Fiche de révision : Introduction aux relations et fonctions en mathématiques

📋 Plan du Cours

1. Relation en mathématiques
2. Définition de fonction
3. Représentation graphique
4. Fonction linéale
5. Pente et équation
6. Équation point-pente

📖 1. Relation en mathématiques

🔑 Notions clés & Définitions

Relation ℛ
Une relation ℛ de R en R est un ensemble de paires ordonnées de nombres réels. (Source : développement du thème 01 - RELATION)

Paire ordonnée
Une paire ordonnée est une paire de nombres réels, notée généralement (x, y), où l’ordre des éléments est important. Elle représente une relation entre deux éléments. (Source : développement du thème 01 - RELATION)

Domaine d'une relation
Le domaine d'une relation ℛ est l'ensemble de toutes les premières coordonnées (x) des paires ordonnées appartenant à ℛ. En d’autres termes, c’est l’ensemble des éléments de départ de la relation. (Source : développement du thème 01 - RELATION)

Rang d'une relation
Le rang d'une relation ℛ est l'ensemble de toutes les secondes coordonnées (y) des paires ordonnées appartenant à ℛ. Il correspond aux éléments d’arrivée ou d’image dans la relation. (Source : développement du thème 01 - RELATION)

📝 Points essentiels

Une relation est un ensemble de paires ordonnées de nombres réels, ce qui signifie qu’elle relie deux ensembles de nombres réels par des liens spécifiques. Le domaine de cette relation est constitué de toutes les premières coordonnées (x) des paires, tandis que le rang est constitué de toutes les secondes coordonnées (y). Ces deux notions permettent de décrire précisément comment les éléments d’un ensemble sont reliés à ceux d’un autre dans le contexte des nombres réels.

💡 À retenir

Une relation est un ensemble de paires ordonnées de nombres réels, dont le domaine regroupe toutes les premières coordonnées et le rang toutes les secondes, constituant ainsi la base pour comprendre les liens entre deux ensembles dans le plan réel.

📖 2. Définition de fonction

🔑 Notions clés & Définitions

Fonction 𝑓
Une fonction est une relation dans laquelle chaque élément du domaine est associé à un seul élément du rang. En d’autres termes, pour chaque valeur d’entrée, il existe une seule valeur de sortie correspondante.

Domaine d'une fonction
Le domaine d'une fonction est l'ensemble des valeurs possibles de l'entrée (ou variable indépendante) pour lesquelles la fonction est définie. C’est l’ensemble des antécédents pour lesquels la relation est valable.

Rang d'une fonction
Le rang d'une fonction est l'ensemble des valeurs que peut prendre la variable de sortie (ou image). C’est l’ensemble des images possibles de la fonction.

Notation 𝑦 = 𝑓(𝑥)
Cette notation exprime que 𝑦 dépend de 𝑥. Elle indique que la valeur de 𝑦 est déterminée par la valeur de 𝑥 via la relation 𝑓.

Fonction réelle de variable réelle
Une fonction réelle de variable réelle est une fonction notée 𝑓 : R → R, où R désigne l’ensemble des nombres réels. Elle associe à chaque nombre réel un autre nombre réel.

📝 Points essentiels

Une fonction est une relation où chaque élément du domaine est associé à un unique élément du rang. La notation 𝑦 = 𝑓(𝑥) exprime que 𝑦 dépend de 𝑥. Enfin, une fonction réelle de variable réelle est spécifiquement notée 𝑓 : R → R.

💡 À retenir

Une fonction peut être vue comme une relation particulière garantissant que pour chaque antécédent dans son domaine, il existe une seule image dans son rang. La notation 𝑦 = 𝑓(𝑥) traduit cette dépendance.

📖 3. Représentation graphique

🔑 Notions clés & Définitions

Graphique d'une fonction
Représentation visuelle de l'ensemble des points du plan cartésien correspondant à tous les couples (x, y) vérifiant l'expression de la fonction. Selon AUTEUR (date), c’est la représentation graphique de l’ensemble des solutions d’une fonction.

Intercepto avec l'axe Y
Point où la courbe de la fonction coupe l’axe vertical (Y). Il se calcule en posant 𝑥 = 0 dans l’équation de la fonction, puis en déterminant 𝑦.

Intercepto avec l'axe X
Point où la courbe coupe l’axe horizontal (X). Il se calcule en posant 𝑦 = 0 dans l’équation, puis en résolvant pour 𝑥.

Tabulation de points
Procédé consistant à choisir différentes valeurs de 𝑥, puis à calculer les valeurs correspondantes de 𝑦. Cela permet de repérer plusieurs points pour tracer la courbe.

Plan cartésien
Espace à deux dimensions, délimité par deux axes perpendiculaires (X et Y), où sont placés les points pour représenter graphiquement une fonction.

📝 Points essentiels

Pour représenter graphiquement une fonction, il faut d’abord exprimer 𝑦 en fonction de 𝑥. La tabulation consiste à choisir un ou plusieurs valeurs de 𝑥 dans le domaine, puis à calculer 𝑦 en remplaçant ces valeurs dans l’équation. Ensuite, il faut déterminer les interceptos avec les axes :

• Pour l’intercepto avec l’axe Y, faire 𝑥 = 0 et calculer 𝑦.
• Pour l’intercepto avec l’axe X, faire 𝑦 = 0 et calculer 𝑥.
  Les points ainsi trouvés sont placés dans le plan cartésien. Enfin, on relie ces points de gauche à droite pour obtenir la courbe représentative de la fonction.

💡 À retenir

Maîtriser la méthode systématique consiste à exprimer 𝑦 en fonction de 𝑥, à calculer des points par tabulation, puis à localiser et relier ces points dans le plan cartésien pour obtenir la représentation visuelle d’une fonction.

📖 4. Fonction linéale

🔑 Notions clés & Définitions

Fonction linéale : Fonction représentée par une équation de droite dans le plan, généralement de la forme 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏, où 𝑚 et 𝑏 sont des constantes. Elle relie deux variables par une relation proportionnelle plus une constante.

Équation de la droite 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏 : Forme standard d’une fonction linéale, où 𝑚 est la pente (taux de variation) et 𝑏 l’ordonnée à l’origine (point d’intersection avec l’axe des ordonnées).

Fonction identité : Cas particulier de fonction linéale où 𝑚 = 1 et 𝑏 = 0, donc 𝑓(𝑥) = 𝑥. Elle associe chaque valeur à elle-même.

📝 Points essentiels

La fonction linéale est définie par une équation de droite avec pente 𝑚 et ordonnée à l’origine 𝑏. Pour tracer cette fonction, il faut au moins deux points distincts. La pente 𝑚 indique la rapidité avec laquelle la valeur de 𝑦 change lorsque 𝑥 augmente. La constante 𝑏 détermine le point où la droite coupe l’axe des ordonnées. La fonction identité est un cas particulier avec 𝑚=1 et 𝑏=0. Le domaine et le rang de la fonction linéale sont généralement l’ensemble des réels, c’est-à-dire que la fonction est définie et prend toutes ses valeurs pour tout réel 𝑥.

💡 À retenir

La fonction linéale est un modèle simple reliant deux variables par une droite dans le plan, caractérisée par sa pente et son intercept, et dont le domaine et le rang sont habituellement l’ensemble des réels.

📖 5. Pente et équation

🔑 Notions clés & Définitions

Pente 𝑚 : La pente 𝑚 d’une droite est le rapport du changement en 𝑦 sur le changement en 𝑥 entre deux points de cette droite. Elle indique l’inclinaison de la droite dans le plan.
Croissance et décroissance selon le signe de 𝑚 : Si 𝑚 est positif, la fonction est croissante (la droite monte de gauche à droite). Si 𝑚 est négatif, la fonction est décroissante (la droite descend de gauche à droite). Si 𝑚 est nul, la droite est horizontale, la fonction est constante.
Équation linéale : C’est une équation représentant une droite dans le plan, généralement sous la forme 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏, où 𝑚 est la pente et 𝑏 l’ordonnée à l’origine.
Intercepto avec les axes : Ce sont les points où la droite coupe les axes 𝑥 et 𝑦. L’intercepto avec l’axe 𝑦 est le point où 𝑥 = 0, c’est le 𝑏 dans l’équation 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏.

📝 Points essentiels

Le signe de la pente 𝑚 détermine si la fonction est croissante, décroissante ou constante. La pente est calculée comme le rapport du changement en 𝑦 sur le changement en 𝑥, soit 𝑚 = Δ𝑦 / Δ𝑥, avec Δ𝑦 = 𝑦₂ − 𝑦₁ et Δ𝑥 = 𝑥₂ − 𝑥₁, en supposant que 𝑥₁ ≠ 𝑥₂. Si un point (𝑥, 𝑦) appartient à la droite, son 𝑦 peut s’obtenir par la formule 𝑦 − 𝑦₁ = 𝑚(𝑥 − 𝑥₁), appelée équation point-pente, ou sous la forme 𝑦 − 𝑦₁ = 𝑚(𝑥 − 𝑥₁). En la réarrangeant, on obtient l’équation explicite 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏, où 𝑏 est l’intercepto avec l’axe 𝑦. Les intercepts avec les axes sont essentiels pour comprendre la position de la droite dans le plan.

💡 À retenir

La pente influence directement la forme et le comportement de la droite : une pente positive indique une croissance, une pente négative une décroissance, et une pente nulle une droite horizontale. La connaissance de la pente et des intercepts permet de décrire précisément la position et l’inclinaison de la droite dans le plan.

📖 6. Équation point-pente

🔑 Notions clés & Définitions

Formule de la pente 𝑚 = (𝑦₂ − 𝑦₁)/(𝑥₂ − 𝑥₁)
Larson (2010) : La pente 𝑚 d’une droite est le rapport entre la variation de 𝑦 et la variation de 𝑥 entre deux points distincts. Elle mesure l’inclinaison de la droite.

Équation point-pente 𝑦 − 𝑦₁ = 𝑚(𝑥 − 𝑥₁)
Larson (2010) : C’est une formule permettant d’écrire l’équation d’une droite en connaissant un point (𝑥₁, 𝑦₁) et la pente 𝑚. Elle relie la différence entre 𝑦 et 𝑦₁ à la différence entre 𝑥 et 𝑥₁, multipliée par la pente.

Condition 𝑥₁ ≠ 𝑥₂
Larson (2010) : La différence 𝑥₂ − 𝑥₁ doit être différente de zéro pour que la formule de la pente soit définie, évitant ainsi une division par zéro.

Conversion en forme 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
Larson (2010) : L’équation point-pente peut être transformée en une forme explicite où 𝑦 est exprimé en fonction de 𝑥, avec 𝑚 la pente et 𝑏 l’ordonnée à l’origine.

📝 Points essentiels

• La pente se calcule à partir de deux points distincts sur la droite.
• L’équation point-pente permet d’écrire l’équation d’une droite en utilisant un point connu et la pente.
• La condition 𝑥₁ ≠ 𝑥₂ est nécessaire pour éviter la division par zéro lors du calcul de 𝑚.
• L’équation point-pente peut être transformée en forme explicite 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏, facilitant la lecture de l’équation.

💡 À retenir

La formule point-pente est un outil fondamental pour déterminer l’équation d’une droite à partir de deux points ou d’un point et de sa pente, en permettant une transition vers une forme plus simple et exploitable.

📊 Tableaux de Synthèse

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre relation et fonction : une relation peut associer plusieurs y à un même x, alors qu’une fonction ne le permet pas.
2. Oublier que la fonction doit associer un seul y par x : erreur fréquente lors de la vérification.
3. Mauvaise détermination des intercepts : poser x=0 pour l’axe Y et y=0 pour l’axe X.
4. Confusion entre pente positive et croissance : une pente négative indique décroissance.
5. Ne pas vérifier que la relation est définie sur tout le domaine ou qu’elle est limitée.
6. Lors du tracé, ne pas choisir suffisamment de points ou mal calculer les valeurs.
7. Confusion entre la formule de la pente et la différence entre deux points.

✅ Checklist Examen

1. Connaître la définition d’une relation en mathématiques selon le développement du thème 01 - RELATION.
2. Savoir distinguer une relation d’une fonction et maîtriser la notation y = f(x).
3. Identifier le domaine et le rang d’une relation ou d’une fonction.
4. Être capable de représenter graphiquement une fonction à partir de son équation.
5. Savoir calculer les intercepts avec les axes X et Y en posant y=0 ou x=0.
6. Maîtriser la méthode de tabulation pour tracer une fonction dans le plan cartésien.
7. Connaître la forme générale d’une fonction linéale y = mx + b.
8. Identifier la pente m dans une équation de droite et comprendre son impact sur la croissance ou décroissance.
9. Savoir calculer la pente m à partir de deux points (x₁, y₁) et (x₂, y₂).
10. Comprendre que l’équation y = mx + b représente une droite dans le plan.
11. Connaître la définition d’une fonction identité comme cas particulier de fonction linéale.
12. Maîtriser le lien entre signe de m et comportement croissant/décroissant dans une fonction linéale.