QCM : Introduction aux suites, fonctions et probabilités — 18 questions

Question 1

1. Quelle est la définition d’une suite donnée par récurrence ?

Chaque terme est défini par une expression trigonométrique en fonction de n

Chaque terme est obtenu uniquement à partir de la somme des termes précédents

Chaque terme est calculé directement à partir de n par une formule

Chaque terme dépend du terme précédent grâce à une relation de récurrence

Explication

Une suite est définie par récurrence quand un terme dépend du précédent, par exemple sous la forme $u_{n+1}=f(u_n)$ . La définition directe à partir de n correspond au cas explicite, pas à la récurrence.

Answer

Chaque terme dépend du terme précédent grâce à une relation de récurrence

Question 2

2. Pour étudier la croissance d’une suite, que faut-il examiner en premier ?

Le signe de

u_{n+1}-u_n

Le signe de

u_{n+1}/u_n

dans tous les cas

Le signe de

u_n+u_{n+1}

La valeur absolue de u_n

Explication

La variation d’une suite se détermine en étudiant le signe de $u_{n+1}-u_n$ . Le quotient $u_{n+1}/u_n$ n’est utilisé que lorsque u_n est strictement positif.

Answer

Le signe de u_{n+1}-u_n

Question 3

3. Quelle relation caractérise une suite arithmétique ?

u_{n+1}=u_n+r

avec r constant

u_{n+1}=u_n^2+r

u_{n+1}=u_n×q

avec q constant

u_{n+1}=r/u_n

Explication

Une suite arithmétique évolue par ajout d’une même constante r à chaque terme. La relation avec un facteur multiplicatif constant correspond à une suite géométrique.

Answer

u_{n+1}=u_n+r avec r constant

Question 4

4. Quelle est l’expression de la somme 1+q+q^2+…+q^n lorsque q≠1 ?

(n+1)×q

(q^{n+1}-1)/(q-1)

uniquement si q=1

(1-q^n)/(1-q)

(1-q^{n+1})/(1-q)

Explication

La somme géométrique de 1 à q^n vaut $(1-q^{n+1})/(1-q)$ quand q≠1. Cette formule repose sur le nombre de termes égal à n+1.

Answer

(1-q^{n+1})/(1-q)

Question 5

5. Quel est le discriminant d’un trinôme ax^2+bx+c ?

b^2+4ac

2a-b+c

a^2-4bc

b^2-4ac

Explication

Le discriminant d’un trinôme du second degré est Δ=b^2-4ac. Il permet de déterminer le nombre de racines réelles et le signe de la fonction.

Answer

L’équation n’admet aucune racine réelle

Answer

La pente de la tangente en a

Answer

y=f'(a)(x-a)+f(a)

Answer

P(A∩B)/P(A)

Answer

P(A∩B)=P(A)×P(B)

Answer

P(A∩B) / P(A)

Answer

P(A∩B)=P(A)×P(B)

Answer

Elle vérifie f'=f et f(0)=1

Answer

e^{a+b}=e^a×e^b

Answer

Le même point du cercle

Answer

cos(-x)=cos(x) et sin(-x)=-sin(x)

Answer

E(X)=∑ p_i x_i

Answer

σ(X)=√V(X)

Question 6

6. Si le discriminant d’une équation du second degré est strictement négatif, quelle affirmation est correcte ?

L’équation admet une racine réelle double

L’équation admet deux racines réelles

L’équation admet toujours une racine rationnelle

L’équation n’admet aucune racine réelle

Explication

Lorsque Δ<0, il n’existe aucune racine réelle. Dans ce cas, le trinôme garde partout le signe de a sur ℝ.

Question 7

7. Que représente le nombre dérivé f'(a) ?

L’aire sous la courbe en a

L’ordonnée du point de contact

La valeur de f(a+1)-f(a)

La pente de la tangente en a

Explication

Le nombre dérivé f'(a) correspond à la pente de la tangente au point d’abscisse a. Il est défini comme la limite du taux de variation quand h tend vers 0.

Question 8

8. Quelle est l’équation de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse a ?

y=f(a)+f'(a)

y=f'(a)(x-a)+f(a)

y=f(a)(x-a)+f'(a)

y=f'(x)(a-x)+f(a)

Explication

La tangente en a s’écrit y=f'(a)(x-a)+f(a). Cette forme montre qu’elle passe par (a,f(a)) et qu’elle a pour pente f'(a).

Question 9

9. Quelle est la formule de la probabilité conditionnelle de B sachant A ?

P(A∩B)/P(A)

P(A)+P(B)

P(B∩A)/P(B)

P(A)×P(B)

Explication

La probabilité conditionnelle de B sachant A est P_A(B)=P(A∩B)/P(A), à condition que P(A)≠0. Elle mesure la probabilité de B dans le cadre où A est réalisé.

Question 10

10. Que signifie l’indépendance de deux événements A et B ?

P(A∪B)=P(A)×P(B)

P(A)=P(B)

P(A∩B)=P(A)+P(B)

P(A∩B)=P(A)×P(B)

Explication

Deux événements sont indépendants lorsque la probabilité de leur intersection est le produit de leurs probabilités. C’est le critère fondamental d’indépendance dans ce cadre.

Question 11

11. Comment s’écrit la probabilité conditionnelle de B sachant A, lorsque la probabilité de A est non nulle ?

P(A) × P(B)

P(A∪B) / P(A)

P(A) / P(A∩B)

P(A∩B) / P(A)

Explication

La probabilité conditionnelle de B sachant A se définit par le rapport P(A∩B)/P(A), à condition que P(A) ne soit pas nulle. Le produit P(A)×P(B) correspond plutôt au cas d’indépendance.

Question 12

12. Quand deux événements A et B sont indépendants, quelle égalité est vérifiée ?

P_A(B)=P(A)

P(B|A)=P(A∪B)

P(A∩B)=P(A)×P(B)

P(A∩B)=P(A)+P(B)

Explication

L’indépendance signifie que la probabilité de l’intersection est le produit des probabilités. Les autres propositions ne caractérisent pas l’indépendance.

Question 13

13. Quelle propriété caractérise la fonction exponentielle ?

Elle vérifie f'=1/f et f(0)=0

Elle vérifie f'=f et f(0)=1

Elle est périodique de période 2π

Elle prend des valeurs uniquement positives ou nulles

Explication

La fonction exponentielle est l’unique fonction telle que sa dérivée est elle-même et qui vaut 1 en 0. Elle est bien strictement positive, mais l’énoncé proposé sur les valeurs nulles est faux.

Question 14

14. Quelle identité est correcte pour les exponentielles ?

e^{a+b}=e^a+e^b

(e^a)^n=e^{a+n}

e^{a-b}=e^a×e^b

e^{a+b}=e^a×e^b

Explication

La règle de produit des exposants donne $e^{a+b}=e^a×e^b$ . On a aussi $e^{a-b}=e^a/e^b$ et $(e^a)^n=e^{na}$ .

Question 15

15. Sur le cercle trigonométrique, que représente l’angle x+2kπ par rapport à l’angle x ?

Un point situé à une distance angulaire différente et non équivalente

Le point opposé sur le cercle

Le même point du cercle

Un point obtenu par symétrie par rapport à l’axe des ordonnées

Explication

Ajouter un multiple de 2π ne change pas le point atteint sur le cercle trigonométrique. Cela traduit la périodicité de 2π.

Question 16

16. Quelle égalité de parité est correcte pour le sinus et le cosinus ?

cos(-x)=1/cos(x) et sin(-x)=1/sin(x)

cos(-x)=cos(x) et sin(-x)=-sin(x)

cos(-x)=sin(x) et sin(-x)=cos(x)

cos(-x)=-cos(x) et sin(-x)=sin(x)

Explication

Le cosinus est une fonction paire et le sinus est une fonction impaire. C’est pourquoi cos(-x)=cos(x) et sin(-x)=-sin(x).

Question 17

17. Quelle formule donne l’espérance d’une variable aléatoire discrète X prenant les valeurs x_i avec les probabilités p_i ?

E(X)=∑ (x_i-E(X))^2

E(X)=√V(X)

E(X)=∑ p_i x_i

E(X)=∑ p_i

Explication

L’espérance est la somme pondérée des valeurs possibles par leurs probabilités. La somme des probabilités vaut 1, tandis que la racine de la variance correspond à l’écart-type.

Question 18

18. Quelle relation définit l’écart-type d’une variable aléatoire discrète X ?

σ(X)=√V(X)

σ(X)=∑ p_i x_i

σ(X)=V(X)^2

σ(X)=E(X)^2

Explication

L’écart-type est, par définition, la racine carrée de la variance. La formule de l’espérance est différente et ne donne pas la dispersion.

QCM : Introduction aux suites, fonctions et probabilités — 18 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle est la définition d’une suite donnée par récurrence ?

2. Pour étudier la croissance d’une suite, que faut-il examiner en premier ?

3. Quelle relation caractérise une suite arithmétique ?

4. Quelle est l’expression de la somme 1+q+q^2+…+q^n lorsque q≠1 ?

5. Quel est le discriminant d’un trinôme ax^2+bx+c ?

6. Si le discriminant d’une équation du second degré est strictement négatif, quelle affirmation est correcte ?

7. Que représente le nombre dérivé f'(a) ?

8. Quelle est l’équation de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse a ?

9. Quelle est la formule de la probabilité conditionnelle de B sachant A ?

10. Que signifie l’indépendance de deux événements A et B ?

11. Comment s’écrit la probabilité conditionnelle de B sachant A, lorsque la probabilité de A est non nulle ?

12. Quand deux événements A et B sont indépendants, quelle égalité est vérifiée ?

13. Quelle propriété caractérise la fonction exponentielle ?

14. Quelle identité est correcte pour les exponentielles ?

15. Sur le cercle trigonométrique, que représente l’angle x+2kπ par rapport à l’angle x ?

16. Quelle égalité de parité est correcte pour le sinus et le cosinus ?

17. Quelle formule donne l’espérance d’une variable aléatoire discrète X prenant les valeurs x_i avec les probabilités p_i ?

18. Quelle relation définit l’écart-type d’une variable aléatoire discrète X ?

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