Fiche de révision : Introduction aux Tests de Proportions

📋 Plan du Cours

1. Fluctuations d’échantillonnage
2. Intervalle de pari
3. Intervalle de confiance
4. Taille d’échantillon
5. Comparaison à une proportion théorique
6. Test de significativité

📖 1. Fluctuations d’échantillonnage

🔑 Notions clés & Définitions

• Composition de la population : Une population se décrit par une proportion p de sujets avec une caractéristique et q = 1 − p sans la caractéristique.
• Composition de l’échantillon : Un échantillon de taille n a une proportion observée po avec la caractéristique et qo = 1 − po sans la caractéristique.
• Fluctuations d’échantillonnage : Les fluctuations d’échantillonnage sont les variations possibles de po autour de p quand on répète le tirage d’échantillons.

📝 Points essentiels

• Po peut prendre toutes les valeurs entre 0 et 1, mais des écarts importants à p sont moins probables que des écarts faibles.
• La valeur exacte de po n’est pas prédictible, mais on peut calculer la probabilité qu’elle tombe dans un intervalle centré sur p.
• Sous les hypothèses du cours, la loi de po se traite avec une approximation normale.

📖 2. Intervalle de pari

🔑 Notions clés & Définitions

• Risque alpha : Le risque alpha est la probabilité que po tombe en dehors de l’intervalle de pari choisi autour de p.
• Intervalle de pari : Un intervalle de pari est l’intervalle centré sur p qui contient po avec la probabilité 1 − alpha.
• Écart réduit : L’écart réduit est la quantité (po − p) divisée par l’écart-type du pourcentage, qui suit une loi normale centrée réduite.

📝 Points essentiels

• Le cours définit un « intervalle de pari à (1 − α)% » et l’encadrement se fait autour de p.
• On utilise que (po − p)/σ suit une loi normale centrée réduite N(0,1) tabulée.
• La forme d’écart utilisée est ε = 1,645 pour α = 10% et ε = 1,227 pour α = 22% dans les exemples donnés.

📖 3. Intervalle de confiance

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle de confiance : Un intervalle de confiance à (1 − α)% donne un intervalle plausible pour le vrai paramètre p correspondant à l’échantillon observé.
• Écart-type du pourcentage : L’écart-type du pourcentage estimé est l’expression qui relie la dispersion de po à p, q et n.
• Interprétation à 95% : À 95%, l’intervalle peut être interprété soit comme couverture de 95% des échantillons, soit comme probabilité de contenir le vrai p.

📝 Points essentiels

• L’intervalle de confiance à (1 − α)% a la forme p̂ ± ε × (écart-type du pourcentage), avec ε lu via la loi normale centrée réduite tabulée.
• Le cours donne un exemple : pour p̂ = 0,674, q̂ = 0,326 et n = 13164, l’intervalle est [0,666 ; 0,682] à 95% (ε = 1,96).
• L’intervalle est plus étroit si alpha augmente et plus étroit si n augmente, sans dépendre de la taille de la population N.

📖 4. Taille d’échantillon

🔑 Notions clés & Définitions

• Précision e : La précision e correspond à la marge d’erreur maximale autour de p dans l’intervalle de pari/intervalle de confiance du pourcentage.
• Changement avec epsilon : Plus le nombre ε associé au risque choisi est grand, plus la taille n nécessaire augmente pour garder une précision e donnée.
• Prévision de n : La taille d’échantillon se calcule en anticipant p et q quand p n’est pas connu exactement.

📝 Points essentiels

• Le nombre de sujets nécessaire dépend de e et de ε, mais aussi de l’anticipation de p et q lorsque p est inconnu.
• Exemple : avec p = 0,48, q = 0,52, e = 0,01 et ε = 1,96 (erreur consentie de 5%), le cours trouve n = 9589 votants.
• Le cours souligne que l’estimation de p est un préalable pratique, via des données existantes ou un sondage pilote.

📖 5. Comparaison à une proportion théorique

🔑 Notions clés & Définitions

• Hypothèse nulle H0 : H0 affirme que la proportion observée est compatible avec la proportion théorique p, donc que l’écart observé relève des fluctuations.
• Hypothèse alternative H1 : H1 affirme que la proportion diffère de p dans un sens ou dans l’autre, au-delà de ce que feraient les fluctuations sous H0.
• Significativité (p-value) : La p-value est la probabilité, si H0 est vraie, d’observer un écart entre p et po au moins aussi grand que celui observé.

📝 Points essentiels

• Le test compare un ε calculé à une valeur seuil de référence, typiquement 1,96 pour un risque alpha souvent fixé à 5%.
• Règle du cours : H0 est rejetée si ε > 1,96 ou si p-value < 0,05, sinon H0 n’est pas rejetée.
• Exemples : pour p = 0,20, po = 0,17 et n = 200, ε = 1,06 et p-value ≈ 0,29 ; pour po = 0,27, ε = 2,47 et p-value est entre 0,01 et 0,02.

📖 6. Test de significativité

🔑 Notions clés & Définitions

• Statistique d’écart réduit ε : Le cours définit ε = |po − p| / sqrt(pq/n), utilisé pour quantifier l’écart entre proportion observée et proportion théorique.
• Risque alpha et seuil 1,96 : Le risque alpha détermine un seuil de rejet basé sur la loi normale centrée réduite, avec une référence de 1,96 quand alpha = 5%.
• Conditions d’application : Les calculs par approximation normale exigent un échantillon représentatif et des effectifs suffisants vérifiés aux bornes via np ≥ 5 et nq ≥ 5.

📝 Points essentiels

• Le cours relie la significativité à la table de l’écart réduit via ε, puis décide du rejet ou non de H0 en fonction du seuil (exemple seuil 1,96).
• Interprétation demandée : ne pas conclure une causalité à partir d’un test, même si H0 est rejetée.
• Dans l’exemple « Covid », si H0 n’est pas rejetée (ε = 1,06), le cours conclut qu’il n’y a pas de différence statistiquement significative avec 20% attendus.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre po et p : p est la proportion théorique dans la population, po est la proportion observée dans l’échantillon.
2. Inverser les décisions : dans le cours, H0 est rejetée quand ε est grand (par ex. ε > 1,96) ou quand la p-value est petite (< 0,05).
3. Mélanger intervalle de pari et intervalle de confiance : un intervalle de pari encadre po, un intervalle de confiance encadre p.
4. Oublier la symétrie : le cours rappelle que les intervalles construits autour de p sont symétriques, et que le risque se répartit de façon égale.
5. Appliquer la formule quand les conditions ne sont pas vérifiées : l’approximation normale du cours requiert np ≥ 5 et nq ≥ 5.
6. Conclure à tort sur la causalité : un test indique une différence statistique, pas l’effet causal d’un traitement.

✅ Checklist Examen

1. Identifier p, q = 1 − p, po, et qo = 1 − po à partir de l’énoncé.
2. Expliquer pourquoi po présente des fluctuations d’échantillonnage autour de p.
3. Construire un intervalle de pari centré sur p en utilisant le seuil ε correspondant au risque alpha choisi.
4. Relier (po − p)/écart-type à la loi normale centrée réduite N(0,1) tabulée.
5. Vérifier les conditions d’application : échantillon représentatif et np ≥ 5 et nq ≥ 5.
6. Calculer la valeur numérique d’un intervalle de confiance à partir de p̂ ± ε × (écart-type) avec ε = 1,96 pour 5% (selon le cours).
7. Interpréter un intervalle de confiance à 95% avec les deux formulations proposées dans le cours.
8. Calculer la taille d’échantillon n à partir de e, ε, et des valeurs anticipées de p et q quand p est inconnu.
9. Mettre en place H0 et H1 pour comparer une proportion observée à une proportion théorique p.
10. Calculer ε = |po − p| / sqrt(pq/n) puis déterminer si H0 est rejetée (ε > 1,96 ou p-value < 0,05).
11. Déterminer si une différence est statistiquement significative et formuler la conclusion sans causalité.