QCM : Introduction aux suites mathématiques — 14 questions

Questions et réponses du QCM

1. Comment définit-on une suite en mathématiques ?

Une fonction qui associe à chaque réel un nombre
Une fonction qui associe à chaque entier naturel un nombre
Une équation qui relie deux inconnues
Une collection de nombres sans ordre précis

Une fonction qui associe à chaque entier naturel un nombre

Explication

Une suite est une fonction définie sur les entiers naturels, qui associe à chaque indice n un terme uₙ. Les autres propositions décrivent soit une fonction sur ℝ, soit un ensemble non ordonné, soit une équation.

2. Que désigne une relation de récurrence pour une suite ?

Une somme des n premiers termes
Une formule qui définit uₙ₊₁ à partir de uₙ
Une expression explicite de uₙ en fonction de n
Une propriété valable seulement pour les suites géométriques

Une formule qui définit uₙ₊₁ à partir de uₙ

Explication

Une relation de récurrence permet de calculer un terme à partir du précédent, par exemple uₙ₊₁=f(uₙ). Une expression explicite relève au contraire du terme général.

3. Quand dit-on qu’une suite est arithmétique ?

Quand les termes sont tous positifs
Quand le quotient de deux termes consécutifs est constant
Quand la différence entre deux termes consécutifs est constante
Quand la suite converge vers une limite finie

Quand la différence entre deux termes consécutifs est constante

Explication

Dans une suite arithmétique, l’écart uₙ₊₁−uₙ est constant et égal à la raison r. Le quotient constant caractérise au contraire une suite géométrique.

4. Quelle est la formule explicite d’une suite arithmétique de premier terme u₁ et de raison r ?

uₙ = r + (n−1)u₁
uₙ = u₁ − (n−1)r
uₙ = u₁ + (n−1)r
uₙ = u₁·rⁿ⁻¹

uₙ = u₁ + (n−1)r

Explication

Pour une suite arithmétique, on ajoute la raison r à chaque pas, ce qui donne uₙ=u₁+(n−1)r. La formule multiplicative correspond à une suite géométrique.

5. Quand dit-on qu’une suite est géométrique ?

Quand la somme des termes augmente régulièrement
Quand elle est définie par une équation du second degré
Quand la différence entre deux termes consécutifs est constante
Quand le quotient entre deux termes consécutifs est constant non nul

Quand le quotient entre deux termes consécutifs est constant non nul

Explication

Une suite géométrique vérifie un quotient constant uₙ₊₁/uₙ égal à la raison q, avec q non nul. La différence constante définit une suite arithmétique.

6. Quelle est la somme des n premiers termes d’une suite géométrique lorsque q = 1 ?

Sₙ = (n/2)(u₁+uₙ)
Sₙ = u₁(1−qⁿ)/(1−q)
Sₙ = n·u₁
Sₙ = u₁ + (n−1)q

Sₙ = n·u₁

Explication

Si q=1, tous les termes sont égaux à u₁, donc la somme des n premiers termes vaut n·u₁. La formule avec le quotient géométrique s’applique seulement quand q≠1.

7. Quelle forme générale prend une suite arithmético-géométrique ?

uₙ₊₁ = q·uₙ
uₙ = u₁ + (n−1)r
uₙ₊₁ = uₙ + r
uₙ₊₁ = a·uₙ + b

uₙ₊₁ = a·uₙ + b

Explication

Une suite arithmético-géométrique est définie par une récurrence affine uₙ₊₁=a·uₙ+b. Les autres écritures correspondent à une suite arithmétique, géométrique ou à une formule explicite.

8. À quoi sert le point fixe dans l’étude d’une suite arithmético-géométrique ?

À montrer que la suite est toujours convergente
À transformer la suite en une suite géométrique en considérant l’écart
À remplacer la récurrence par une formule trigonométrique
À calculer directement la somme des termes

À transformer la suite en une suite géométrique en considérant l’écart

Explication

On cherche le point fixe u vérifiant u=a·u+b, puis on étudie vₙ=uₙ−u ; cette nouvelle suite vérifie une récurrence géométrique. C’est la clé de la résolution.

9. Quand deux suites sont-elles adjacentes ?

Lorsqu’on a aₙ≤bₙ pour tout n et bₙ−aₙ→0
Lorsqu’elles ont la même raison
Lorsqu’elles ont la même formule explicite
Lorsqu’elles sont toutes deux arithmétiques

Lorsqu’on a aₙ≤bₙ pour tout n et bₙ−aₙ→0

Explication

Deux suites adjacentes sont ordonnées l’une sous l’autre et leur écart tend vers 0. Cette situation conduit à une même limite.

10. Que permet le théorème des gendarmes pour une suite encadrée ?

De prouver qu’elle est arithmétique
D’établir sa limite si les deux suites d’encadrement convergent vers la même valeur
De calculer sa somme exacte
De trouver son premier terme

D’établir sa limite si les deux suites d’encadrement convergent vers la même valeur

Explication

Le théorème des gendarmes permet de conclure qu’une suite encadrée par deux suites ayant la même limite converge vers cette limite. Il s’agit d’un outil de comparaison, pas d’un calcul de somme.

11. Quelle est l’étape qui consiste à vérifier la propriété au premier rang choisi dans une preuve par récurrence ?

L’hérédité
La conclusion
La généralisation
L’initialisation

L’initialisation

Explication

L’initialisation consiste à montrer que la propriété est vraie au rang de départ, noté n₀. L’hérédité vient ensuite pour passer de k à k+1.

12. Dans une preuve par récurrence, que faut-il montrer lors de l’hérédité ?

Que la suite définie est toujours croissante
Que la propriété est vraie pour tous les entiers d’un coup
Que P(n₀) est vraie pour le premier rang
Que si P(k) est vraie, alors P(k+1) est vraie

Que si P(k) est vraie, alors P(k+1) est vraie

Explication

L’hérédité est l’étape où l’on établit l’implication P(k) ⇒ P(k+1). Elle ne consiste pas à vérifier le rang initial, qui relève de l’initialisation.

13. Dans un algorithme qui calcule les termes d’une suite définie par récurrence, quelle opération est effectuée à chaque itération ?

Additionner tous les termes avant de commencer
Comparer deux suites pour vérifier qu’elles sont adjacentes
Mettre à jour la valeur en appliquant la relation de récurrence
Calculer directement le terme général sans boucle

Mettre à jour la valeur en appliquant la relation de récurrence

Explication

Le calcul itératif repose sur la mise à jour répétée de la valeur à l’aide de la relation de récurrence. On avance ensuite l’indice jusqu’au rang voulu.

14. Pour déterminer le plus petit rang n tel que uₙ dépasse un seuil donné, quelle logique d’algorithme convient le mieux ?

Additionner les termes dans une variable de somme S
Boucler tant que u reste inférieur au seuil, puis incrémenter n
Remplacer la récurrence par une formule de limite
Calculer uniquement u₁ et conclure si le seuil est dépassé

Boucler tant que u reste inférieur au seuil, puis incrémenter n

Explication

Pour trouver le premier rang d’atteinte, on utilise une boucle tant que u est inférieur au seuil, en mettant à jour u et en augmentant n à chaque étape. Les autres propositions ne permettent pas de repérer le premier dépassement.

Révisez avec les flashcards

Mémorisez les réponses avec 21 flashcards sur Introduction aux suites mathématiques.

Suite — définition ?

Fonction associant à chaque n un uₙ.

Terme général — rôle ?

Exprime uₙ en fonction de n.

Relation de récurrence — mécanisme ?

Définit uₙ₊₁ à partir de uₙ.

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