Fiche de révision : Introduction aux suites numériques

📋 Plan du Cours

1. Origines des suites numériques
2. Définition d’une suite
3. Suites explicites et récurrentes
4. Représentation graphique
5. Sens de variation des suites

📖 1. Origines des suites numériques

🔑 Notions clés & Définitions

• Procédure itérative d’Archimède : Méthode d’itérations sur des polygones à nombre de côtés croissant pour obtenir une approximation d’une valeur géométrique.
• Approximations de fin XVIIe : Techniques similaires à celles d’Archimède sont utilisées pour résoudre des équations de manière approchée, notamment pour des grandeurs géométriques.
• Formalisme de Cauchy : Approche mathématique plus rigoureuse de la notion de suite apparaît au début du XIXe siècle avec Augustin Louis Cauchy.

📝 Points essentiels

• Archimède de Syracuse (−287 ; −212) encadre le nombre π avec des polygones inscrits et circonscrits à côtés de plus en plus nombreux.
• Vers la fin du XVIIe siècle, des méthodes semblables servent à résoudre des équations approchées pour des longueurs et des aires.
• Le formalisme rigoureux de la suite apparaît au début du XIXe siècle avec Augustin Louis Cauchy (1789 ; 1857).

💡 Astuce mémo

Encadrer pour approcher : polygones de plus en plus nombreux pour tendre vers π.

📖 2. Définition d’une suite

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Liste ordonnée de nombres où, à chaque rang n, on associe un réel noté u(n).
• Terme de la suite : Valeur associée à un rang n, notée u_n, qui fait partie de la suite ordonnée.
• Rang : Entier n qui indique la position d’un terme dans la suite.

📝 Points essentiels

• Une suite (u_n) est une application de ℕ vers ℝ : à tout n, on associe le réel u_n.
• Les valeurs u_0, u_1, u_2, … sont appelées les termes de la suite.
• Dans l’exemple des impairs, les termes sont 1, 3, 5, 7, … avec n pour numéro de position.

💡 Astuce mémo

Rang n = index : u(n) te donne le terme à cette position.

📖 3. Suites explicites et récurrentes

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme explicite : Expression qui donne directement u_n en fonction de n, permettant de calculer un terme sans connaître les précédents.
• Définition par récurrence : Définition où chaque terme s’obtient à partir du terme précédent via une relation reliant u_{n+1} et u_n.
• Impossibilité sans antécédent : Pour une suite à récurrence, un terme futur dépend des termes antérieurs nécessaires au calcul.

📝 Points essentiels

• Si u_n = 2n, alors u_0 = 0, u_1 = 2, u_2 = 4, u_3 = 6 en remplaçant n par 0, 1, 2, 3.
• Si v_n = 3n^2 − 1, alors v_0 = −1, v_1 = 2, v_2 = 11, v_3 = 26 en remplaçant n par 0, 1, 2, 3.
• Pour une récurrence du type u_{n+1} = 3u_n avec u_0 = 5, les premiers termes sont u_0 = 5 puis 15, 45, 135.
• Pour une récurrence v_{n+1} = 4v_n − 6 avec v_0 = 3, les premiers termes sont 3, 6, 18, 66.

💡 Astuce mémo

Explicite = formule en n ; récurrence = chaîne “je sors du précédent”.

📖 4. Représentation graphique

🔑 Notions clés & Définitions

• Nuage de points : Représentation où chaque terme est placé par un point de coordonnées (n ; u_n) dans un repère.
• Repère du plan : Cadre où l’on place les coordonnées (n ; u_n) pour visualiser la suite.
• Tableau de valeurs : Liste des premiers n et des valeurs correspondantes u_n servant à construire la représentation.

📝 Points essentiels

• Pour représenter une suite, on construit un tableau de valeurs des premiers rangs et des termes associés.
• On place ensuite chaque point du nuage de coordonnées (n ; u_n) dans un repère.
• Dans l’exemple, les points sont construits à partir de n allant de 0 à 8 et de u_n correspondants (dont u_0 = −3 et u_4 = 5).

💡 Astuce mémo

Graphique = (abscisse rang) puis (ordonnée terme) : (n ; u_n).

📖 5. Sens de variation des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite croissante : Suite où le terme suivant n’est jamais inférieur au terme précédent.
• Suite décroissante : Suite où le terme suivant n’est jamais supérieur au terme précédent.
• Variation stricte : Cas où le terme suivant est strictement plus grand ou strictement plus petit que le précédent.

📝 Points essentiels

• La suite (u_n) est croissante signifie que u_{n+1} ≥ u_n pour tout n.
• La suite (u_n) est décroissante signifie que u_{n+1} ≤ u_n pour tout n.
• Pour une suite constante, on a u_{n+1} = u_n pour tout n.
• Si u_{n+1} = u_n + 2 alors u_{n+1} − u_n = 2 > 0, donc la suite est croissante.

💡 Astuce mémo

Test variation : calcule la différence u_{n+1} − u_n et regarde son signe.

📅 Repères chronologiques

📊 Tableaux de synthèse

Explicite vs récurrente

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre n (rang) et u_n (terme) : la coordonnée du point est (n ; u_n).
2. Croire qu’une suite récurrente permet de calculer u_{n+1} sans connaître u_n ; la relation dépend explicitement du précédent.
3. Mélanger croissante et strictement croissante : strict implique u_{n+1} > u_n, simple croissante permet égalité.
4. Interpréter le signe de u_{n+1} − u_n à l’envers : différence positive correspond à une suite croissante.
5. Penser qu’une suite décroissante signifie u_{n+1} < u_n toujours ; le cours précise seulement u_{n+1} ≤ u_n (décroissance non stricte).

✅ Checklist Examen

1. Identifier le rang n et écrire le terme correspondant u_n dans la définition d’une suite numérique.
2. Associer correctement une suite à une fonction u : ℕ → ℝ avec u(n) = u_n.
3. Calculer des termes à partir d’une forme explicite u_n = f(n) en remplaçant n par 0, 1, 2, 3.
4. Calculer des termes d’une suite définie par récurrence en utilisant la relation entre u_{n+1} et u_n à partir du premier terme.
5. Reconnaître qu’en récurrence on ne peut pas déterminer un terme sans avoir les termes nécessaires au calcul.
6. Construire un tableau des premiers couples (n, u_n) avant de représenter une suite graphiquement.
7. Placer correctement chaque point du nuage de coordonnées (n ; u_n) sur un repère.
8. Déterminer le sens de variation en calculant u_{n+1} − u_n et en étudiant son signe.
9. Conclure croissante si u_{n+1} ≥ u_n et décroissante si u_{n+1} ≤ u_n pour tout n.
10. Appliquer la méthode aux exemples : u_{n+1} = u_n + 2 et v_n = 4n + 4 pour conclure que la suite est croissante.