Fiche de révision : Introduction aux suites numériques

📋 Plan du Cours

1. Origines des suites numériques
2. Définition d'une suite
3. Suites explicites
4. Suites récurrentes et algorithmes
5. Représentation graphique d'une suite
6. Sens de variation des suites

📖 1. Origines des suites numériques

🔑 Notions clés & Définitions

• Archimède de Syracuse : Mathématicien de l’Antiquité qui utilise une procédure itérative sur des polygones pour approcher .
• Cauchy : Mathématicien du début du XIXe siècle qui apporte un formalisme plus rigoureux à la notion de suite.

📝 Points essentiels

• Archimède encadre le cercle par des polygones inscrits et circonscrits avec un nombre de côtés croissant pour approximer .
• Fin du XVIIe siècle, des méthodes similaires servent à résoudre des équations de façon approchée pour des longueurs ou des aires.
• Un formalisme rigoureux apparaît au début du XIXe siècle avec Augustin Louis Cauchy (1789 ; 1857).

📖 2. Définition d'une suite

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Liste ordonnée de nombres réels où à chaque entier $n$ correspond un terme noté $u_n$.
• Rang : Entier $n$ qui indique la position du terme dans la suite.
• Terme d'une suite : Nombre $u_n$ obtenu pour un rang $n$ donné dans la liste ordonnée.

📝 Points essentiels

• Notation : la suite $(u_n)$ associe à tout entier $n$ un réel $u_n$ écrit parfois $u_n= u!$ sur la fiche.
• Exemple : la suite des impairs ordonnés est 1,3,5,7, et le terme de rang 0 vaut 1.
• Une suite peut être vue comme une fonction $u: \mathbb{N}\rightarrow\mathbb{R}$ avec $n\mapsto u_n$.

📖 3. Suites explicites

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme explicite : Expression qui donne directement $u_n$ en fonction du rang $n$, sans utiliser le terme précédent.
• Calcul de termes : Technique consistant à remplacer $n$ par des valeurs successives pour obtenir les premiers termes.

📝 Points essentiels

• Pour $u_n=2^n$, on calcule par substitution : $u_0=2^0=1$ et $u_1=2^1=2$ selon la démarche montrée.
• Pour $v_n=3^{n}-1$, on obtient $v_0=3^0-1=-1$ et $v_1=3^1-1=2$ en remplaçant $n$.
• Pour une suite explicite, on peut trouver $u_\text{(nouveau rang)}$ sans connaître tous les termes précédents.

📖 4. Suites récurrentes et algorithmes

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite définie par récurrence : Suite où chaque terme s’obtient à partir du terme précédent, via une relation reliant $u_{n+1}$ et $u_n$.
• Algorithme : Procédure de calcul qui répète une règle pour produire successivement les termes u_0,u_1,u_2,.

📝 Points essentiels

• Règle générale : on exprime $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ car les termes consécutifs se suivent.
• Exemple 1 : avec $u_0=5$ et $u_{n+1}=3u_n$, on obtient $u_1=15$, puis $u_2=45$ et $u_3=135$.
• Exemple 2 : avec $v_0=3$ et $v_{n+1}=4v_n-6$, on obtient $v_1=6$, puis $v_2=18$ et $v_3=66$.
• Pour une suite par récurrence, calculer un terme plus loin nécessite connaître le terme précédent correspondant.

📖 5. Représentation graphique d'une suite

🔑 Notions clés & Définitions

• Nuage de points : Représentation où chaque terme est placé dans un repère par un point de coordonnées $(n;u_n)$.
• Tableau de valeurs : Liste organisée des premiers rangs et des valeurs associées $u_n$ pour préparer la représentation.

📝 Points essentiels

• On construit un tableau avec les premiers termes pour identifier les coordonnées des points.
• La suite $(u_n)$ est représentée par un nuage de points de coordonnées $(n;u_n)$ dans un repère.
• Dans l’exemple, les valeurs affichées sont : $n=0\rightarrow u_0=-3$, $n=1\rightarrow u_1=-2,5$, $n=2\rightarrow u_2=-1$, $n=3\rightarrow u_3=1,5$.
• La forme utilisée dans l’exemple est $u_n=\text{(expression donnée)}-3$ puis les valeurs du tableau sont reportées.

📖 6. Sens de variation des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite croissante : Suite pour laquelle chaque terme est au moins aussi grand que le terme précédent, donc $u_{n+1}\ge u_n$.
• Suite décroissante : Suite pour laquelle chaque terme est au plus aussi grand que le terme précédent, donc $u_{n+1}\le u_n$.
• Variation stricte : Le qualificatif strict signifie que l’inégalité entre deux termes consécutifs est réelle au lieu d’être seulement large.

📝 Points essentiels

• Critère : si $u_{n+1}\ge u_n$ alors la suite est croissante, et si $u_{n+1}\le u_n$ alors elle est décroissante.
• Cas constant : si $u_{n+1}=u_n$ alors la suite est constante.
• Pour $u_{n+1}=u_n+2$, on a $u_{n+1}-u_n=2>0$ donc la suite est croissante.
• Pour $v_n=4n+4$, on obtient $v_{n+1}-v_n=4>0$ donc la suite est croissante.

📅 Repères chronologiques

📊 Tableaux de synthèse

Comparaison : explicite vs récurrence

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre le rang $n$ avec la valeur $u_n$ du terme, ce qui fausse les substitutions et les coordonnées du nuage de points.
2. Penser qu’on peut calculer un terme d’une suite récurrente sans connaître le terme précédent, alors que la relation impose l’enchaînement.
3. Mélanger croissante et décroissante en oubliant le sens de l’inégalité entre $u_{n+1}$ et $u_n$.
4. Croire qu’une suite constante est strictement croissante ou strictement décroissante alors qu’elle vérifie l’égalité.
5. Se tromper dans le calcul de différence $u_{n+1}-u_n$ ou $v_{n+1}-v_n$ en développant mal l’expression $4(n+1)+4$.
6. Réutiliser une valeur de $n$ dans une substitution (par exemple remplacer $n$ par 1 quand on cherche le rang 0) dans les exemples explicites.

✅ Checklist Examen

1. Expliquer comment une suite $(u_n)$ associe à tout entier $n$ un réel $u_n$ et identifier le rang et les termes.
2. Calculer les quatre premiers termes d’une suite explicite par substitution du rang $n$ dans une formule donnée.
3. Reconnaître une suite définie par récurrence et écrire la relation entre $u_{n+1}$ et $u_n$ à partir de l’énoncé.
4. Calculer les quatre premiers termes d’une suite définie par récurrence à partir d’une valeur initiale $u_0$ ou $v_0$.
5. Comprendre qu’un terme récurrent plus loin nécessite de connaître le terme précédent correspondant.
6. Construire un tableau de valeurs des premiers rangs et termes $u_n$ pour préparer une représentation graphique.
7. Représenter une suite par un nuage de points de coordonnées $(n;u_n)$ dans un repère.
8. Déterminer si une suite est croissante ou décroissante en utilisant la comparaison entre $u_{n+1}$ et $u_n$.
9. Démontrer la croissance d’une suite en calculant et en étudiant le signe de la différence $u_{n+1}-u_n$.
10. Utiliser les exemples fournis : $u_{n+1}=u_n+2$ et $v_n=4n+4$ pour justifier le sens de variation par un calcul de différence.