Fiche de révision : Introduction aux puissances, géométrie et trigonométrie

📋 Plan du Cours

1. Puissances et inverses
2. Arithmétique et écriture scientifique
3. Périmètres, aires et volumes
4. Calcul littéral et nombres relatifs
5. Triangles semblables et agrandissements
6. Fonctions et représentations graphiques
7. Grandeurs composées, Thalès et trigonométrie

📖 1. Puissances et inverses

🔑 Notions clés & Définitions

• Opposé d’un nombre : Deux nombres opposés ont la même distance à zéro et une somme nulle.
• Inverse d’un nombre : Deux nombres inverses ont un produit égal à 1 et on inverse numérateur et dénominateur.
• Puissance d’un nombre : Une puissance $a^n$ est un produit de $n$ facteurs égaux à $a$ quand $n>0$.

📝 Points essentiels

• Deux nombres opposés $u$ et $-u$ ont une somme nulle.
• Deux inverses $u=\frac{p}{q}$ et $v=\frac{q}{p}$ ont un produit égal à 1.
• Pour $n>0$, $a^n=a\times a\times\dots\times a$ (répété $n$ fois).
• Pour $n>0$, $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ et $a^n$ et $a^{-n}$ sont inverses l’un de l’autre.

💡 Astuce mémo

Opposés : même distance, signe opposé ; Inverses : on échange haut et bas ; Puissance négative : 1 sur la puissance positive.

📖 2. Arithmétique et écriture scientifique

🔑 Notions clés & Définitions

• Division euclidienne : La division euclidienne partage un dividende en un quotient entier et un reste strictement inférieur au diviseur.
• Nombres premiers : Un nombre premier a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
• Écriture scientifique : L’écriture scientifique d’un nombre $A$ est $A=a\times 10^n$ avec $1\le a<10$ et $n$ entier.

📝 Points essentiels

• Dans $221=18\times 12+5$, le reste vaut 5 et vérifie $5<18$.
• Un nombre premier a exactement deux diviseurs, et 1 n’est pas premier.
• L’écriture scientifique est unique pour un même nombre.
• Quand $n$ est positif, $10^n$ s’écrit avec $n$ zéros après 10, et $10^{-n}=\frac{1}{10^n}$.

💡 Astuce mémo

Division euclidienne : Diviseur grandit, reste reste petit ; Scientifique : $a$ entre 1 et 10, puissance de 10 ajustée.

📖 3. Périmètres, aires et volumes

🔑 Notions clés & Définitions

• Aire d’une surface : L’aire mesure la taille d’une surface exprimée avec des unités carrées.
• Volume : Le volume mesure la taille d’un solide exprimée avec des unités cubes.
• Périmètre : Le périmètre mesure la longueur du contour d’une figure, exprimée dans une unité de longueur.

📝 Points essentiels

• Pour appliquer une formule, les longueurs doivent être dans la même unité.
• Pour un rectangle : $P=2(L+l)$ et $A=L\times l$ ; pour un carré : $P=4c$ et $A=c^2$.
• Pour un cercle : $P=d\times\pi$ et $A=\pi R^2$ avec $R$ le rayon.
• Pour un prisme droit : $V=\text{Aire de la base}\times h$ et pour un cylindre : $V=\pi r^2\times h$.

💡 Astuce mémo

Péri-mètre = contour ; Aire = surface ; Volume = remplissage (base fois hauteur pour prisme/pyramide avec $\div 3$ pour pyramide).

📖 4. Calcul littéral et nombres relatifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Simplifier une expression : Simplifier, c’est réécrire une expression de façon plus compacte sans changer son sens.
• Réduire une expression : Réduire, c’est regrouper les termes semblables en additionnant ou soustrayant les coefficients.
• Distributivité : La distributivité relie un produit à une somme : $k(a+b)=ka+kb$.

📝 Points essentiels

• Simplifier un produit consiste à supprimer le signe $\times$ quand il n’est pas nécessaire (ex : $3\times a=3a$).
• Réduire regroupe les termes semblables (ex : $2x+3x=5x$).
• Addition : même signe on additionne les distances à zéro et on garde le signe ; signes différents on soustrait les distances et on garde le signe du plus grand en valeur absolue.
• Multiplication : mêmes signes donnent un résultat positif et signes différents donnent un résultat négatif.

💡 Astuce mémo

Addition : mêmes signes → addition, signes différents → soustraction ; Multiplication : même signe → +, signe différent → −.

📖 5. Triangles semblables et agrandissements

🔑 Notions clés & Définitions

• Triangles semblables : Deux triangles semblables ont les mêmes mesures d’angles deux à deux.
• Côtés homologues : Des côtés homologues correspondent entre triangles semblables selon l’association des sommets.
• Situation d’agrandissement de rapport $R$ : Deux figures sont en agrandissement de rapport $R>0$ quand elles ont la même forme, les mêmes angles et des longueurs proportionnelles.

📝 Points essentiels

• Si deux triangles sont semblables alors les longueurs des côtés homologues sont proportionnelles (par exemple $AB/FG=BC/EF=AC/GE$).
• Pour $R>1$ il y a agrandissement, pour $0<R<1$ il y a réduction, et pour $R=1$ les figures sont superposables.
• Dans une situation d’agrandissement de rapport $k$ : les longueurs sont multipliées par $k$ et les aires par $k^2$.
• Critères admis : deux paires d’angles égaux deux à deux ou des longueurs proportionnelles deux à deux donnent des triangles semblables.

💡 Astuce mémo

“Semblable” = mêmes angles ; “Agrandir” = longueur ×$k$ et aire ×$k^2$.

📖 6. Fonctions et représentations graphiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction : Une fonction associe à chaque antécédent $x$ une unique image $y$ notée $f(x)$.
• Antécédent : L’antécédent est la valeur de $x$ utilisée par la fonction.
• Image : L’image est la valeur obtenue $f(x)$ correspondante à l’antécédent $x$.

📝 Points essentiels

• La notation $f:x\mapsto y$ signifie que $f$ envoie $x$ vers l’image unique $y$.
• On associe à $x$ un calcul $f(x)$ et on place le point $(x;f(x))$ sur la courbe.
• Exemple : pour $f(x)=x(150-2x)$, la valeur donnée est $f(10)=1300$.
• Le script de calcul suit : multiplier par 2, soustraire à 150, puis multiplier par le nombre de départ.

💡 Astuce mémo

Courbe : abscisse = antécédent ; ordonnée = image $f(x)$.

📖 7. Grandeurs composées, Thalès et trigonométrie

🔑 Notions clés & Définitions

• Grandeur simple : Une grandeur simple s’obtient par une mesure directe.
• Grandeur composée : Une grandeur composée s’obtient par calcul en multipliant ou en divisant deux grandeurs.
• Théorème de Thalès : Avec deux droites parallèles, le rapport de longueurs de côtés homologues dans des triangles emboîtés est égal.

📝 Points essentiels

• Grandeurs composées : elles proviennent d’un produit ou d’un quotient (ex : aire en unités carrées, vitesse en km/h ou m/s).
• Théorème de Thalès : si $(BC)\parallel(MN)$ alors $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$ (triangles emboîtés).
• Réciproque : si $\frac{AB}{AM}=\frac{AC}{AN}$ alors $(BC)\parallel(MN)$ selon la configuration donnée.
• En trigonométrie (angle aigu dans un triangle rectangle) : $\cos(ABC)=\frac{AB}{AC}$, $\sin(ABC)=\frac{BC}{AC}$, $\tan(ABC)=\frac{BC}{AB}$.

💡 Astuce mémo

Thalès : rapports égaux ⇔ parallélisme ; Trigo : cos = adjacent/hypoténuse, sin = opposé/hypoténuse, tan = opposé/adjacent.

📊 Tableaux de synthèse

Signe d’un produit

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre opposé et inverse : l’opposé a une somme nulle, l’inverse a un produit égal à 1.
2. Oublier que $5<18$ dans l’exemple de division euclidienne : le reste doit être strictement inférieur au diviseur.
3. Penser que 1 est premier : 1 n’a qu’un diviseur.
4. Erreur de signe en multiplication : mêmes signes donnent positif et signes différents donnent négatif.
5. Erreur sur l’écriture scientifique : le coefficient $a$ doit vérifier $1\le a<10$.
6. Pour Thalès, inverser des rapports ou mélanger les côtés homologues casse l’égalité.
7. En trigonométrie, utiliser le mauvais côté (adjacent/opposé/hypoténuse) pour cos, sin et tan.

✅ Checklist Examen

1. Déterminer l’opposé d’un nombre et vérifier que leur somme vaut 0.
2. Déterminer l’inverse d’une fraction en échangeant numérateur et dénominateur et vérifier que le produit vaut 1.
3. Écrire une puissance à exposant positif comme produit répété quand l’exposant est $n>0$.
4. Utiliser $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ pour passer d’un exposant négatif à une écriture fractionnaire.
5. Reconnaître la forme de l’écriture scientifique $A=a\times 10^n$ avec $1\le a<10$ et justifier l’unicité.
6. Appliquer la division euclidienne : calculer quotient entier et reste, puis contrôler que $reste<diviseur$.
7. Identifier un nombre premier et expliquer pourquoi 1 n’est pas premier.
8. Calculer périmètre et aire en utilisant des formules avec des longueurs dans la même unité.
9. Calculer un volume avec les bonnes formules (pavé droit, prisme droit, cylindre, pyramide, cône, boule).
10. Simplifier une expression en supprimant les signes $\times$ inutiles et en réécrivant les produits de façon compacte.
11. Réduire une expression en regroupant les termes semblables.
12. Calculer avec des relatifs : appliquer les règles d’addition (même signe/différents signes) et de multiplication (signe du résultat).
13. Utiliser les critères de triangles semblables (angles deux à deux égaux ou longueurs proportionnelles).
14. Utiliser les rapports en situation d’agrandissement et passer longueur ×$k$ vers aire ×$k^2$.