue : Ici les variables prennent des valeurs qui peuvent ˆetre arbitrairement proche les unes des autres, et une valeur peut ˆetre aussi pr´ecise que l’on veut.

📝 Points essentiels

• La réunion A ∪ B est l'événement constitué des résultats appartenant à A ou à B (ou aux deux).
• L'intersection A ∩ B est l'événement constitué des résultats appartenant à la fois à A et à B.
• L'inclusion A ⊂ B signifie que tout élément de A appartient à B, donc si A se réalise alors B se réalise.
• Deux événements sont incompatibles (disjoints) si leur intersection est vide : A ∩ B = ∅.
• Statistique 6 novembre 2024 136 / 143 Statistique descriptive Terminologie liaison entre 2 variables qualitatives : On suppose que les deux variables ´etudi´ees sont des variables discretes et que les caracteres sont des caracteres quantitatifs. Les tableaux statistiques portent le nom de tableaux crois´es ou tableaux de contingence. Dans chaque case du tableau, on ´ecrit l’effectif nij de l’´echantillon, c’est-a-dire le nombre de donn´ees tel que X = xi et Y = yj . On d´efinit les fr´equences absolues suivantes : Les fr´equences marginales : ni
• = qX j=1 nij et n
• j = Pp i=1 nij La fr´equence marginale ni
• . est donc le nombre d’individus poss´edant la modalit´e i du caractere X quelle que soit la distribution du caractere Y ; par exemple tous les individus ayant le mˆeme poids quelle que soit leur taille. Les fr´equences conditionnelles sont d´efinies pour chaque valeur de i et j. La fr´equence conditionnelle nj/i est la distribution de la variable Y quand on a fix´e la modalit´e i pour la variable X ; on s’int´eresse, par exemple, `a la r´epartition des tailles des individus ayant tous le mˆeme poids. Elle est d´efinie par : nj/i = nij ni
• On d´efinit de la mˆeme fa¸con la fr´equence conditionnelle nj/i par : nj/i = nij n
• j . On s’int´eresse, par exemple, `a la r´epartition des poids des individus ayant tous la mˆeme taille. Les fr´equences relatives fij , fi
• et f
• j sont obtenues en divisant les effectifs nij et les fr´equences marginales ni
• et n
• j par l’effectif total n. Les distributions X et Y sont statistiquement ind´ependantes si et seulement si : fij = fi
• f
• j pour toutes les valeurs des indices i et j. Dr Malicki ZOROM (2iE) Probabilit´e et
• A) = P ωi ∈A pi . Cas particulier d’un univers fini ´equiprobable : Lorsqu’il n’y a pas lieu d’attacher aux diff´erents ´ev`enements ´el´ementaires des probabilit´es diff´erentes, on a pour tout ω, pi = p. On dit que l’univers est ´equiprobable. Lorsque l’univers est fini, de cardinal |Ω| = card(Ω), on a pi = p = 1 |Ω| .On d´efinit alors la probabilit´e P comme pr´ec´edemment : soit A un ´ev´enement quelconque. P(

💡 À retenir

Maîtriser les relations logiques entre événements est essentiel pour construire et manipuler les probabilités composées.

📖 3. Notions fondamentales de probabilité : espace probabilisé, axiomes et probabilités totales

🔑 Notions clés & Définitions

• Soit ω le résultat de l’expérience : Élément individuel de l’espace fondamental Ω représentant un résultat possible d’une expérience aléatoire.
• Axiome des probabilit´es totales : Principe selon lequel, pour un système complet d’événements (Ai), la probabilité d’un événement B est égale à la somme des probabilités conditionnelles de B sachant Ai, pondérées par la probabilité de Ai, soit P(B) = Σ P(B|Ai) P(Ai).
• S´erie III : Ensemble de données obtenu en réunissant deux séries d’observations, caractérisé par la présence de plusieurs modes distincts.

📝 Points essentiels

• Les axiomes de probabilité sont : 0 ≤ P(A) ≤ 1, P(Ω) = 1, et additivité pour événements disjoints.
• La probabilité totale s'applique à un système complet d'événements (Ai) avec P(A) = Σ P(Ai) P(A|Ai).
• Un événement A est presque sûr si P(A) = 1.
• Cette formule permet de ramener les calculs de probabilit´es a des d´ecomptes d’´evenements ´el´ementaires effectu´es par des techniques d’analyse combinatoire qui ne sont pas des probabilit´es Dr Malicki ZOROM (2iE) Probabilit´e et Statistique 6 novembre 2024 18 / 143 Probabilit´e Probabilit´e conditionnelle Notions de base : probabilit´e conditionnelle, ind´ependance D´efinition : Probabilit´e conditionnelle Soient deux ´evenements A et B d’un espace probabilis´e Ω avec P(B)̸ = 0, on appelle probabilit´e conditionnelle de l’´evenement ” A si B “ (ou ” A sachant B ” ), le quotient P(A/ B) = 3/6 × 2/6 = 6/36 = 1/6 Si l’on considere une famille de deux enfants, les deux ´evenements : A ” enfants de sexe diff´erent ” et B ” au plus une fille ” ne sont pas statistiquement ind´ependants.
• Statistique 6 novembre 2024 6 / 143 Probabilit´e Rappel sur les d´enombrements Exemples Exemple D´eterminer le nombre de num´eros possibles que peuvent attribuer les compagnies t´el´ephoniques au Burkina Faso ? Exemple Dans un lot de 20 pieces fabriqu´ees, 4 sont mauvaises. De combien de fa¸con diff´erentes peut-on en pr´elever 4 dans les cas suivants : 1 les 4 pieces sont bonnes 2 Une au moins d’entre elles est mauvaise. 3 Deux au moins sont mauvaises. Les r´eponses d´ependent de l’exp´erience. D’apres l’´enonc´e il n’y a pas r´ep´etition mais est-ce que l’ordre compte ? Tirages successifs, arrangements, ou tirage simultan´e, combinaison ? Exemple Une classe de 30 ´eleves, 12 filles et 18 gar¸cons, doit ´elire un comit´e compos´e d’un pr´esident, un vice-pr´esident et un secr´etaire. 1 Combien de comit´es peut-on constituer ? 2 Combien de comit´es peut-on constituer sachant que le poste de secr´etaire doit ˆetre occup´e par une fille ? 3 Quel est le nombre de comit´es comprenant l’´el`eve X ? 4 Quel est le nombre de comit´es pour lesquels le pr´esident est un gar¸con et le secr´etaire une fille ? 5 Quel est le nombre de comit´es pour lesquels le pr´esident et le vice-pr´esident sont de sexes diff´erents ? Dr Malicki ZOROM (2iE) Probabilit´e et

💡 À retenir

La structure mathématique rigoureuse de la théorie des probabilités repose sur des axiomes fondamentaux, la notion d’espace probabilisé, et la formule de probabilité totale, permettant de modéliser et calculer des événements aléatoires.

📖 4. Indépendance et probabilité conditionnelle avec exemples d’application

🔑 Notions clés & Définitions

• Exemple : Illustration concrète d’un calcul de probabilité, comme le calcul de la probabilité a posteriori d’une maladie après un test positif en utilisant la formule de Bayes.
• M´ediane : Valeur qui divise un ensemble de données ordonnées en deux parties de même taille, représentant une mesure de tendance centrale.
• Propri´et´e : Caractéristique ou règle mathématique applicable aux événements, telle que la relation d’indépendance ou la symétrie.
• Système complet d'événements : On écrit Si P(A)

📝 Points essentiels

• La probabilité conditionnelle P(A|B) est définie par P(A ∩ B) / P(B) lorsque P(B) > 0.
• Deux événements A et B sont indépendants si P(A ∩ B) = P(A) × P(B).
• L’indépendance peut se généraliser à n événements.
• Un système complet d’événements est une partition de l’univers Ω en événements deux à deux incompatibles dont la réunion est Ω, permettant d’exprimer toute probabilité via la formule des probabilités totales.
• Statistique 6 novembre 2024 6 / 143 Probabilit´e Rappel sur les d´enombrements Exemples Exemple D´eterminer le nombre de num´eros possibles que peuvent attribuer les compagnies t´el´ephoniques au Burkina Faso ? Exemple Dans un lot de 20 pieces fabriqu´ees, 4 sont mauvaises. De combien de fa¸con diff´erentes peut-on en pr´elever 4 dans les cas suivants : 1 les 4 pieces sont bonnes 2 Une au moins d’entre elles est mauvaise. 3 Deux au moins sont mauvaises. Les r´eponses d´ependent de l’exp´erience. D’apres l’´enonc´e il n’y a pas r´ep´etition mais est-ce que l’ordre compte ? Tirages successifs, arrangements, ou tirage simultan´e, combinaison ? Exemple Une classe de 30 ´eleves, 12 filles et 18 gar¸cons, doit ´elire un comit´e compos´e d’un pr´esident, un vice-pr´esident et un secr´etaire. 1 Combien de comit´es peut-on constituer ? 2 Combien de comit´es peut-on constituer sachant que le poste de secr´etaire doit ˆetre occup´e par une fille ? 3 Quel est le nombre de comit´es comprenant l’´el`eve X ? 4 Quel est le nombre de comit´es pour lesquels le pr´esident est un gar¸con et le secr´etaire une fille ? 5 Quel est le nombre de comit´es pour lesquels le pr´esident et le vice-pr´esident sont de sexes diff´erents ? Dr Malicki ZOROM (2iE) Probabilit´e et
• Statistique 6 novembre 2024 62 / 143 Lois usuelles Lois continues Loi Normale Exemple d’application Ainsi la taille corporelle d’un animal d´epend des facteurs environnementaux (disponibilit´e pour la nourriture, climat, pr´edation, etc.) et g´en´etiques. Dans la mesure ou ces facteurs sont ind´ependants et qu’aucun n’est pr´epond´erant, on peut supposer que la taille corporelle suit une loi normale. En m´etrologie, pour la distribution des erreurs d’observation. En m´et´eorologie, pour la distribution de ph´enomenes al´eatoires tels que la temp´erature et la pression. En biologie, pour la distribution de caracteres biom´etriques comme la taille ou le poids d’individus appartenant a une population homogene. En technologie, pour la distribution des cotes des pieces usin´ees. En ´economie, pour les fluctuations accidentelles d’une grandeur ´economique (production, ventes, ....) autour de sa tendance, etc..... Dr Malicki ZOROM (2iE) Probabilit´e et

💡 À retenir

La probabilité conditionnelle P(A|B) est définie par P(A ∩ B) / P(B) lorsque P(B) > 0.

📖 5. Variables aléatoires réelles : définition, discrètes et continues, et propriétés de mesurabilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable aléatoire réelle : Une variable aléatoire réelle est une fonction mesurable définie sur un espace probabilisé, qui associe à chaque issue de l'expérience un nombre réel, et dont la mesurabilité garantit que l'image réciproque de tout ensemble mesurable appartient à la tribu de l'univers.
• Variable aléatoire continue : X : temps de survie : P(X ≥ x) = e−λx = S(x) D´efinition Soit X la variable al´eatoire continue d´efinie sur un intervalle [0, +∞[.
• Variable aléatoire discrète : La loi de la variable al´eatoire discrete X porte le nom de loi de loi Hyperg´eom´etrique de parametres N, n, m telle que : P(X = k) = C k mC n−k N−m C n N avec k = max(0, n − N + m), · · · , min(n, m).

📝 Points essentiels

• Une variable aléatoire continue prend ses valeurs dans un ensemble non dénombrable, souvent un intervalle de ℝ.
• La probabilité qu'une variable aléatoire continue prenne une valeur précise est nulle.
• On peut ainsi d´efinir, sur (E , B)une mesure de probabilit´e, appel´ee loi de X et not´ee PX par ∀B ∈ B, PX ( Statistique 6 novembre 2024 26 / 143 Variables al´eatoires Variable al´eatoire r´eelle v.a.r.) : Loi variable al´eatoire r´eelle discr`ete D´efinition : X prend ses valeurs dans un ensemble E discret de valeurs r´eelles (v.a.r.d.).

💡 À retenir

La notion de variable aléatoire réelle établit un lien entre les phénomènes aléatoires et les quantités numériques mesurables, en assurant la mesurabilité des événements associés à ses valeurs.

📖 6. Lois usuelles discrètes : loi de Poisson, binomiale et approximations

🔑 Notions clés & Définitions

• Esp´erance et variance X (Ω) : Les mesures statistiques qui caractérisent respectivement la moyenne et la dispersion des valeurs prises par une variable aléatoire X sur l'univers Ω.
• Pour k : Un entier naturel représentant une valeur possible prise par une variable aléatoire discrète, notamment dans le contexte des lois binomiale et de Poisson.
• Loi de Poisson : Une loi de probabilité discrète modélisant le nombre d'événements rares survenant dans un intervalle fixe, caractérisée par un paramètre λ strictement positif.
• Loi de Bernoulli : P avec p + q

📝 Points essentiels

• La loi binomiale décrit le nombre de succès dans n épreuves indépendantes de Bernoulli.
• La loi de Poisson modélise le nombre d'événements rares dans un intervalle fixe.
• La loi binomiale peut être approximée par la loi de Poisson lorsque n est grand et p petit avec np = λ constant.
• Dr Malicki ZOROM (2iE) Probabilit´e et Plan 3 Lois usuelles Lois discretes Loi uniforme discrete Loi Bernoulli Loi Binomiale Loi G´eom´etrique Loi Hyperg´eom´etrique Loi de Poisson Approximations de loi discrete Lois continues Loi uniforme continue Loi exponentielle Loi Normale Approximation de la loi binomiale par la loi normale Th´eoremes limites Dr Malicki ZOROM (2iE) Probabilit´e et Statistique 6 novembre 2024 42 / 143 Lois usuelles Lois discretes Loi uniforme discrete D´efinition Une distribution de probabilit´e suit une loi uniforme discr`ete lorsque toutes les valeurs prises par la variable al´eatoire sont ´equiprobables (avec la mˆeme probabilit´e).
• Statistique 6 novembre 2024 61 / 143 Lois usuelles Lois continues G´en´eralit´e On parle de loi normale lorsque l’on a affaire a une variable al´eatoire continue d´ependant d’un grand nombre de causes ind´ependantes dont les effets s’additionnent et dont aucune n’est pr´epond´erante (conditions de Borel). Cette loi acquiert sa forme d´efinitive avec Gauss (en 1809) et Laplace (en 1812). C’est pourquoi elle porte ´egalement les noms de : loi de Laplace, loi de Gauss et loi de Laplace-Gauss. Elle jouit d’une importance fondamentale car un grand nombre de m´ethodes statistiques reposent sur elle. Ceci est li´e au fait qu’elle intervient comme loi limite dans des conditions tres g´en´erales. Pour faire ressortir toute son importance et sa forme, Youden W.J., du National Bureau of Standards, a eu l’ing´enieuse id´ee de la pr´esenter telle qu’elle apparaˆıt ci-dessous. La loi normale des erreurs constitue l’une des g´en´eralisations les plus ´etendues de la philosophie naturelle dans l’histoire de l’humanit´e. Elle est un outil pr´ecieux pour la recherche en sciences physiques et sociales ainsi qu’en m´edecine, en agriculture et en g´enie. Elle est indispensable a l’analyse et a l’interpr´etation des donn´ees obtenues par l’observation ou l’exp´erience. Dr Malicki ZOROM (2iE) Probabilit´e et

💡 À retenir

La loi binomiale décrit le nombre de succès dans n épreuves indépendantes de Bernoulli.

📖 7. Espérance, variance et propriétés des variables aléatoires

🔑 Notions clés & Définitions

• Discrete : Variable aléatoire prenant un nombre fini ou dénombrable de valeurs, avec une probabilité associée à chaque valeur.
• Variables al´eatoires : E (Y ) = 1/2 et E (XY ) = 1/2 cependant les variables al´eatoires X et Y ne sont pas ind´ependantes.

📝 Points essentiels

• L’espérance E(X) est la moyenne pondérée des valeurs possibles de X.
• La variance V(X) mesure la dispersion autour de l’espérance, définie par E[(X - E(X))²].
• L’espérance est linéaire : E(aX + b) = aE(X) + b.
• La variance suit : V(aX + b) = a² V(X) et V(X) = 0 implique que X est presque sûrement constante.

💡 À retenir

Comprendre les mesures centrales et de dispersion permet de caractériser quantitativement les variables aléatoires.

📖 8. Lois usuelles continues : loi normale centrée réduite et tables de répartition

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi normale centrée réduite : Variable aléatoire continue obtenue par standardisation d'une variable normale, caractérisée par une moyenne nulle et une variance égale à un.
• Table de la loi normale : La fonction densit´e est fZ (z)

📝 Points essentiels

• La loi normale centrée réduite est une variable normale de moyenne 0 et variance 1.
• La fonction de répartition Φ(z) donne la probabilité que la variable soit inférieure ou égale à z.
• Les tables de la loi normale permettent de lire les valeurs de Φ(z) pour différents z.
• La loi normale est utilisée pour des approximations et modélisations continues dans de nombreux contextes statistiques.
• Statistique 6 novembre 2024 66 / 143 Lois usuelles Lois continues Loi Normale Fonction de r´epartition La fonction de r´epartition est : FX (x) = P(X ≤ x) = xZ −∞ 1 σ√2π e− 1 2 ( t−μ σ )2 dt. Probleme FX (x) n’a pas d’expression explicite (analytique) en fonction de x ! ! Solution N´ecessit´e d’utiliser des tables M´ethode des trapezes : autant de calculs de lois possibles On utilise une normalisation (centr´ee-r´eduite, standardisation) pour utiliser une seule table Dr Malicki ZOROM (2iE) Probabilit´e et

💡 À retenir

Maîtriser la loi normale standard et son usage pratique via les tables permet de calculer efficacement des probabilités continues.

📖 9. Statistique descriptive : variance empirique, calcul pratique et correction du biais

🔑 Notions clés & Définitions

📝 Points essentiels

• La variance empirique σ² est calculée par la moyenne des carrés des écarts à la moyenne.
• Une formule pratique : σ² = (1/n) Σ Xi² - (X̄)².
• L'estimateur naïf de la variance est biaisé à la baisse.
• La correction du biais consiste à diviser par n-1 au lieu de n pour obtenir un estimateur non biaisé.
• On utilise alors en pratique une version corrig´ee Dr Malicki ZOROM (2iE) Probabilit´e et Statistique 6 novembre 2024 124 / 143 Statistique descriptive Terminologie Variance empirique corrig´ee et ´Ecart-type D´efinition : Variance empirique corrig´ee : σ∗2 = 1 n − 1 nX i=1 X 2 i − X 2 Proposition : σ∗2 = n n − 1 σ2 Enfin, pour avoir une quantit´e qui s’exprime dans la mˆeme unit´e que la moyenne (l’unit´e de la variance est l’unit´e de la moyenne ´elev´ee au carr´e), on utilise l’´ecart-type.
• Statistique 6 novembre 2024 124 / 143 Statistique descriptive Terminologie Variance empirique corrig´ee et ´Ecart-type D´efinition : Variance empirique corrig´ee : σ∗2 = 1 n − 1 nX i=1 X 2 i − X 2 Proposition : σ∗2 = n n − 1 σ2 Enfin, pour avoir une quantit´e qui s’exprime dans la mˆeme unit´e que la moyenne (l’unit´e de la variance est l’unit´e de la moyenne ´elev´ee au carr´e), on utilise l’´ecart-type. D´efinition : ´Ecart-type : On d´efinit l’´ecart type empirique comme la racine de la variance empirique : σ = p σ2 = v u u t 1 n nX i=1 (Xi − X )2 Les mesures de dispertions poss`edent notamment les propri´et´es suivantes : Proposition (Invariance par translation) Les quantit´es de mesure de dispertion d´efinies ci-dessus sont invariantes par translation. Proposition (Changement d’´echelle) Soit a ∈ R et Y = aX . On note σ2 Y (resp.σ2 X ) la variance de Y (resp. de X ). On a σ2 Y = a2σ2 X et σY = aσX Dr Malicki ZOROM (2iE) Probabilit´e et

💡 À retenir

Savoir calculer et corriger la variance à partir d'un échantillon permet d'obtenir une estimation fiable de la dispersion des données.

📖 10. Coefficient de corrélation linéaire et introduction à l’échantillonnage et à l’estimation

🔑 Notions clés & Définitions

• Par exemple : La moyenne de la population.
• Coefficient de corrélation linéaire : Un indice mesurant la force et la direction de la relation linéaire entre deux variables quantitatives, variant entre -1 et 1, où 0 indique l'absence de corrélation linéaire.

📝 Points essentiels

• Il est compris entre -1 et 1, avec 0 indiquant aucune corrélation linéaire.
• L'échantillonnage consiste à sélectionner un sous-ensemble représentatif d'une population.
• L'estimation vise à déduire des paramètres inconnus de la population à partir de l'échantillon.
• Si deux variables sont statistiquement ind´ependantes (aucun lien), la corr´elation est nulle, mais l’inverse est faux : il peut exister un lien autre que lin´eaire entre elles.
• La covariance et le coefficient de corr´elation ne permettent de mettre en ´evidence qu’une relation lin´eaire entre x et y .

💡 À retenir

Il est compris entre -1 et 1, avec 0 indiquant aucune corrélation linéaire.

📖 11. Tests d’hypothèses et application avec le logiciel R

🔑 Notions clés & Définitions

📝 Points essentiels

• Un test d'hypothèse permet de décider si une hypothèse sur une population est compatible avec les données observées.
• L'hypothèse nulle H0 est celle que l'on cherche à rejeter, l'hypothèse alternative H1 est celle retenue en cas de rejet.
• Le logiciel R facilite la réalisation de tests statistiques de manière pratique et automatisée.
• L'interprétation des résultats inclut la p-valeur et la décision de rejeter ou non H0.
• Statistique 6 novembre 2024 61 / 143 Lois usuelles Lois continues G´en´eralit´e On parle de loi normale lorsque l’on a affaire a une variable al´eatoire continue d´ependant d’un grand nombre de causes ind´ependantes dont les effets s’additionnent et dont aucune n’est pr´epond´erante (conditions de Borel). Cette loi acquiert sa forme d´efinitive avec Gauss (en 1809) et Laplace (en 1812). C’est pourquoi elle porte ´egalement les noms de : loi de Laplace, loi de Gauss et loi de Laplace-Gauss. Elle jouit d’une importance fondamentale car un grand nombre de m´ethodes statistiques reposent sur elle. Ceci est li´e au fait qu’elle intervient comme loi limite dans des conditions tres g´en´erales. Pour faire ressortir toute son importance et sa forme, Youden W.J., du National Bureau of Standards, a eu l’ing´enieuse id´ee de la pr´esenter telle qu’elle apparaˆıt ci-dessous. La loi normale des erreurs constitue l’une des g´en´eralisations les plus ´etendues de la philosophie naturelle dans l’histoire de l’humanit´e. Elle est un outil pr´ecieux pour la recherche en sciences physiques et sociales ainsi qu’en m´edecine, en agriculture et en g´enie. Elle est indispensable a l’analyse et a l’interpr´etation des donn´ees obtenues par l’observation ou l’exp´erience. Dr Malicki ZOROM (2iE) Probabilit´e et
• Statistique 6 novembre 2024 107 / 143 Statistique descriptive Terminologie diagrammes cummulatifs. Les diagrammes cummulatifs permettent de visualiser l’´evolution des fr´equences cummul´ees ou des effectifs cummul´es. On utilise en g´en´eral la fonction de r´epartition empirique dont la courbe correspond a l’´evolution des fr´equences cummul´ees. Elle se d´efinie de la mˆeme maniere pour les variables quantitatives continues ou discretes. Fonction de r´epartition empirique : Soit X une variable statistiques quantitative observ´ee sur un ´echantillon ω1, · · · , ωn de taille n issue d’une population Ω. On appelle fonction de r´epartition empirique la fonction : bF =    0, x < x′ 1 Fi = 1 n iX j=1 nj , si x′ 1 ≤ x < x′ i+1 1, si x ≥ x′ I Pour tout r´eel x,bF est donc la proportion d’observations inf´erieurs ou ´egales a x. La fonction bF est une fonction en escalier. Le calcul pratique de bF s’effectue en ordonnant les n observations X (ω1), · · · , X (ωn) par ordre croissant. On note x′ 1, · · · , x′ I les I valeurs distinctes obtenues et ni l’effectif de x′ i . On utilise la fonction de r´epartition empirique pour r´epondre aux questions du style : Quel est le nombre (ou le pourcentage) d’individus dont la valeur du caractere est inf´erieure ou ´egale a x ? Dr Malicki ZOROM (2iE) Probabilit´e et

💡 À retenir

Un test d'hypothèse permet de décider si une hypothèse sur une population est compatible avec les données observées.

📖 12. Bibliographie et ressources complémentaires en probabilités et statistiques

🔑 Notions clés & Définitions

• D´efinition : Une explication précise et formelle d'un concept ou d'une notion, utilisée pour clarifier sa nature et ses propriétés dans un contexte donné.

📝 Points essentiels

• La bibliographie rassemble des ouvrages et articles de référence en probabilités et statistiques.
• Ces ressources permettent d'approfondir les notions vues en cours et de pratiquer.

💡 À retenir

La bibliographie rassemble des ouvrages et articles de référence en probabilités et statistiques.

📅 Repères chronologiques

📊 Tableaux de Synthèse

Comparaison des lois discrètes et continues

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confusion entre arrangements et combinaisons, notamment l'ordre dans le dénombrement.
2. Erreur dans l'application des axiomes de probabilité, notamment la somme des probabilités de l'univers.
3. Confusion entre variable aléatoire discrète et continue, notamment dans la définition et la loi associée.
4. Mauvaise utilisation des lois usuelles, comme la loi de Poisson ou la loi normale, hors contexte approprié.
5. Erreur dans le calcul de l'espérance ou de la variance, notamment en utilisant des formules inadaptées.
6. Confusion entre la fonction de répartition empirique et la fonction de répartition théorique.
7. Mauvaise interprétation de la probabilité conditionnelle, notamment l'indépendance.

✅ Checklist Examen

1. Maîtriser le dénombrement par factorielle, arrangements et combinaisons.
2. Savoir appliquer les axiomes de probabilité et la formule de la probabilité totale.
3. Comprendre la notion d'indépendance et de probabilité conditionnelle avec exemples.
4. Connaître la définition et les propriétés des variables aléatoires discrètes et continues.
5. Savoir utiliser les lois de Poisson, binomiale, normale et leurs approximations.
6. Calculer l'espérance, la variance et comprendre leurs propriétés.
7. Utiliser la loi normale centrée réduite et les tables associées.
8. Maîtriser la fonction de répartition empirique et son utilisation.
9. Savoir réaliser un test d'hypothèse avec R.
10. Se référer à la bibliographie pour approfondir.