Fiche de révision : Introduction aux suites, fonctions et géométrie

📋 Plan du Cours

1. Suites numériques
2. Suites arithmétiques et géométriques
3. Dérivation et monotonie
4. Extremums et étude de fonction
5. Inégalités et dérivée
6. Fonction du second degré
7. Fonction exponentielle
8. Géométrie repérée et droites
9. Cercles, paraboles et produit scalaire
10. Arbres pondérés et probabilités totales
11. Variables aléatoires et espérance

📖 1. Suites numériques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Une suite numérique est une fonction qui associe à chaque entier naturel un réel appelé terme de rang.
• Terme général : Le terme général est l’écriture qui donne la valeur $u_n$ d’une suite pour tout entier naturel $n$.
• Suite monotone : Une suite est monotone lorsqu’elle est toujours croissante ou toujours décroissante.
• Limite réelle d’une suite : Une suite admet une limite réelle lorsque, à partir d’un certain rang, ses termes deviennent aussi proches que voulu de cette valeur.
• Suite divergente : Une suite est divergente lorsqu’elle n’est pas convergente, donc qu’elle n’a pas de limite réelle.

📝 Points essentiels

• Une suite peut être définie par une formule explicite donnant directement $u_n$ en fonction de $n$ ou par une relation de récurrence donnant $u_{n+1}$ à partir de $u_n$ et de conditions initiales.
• Si une suite est croissante alors, pour tout $n$, on a $u_{n+1}\ge u_n$, et elle est décroissante si $u_{n+1}\le u_n$.
• Une suite est constante si et seulement si $u_{n+1}=u_n$ pour tout $n$.
• Si une suite est croissante (resp. décroissante) et $f$ est croissante (resp. décroissante) sur un intervalle adapté, alors la suite est croissante (resp. décroissante) à partir du rang indiqué.
• On note $\lim_{n\to+\infty} u_n=l$ lorsque la suite admet la limite réelle $l$.
• Une suite divergente peut diverger de deux façons : elle n’est pas convergente, donc son comportement n’aboutit pas à une limite réelle unique.

💡 Astuce mémo

Monotonie: compare $u_{n+1}$ à $u_n$ (≥ croissante, ≤ décroissante, = constante).

📖 2. Suites arithmétiques et géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Une suite est arithmétique s’il existe un réel r tel que chaque terme suivant s’obtienne en ajoutant toujours r.
• Raison d’une suite arithmétique : La raison d’une suite arithmétique est le nombre r qui sert à passer d’un terme au suivant en effectuant toujours l’addition par r.
• Suite géométrique : Une suite est géométrique s’il existe un réel q tel que chaque terme suivant s’obtienne en multipliant toujours par q.
• Raison d’une suite géométrique : La raison d’une suite géométrique est le nombre q qui sert à passer d’un terme au suivant en effectuant toujours la multiplication par q.
• Somme de termes consécutifs : La somme de termes consécutifs est une expression qui additionne un nombre donné de termes consécutifs d’une suite arithmétique ou géométrique.

📝 Points essentiels

• Si une suite est arithmétique de premier terme u0 et de raison r alors un = u0 + n×r pour tout entier naturel n.
• Si une suite arithmétique est écrite à partir d’un rang p alors un = up + (n−p)×r pour tout n et tout p entiers avec n≥p.
• Pour une suite géométrique de premier terme u0 et de raison q alors un = u0×q^n pour tout entier naturel n.
• Pour une suite géométrique de rang p à n alors un = up×q^(n−p) pour tout n et tout p entiers avec n≥p.
• La somme des n+1 premiers termes d’une suite géométrique de raison q (avec q≠1) vaut S = (premier terme)×(1−q^(n+1))/(1−q).
• La croissance dépend des rapports : r donne une évolution linéaire, et q donne une évolution exponentielle avec q>1 croissante et 0<q<1 décroissante.

💡 Astuce mémo

Arithmétique = ajouter la même raison r ; Géométrique = multiplier la même raison q.

📖 3. Dérivation et monotonie

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux de variation : Le taux de variation mesure l’évolution moyenne d’une fonction entre deux points d’abscisses différentes sur sa courbe.
• Nombre dérivé : Le nombre dérivé en $a$ est la limite du taux de variation lorsque $h$ tend vers $0$ si elle existe.
• Tangente à une courbe : La tangente à la courbe au point d’abscisse $a$ est la droite passant par ce point et ayant pour pente le coefficient directeur égal à $f'(a)$.
• Fonction dérivée : La fonction dérivée associe à tout réel de l’intervalle le nombre dérivé correspondant.
• Extremum local : Un extremum local apparaît en un point quand la dérivée change de signe autour de ce point.

📝 Points essentiels

• La fonction est dérivable en $a$ si le taux de variation $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ admet une limite réelle quand $h\to 0$.
• Si $f$ est dérivable en $a$, la tangente au point d’abscisse $a$ a pour équation $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.
• Si $f'(x)>0$ pour tout $x$ d’un intervalle $I$, alors $f$ est strictement croissante sur $I$.
• Si $f'(x)<0$ pour tout $x$ d’un intervalle $I$, alors $f$ est strictement décroissante sur $I$.
• Si $f'(\alpha)=0$ et que $f'$ change de signe de $-$ à $+$ en $\alpha$, alors $f$ admet un minimum local en $\alpha$.
• Si $f'$ change de signe de $+$ à $-$ en $\alpha$, alors $f$ admet un maximum local en $\alpha$.

💡 Astuce mémo

Signe de $f'$ : positif = ça monte, négatif = ça descend, nul = stabilité, et changement de signe = extremum.

📖 4. Extremums et étude de fonction

🔑 Notions clés & Définitions

• Changement de signe de f′ : Le changement de signe de la dérivée indique que la fonction passe de croissante à décroissante ou l’inverse, ce qui crée un extremum local.
• Tableau de variations : Un tableau de variations résume, à partir du signe de f′, les intervalles où une fonction est croissante, décroissante ou constante.
• Étude de fonction : Une étude de fonction consiste à déterminer l’ensemble de définition, calculer f′ puis relier le signe de f′ aux variations pour dresser le tableau.

📝 Points essentiels

• Si $f$ est dérivable en $a$ et si $f′$ change de signe en $a$, alors $f$ admet un extremum local en $a$.
• Si $f$ passe de strictement croissante à strictement décroissante en $a$, alors $f$ admet un maximum local en $a$.
• Si $f$ passe de strictement décroissante à strictement croissante en $a$, alors $f$ admet un minimum local en $a$.
• Pour une étude de fonction, on commence par l’ensemble de définition, puis on calcule $f′$, puis on étudie le signe de $f′$ pour déduire les variations.
• Si $f′(x)>0$ sur un intervalle $I$, alors $f$ est strictement croissante sur $I$.
• Si $f′(x)=0$ sur $I$, alors $f$ est constante sur $I$.

💡 Astuce mémo

Croissante→décroissante = maximum ; décroissante→croissante = minimum (on lit ça sur le signe de f′).

📖 5. Inégalités et dérivée

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction différence : Une fonction différence est une fonction définie comme le retrait d’un membre de l’inégalité à l’autre pour étudier directement le signe de l’expression obtenue.
• Étude du signe : L’étude du signe consiste à déterminer sur quels intervalles une fonction est positive, négative ou nulle pour conclure sur l’inégalité demandée.
• Variations via dérivée : Les variations via dérivée s’obtiennent en étudiant le signe de la dérivée, ce qui permet de déduire où la fonction est croissante ou décroissante.

📝 Points essentiels

• Pour démontrer une inégalité, on pose une fonction égale à la différence des deux membres puis on étudie son signe.
• On complète le raisonnement en calculant les éventuels extremums de la fonction étudiée pour préciser son comportement et conclure.
• Si $h(x)=e^x-x-1$, alors $h'(x)=e^x-1$ et $h'(x)>0$ équivaut à $x>0$.
• Avec $h(0)=0$, on en déduit que $h$ admet un minimum en $x=0$ et donc $h(x)\ge 0$ pour tout réel, ce qui donne l’inégalité cherchée.

📖 6. Fonction du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Parabole ouverte vers le haut : Une parabole ouverte vers le haut correspond aux cas où le coefficient $a$ est strictement positif.
• Parabole ouverte vers le bas : Une parabole ouverte vers le bas correspond aux cas où le coefficient $a$ est strictement négatif.
• Discriminant : Le discriminant $\Delta$ est une expression en $a,b,c$ qui permet de déterminer le nombre et la forme des racines du trinôme.
• Forme factorisée : La forme factorisée d’un trinôme du second degré exprime $f(x)$ comme un produit des deux facteurs liés à ses racines.

📝 Points essentiels

• Si $a>0$, la fonction est strictement décroissante puis strictement croissante et elle admet un minimum atteint en $\alpha$.
• Si $a<0$, la fonction est strictement croissante puis strictement décroissante et elle admet un maximum atteint en $\alpha$.
• Pour $f(x)=ax^2+bx+c$, on calcule le discriminant $\Delta=b^2-4ac$ afin de conclure sur l’existence et le nombre de racines réelles.
• Si $\Delta>0$, alors $f$ admet deux racines réelles distinctes $x_1=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}$, et $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$.
• Si $\Delta=0$, alors $f$ admet une unique racine réelle $x_0=-\frac{b}{2a}$ et $f(x)$ s’annule en $x_0$.
• Si $\Delta<0$, alors $f$ n’admet aucune racine réelle.

💡 Astuce mémo

Signe de $\Delta$: $\Delta>0$ deux racines, $\Delta=0$ une racine, $\Delta<0$ aucune racine.

📖 7. Fonction exponentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction exponentielle : La fonction exponentielle associe à chaque réel la valeur $e^x$, avec $e$ constant et $x$ variable.
• Croissance exponentielle : Une croissance exponentielle correspond au cas où la fonction $t\mapsto e^{kt}$ a $k>0$, donc elle est strictement croissante et positive.
• Décroissance exponentielle : Une décroissance exponentielle correspond au cas où la fonction $t\mapsto e^{-kt}$ (ou $t\mapsto e^{kt}$ avec $k>0$ mais exposant négatif) est strictement décroissante et positive.
• **Convexité de $e^x** : La courbe$y=e^x$ est convexe, ce qui implique que sa tangente est toujours située en dessous de la courbe.

📝 Points essentiels

• Pour tout réel $x$, on a $e^0=1$.
• Pour tous réels $x$ et $y$, $e^x\times e^y=e^{x+y}$.
• Pour tous réels $x$ et $y$, $\dfrac{e^x}{e^y}=e^{x-y}$.
• La fonction $t\mapsto e^{kt}$ est strictement croissante et positive sur $\mathbb{R}$ quand $k>0$, avec une croissance plus rapide quand $k$ augmente.
• La fonction $t\mapsto e^{-kt}$ est strictement décroissante et positive sur $\mathbb{R}$ quand $k>0$, avec une décroissance plus rapide quand $k$ augmente.

💡 Astuce mémo

Règles-clés : e^x e^y = e^(x+y) et e^x / e^y = e^(x−y).

📖 8. Géométrie repérée et droites

🔑 Notions clés & Définitions

• Colinéarité : Deux vecteurs non nuls sont colinéaires s’ils ont la même direction et s’il existe un réel k tel que l’un soit égal à k fois l’autre.
• Vecteur directeur : Un vecteur est directeur d’une droite s’il existe deux points de la droite tels que ce vecteur soit égal à la différence entre leurs coordonnées.
• Vecteur normal : Un vecteur est normal à une droite s’il est orthogonal à un vecteur directeur de cette droite.
• Équation cartésienne d’une droite : Dans un repère orthonormé, une droite admet une équation de la forme ax+by+c=0 avec a et b non nuls simultanément.

📝 Points essentiels

• Deux vecteurs u(x,y) et v(x',y') sont colinéaires si et seulement si xy'−x'y'=0, pour des vecteurs non nuls.
• Par convention, le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.
• Un point M appartient à une droite de vecteur directeur u si et seulement si les vecteurs AM et u sont colinéaires.
• Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
• Une droite parallèle à l’un des axes et une droite définie par un vecteur directeur ou normal peut s’écrire sous la forme ax+by+c=0 avec a et b non nuls simultanément.

📖 9. Cercles, paraboles et produit scalaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation de cercle : L’équation cartésienne d’un cercle de centre et de rayon s’écrit sous la forme $(x-x_\Omega)^2+(y-y_\Omega)^2=R^2$.
• Équation cartésienne de droite : Une droite du repère orthonormé peut s’écrire avec une équation cartésienne de la forme $ax+by+c=0$ avec $a$ et $b$ non simultanément nuls.
• Équation de parabole : Une parabole du repère a pour équation cartésienne une expression de la forme $ax^2+bx+c=0$ avec $a$, $b$ et $c$ réels.
• Condition de diamètre : Un cercle de diamètre $[AB]$ est l’ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$.

📝 Points essentiels

• Pour que trois points $A$, $B$ et $D$ soient alignés, il faut et il suffit que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$ soient colinéaires.
• Une droite de vecteur directeur $\begin{pmatrix}a\end{pmatrix}$ admet une équation cartésienne $ax+by+c=0$ où le couple $(a,b)$ correspond au vecteur normal $\begin{pmatrix}b\ -a\end{pmatrix}$.
• Un point $M$ appartient au cercle de diamètre $[AB]$ si et seulement si $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$.
• La parabole $y=ax^2+bx+c$ a pour sommet le point et admet la droite d’équation comme axe de symétrie.
• Si $a>0$, la parabole a des branches tournées vers le haut et admet un minimum pour $x=-\dfrac{b}{2a}$.
• Si $a<0$, la parabole a des branches tournées vers le bas et admet un maximum pour $x=-\dfrac{b}{2a}$.

💡 Astuce mémo

Diamètre $\Rightarrow$ angle droit : sur le cercle de diamètre $[AB]$, $\overrightarrow{MA}\perp\overrightarrow{MB}$ donc $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$.

📖 10. Arbres pondérés et probabilités totales

🔑 Notions clés & Définitions

• Arbre pondéré : Un arbre pondéré est un schéma qui modélise une expérience aléatoire en utilisant des probabilités sur les branches, notamment des probabilités conditionnelles.
• Partition d'événements : Une partition de $\Omega$ par des ensembles $A,B,C$ signifie que leurs intersections deux à deux sont vides et que leur réunion vaut $\Omega$.
• Probabilité d'un chemin : La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités des branches suivies le long de ce chemin dans l'arbre pondéré.
• Probabilités totales : Les probabilités totales donnent la probabilité d'un événement comme somme des probabilités des chemins qui y mènent, construites à partir d'une partition.

📝 Points essentiels

• Sur un arbre pondéré, la somme des probabilités des branches issues d’un même nœud vaut 1.
• La probabilité d’un chemin est obtenue en multipliant les probabilités des branches rencontrées le long de ce chemin.
• La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des chemins qui mènent à cet événement.
• Si $A,B,C$ forment une partition de $\Omega$, alors $p(T)=p(A\cap T)+p(B\cap T)+p(C\cap T)$.
• Si $C$ et $\overline{C}$ forment une partition, alors $p(T)=p(C)\times p_C(T)+p(\overline{C})\times p_{\overline{C}}(T)$.

💡 Astuce mémo

Chemins → somme, branches d’un chemin → produit : pour $p(T)$, additionne tous les chemins menant à $T$.

📖 11. Variables aléatoires et espérance

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable aléatoire : Une variable aléatoire est une fonction définie sur l’univers d’une expérience et qui prend des valeurs dans un ensemble de résultats numériques.
• Loi de probabilité : La loi de probabilité associe, à chaque valeur possible d’une variable aléatoire, la probabilité qu’elle soit prise.
• Espérance mathématique : L’espérance mathématique est le réel obtenu en sommant les valeurs possibles pondérées par leurs probabilités.
• Variance d'une variable : La variance est un nombre positif qui mesure l’écart des valeurs possibles de la variable par rapport à son espérance.
• Écart-type : L’écart-type est la racine carrée de la variance et donne une mesure de dispersion dans la même unité que la variable.

📝 Points essentiels

• Pour une variable aléatoire discrète prenant les valeurs $x_1,\dots,x_k$, on a $\sum_{i=1}^k p(X= x_i)=1$ avec $p(X=x_i)\ge 0$ pour tout $i$.
• Si $X$ prend $x_i$ avec probabilité $p_i$, alors $E(X)=\sum_{i=1}^k x_i\,p_i$.
• La variance s’écrit $V(X)=\sum_{i=1}^k p_i\,(x_i-E(X))^2$.
• L’écart-type vérifie $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$.
• Dans un jeu équitable, la condition exprimée dans la source est $E(X)=0$.

💡 Astuce mémo

Espérance $E(X)$ = moyenne pondérée : somme des valeurs $x_i$ multipliées par leurs probabilités $p_i$.

📊 Tableaux de synthèse

Suites arithmétiques vs géométriques

Dérivée : signe et variations / extrema

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre monotonie d’une suite (compare u_{n+1} à u_n) et variations d’une fonction (compare le signe de f′(x)).
2. Croire qu’une suite divergente a toujours une limite : ici « divergente » = pas convergente donc pas de limite réelle.
3. Se tromper dans la formule « rang p » : pour une arithmétique, u_n = u_p + (n−p)×r ; pour une géométrique, u_n = u_p×q^(n−p).
4. Intervertir les conditions sur q : géométrique croît pour q>1 et décroît pour 0<q<1 (pas l’inverse).
5. Utiliser la tangente comme « y=f'(a)(x−a)+f(a) » : oublier f(a) décale la droite.
6. Pour un extremum, inverser le sens du changement de signe : −→+ donne un minimum, +→− donne un maximum.
7. Confondre la méthode des inégalités : il faut poser la fonction égale à la différence des deux membres puis étudier son signe et ses extremums si besoin.

✅ Checklist Examen

1. Définir une suite numérique comme u : N → R et nommer « terme de rang / terme général ».
2. Donner les deux modes de génération : formule explicite (u_n en fonction de n) et relation de récurrence (u_{n+1} à partir de u_n) avec condition initiale.
3. Déterminer le sens de variation d’une suite en utilisant la comparaison u_{n+1} ≥ u_n (croissante), u_{n+1} ≤ u_n (décroissante) ou égalité (constante).
4. Expliquer quand une suite admet une limite réelle et conclure que « divergente » signifie « pas convergente ».
5. Reconnaître une suite arithmétique et écrire u_n = u_0 + n×r (ou u_n = u_p + (n−p)×r).
6. Reconnaître une suite géométrique et écrire u_n = u_0×q^n (ou u_n = u_p×q^(n−p)).
7. Calculer une somme de termes consécutifs d’une suite géométrique en utilisant S = (premier terme)×(1−q^(n+1))/(1−q) (cas q≠1).
8. Calculer le nombre dérivé en a comme limite du taux de variation lorsque h→0, et écrire l’équation de la tangente y=f'(a)(x−a)+f(a).
9. Utiliser le signe de f′ pour déduire : f strictement croissante si f′>0, strictement décroissante si f′<0, et constante si f′=0 sur un intervalle.
10. Étudier un extremum local avec le changement de signe de f′ : −→+ (minimum local) et +→− (maximum local).
11. Démontrer une inégalité par fonction différence : poser h(x)= (membre de gauche)−(membre de droite), étudier son signe et conclure avec les extremums éventuels.
12. Pour le second degré, calculer Δ=b^2−4ac, donner le nombre de racines réelles selon Δ, puis résoudre une inéquation du second degré via le tableau de signes.
13. Pour l’exponentielle : utiliser e^0=1, e^x×e^y=e^(x+y), e^x/e^y=e^(x−y) et la variation (croissante pour e^{kt} avec k>0, décroissante pour e^{−kt}).
14. En géométrie repérée, vérifier colinéarité avec xy'−x'y'=0, écrire une droite ax+by+c=0 et utiliser colinéarité/normal pour appartenance.