Fiche de révision : Les bornes et la convergence des suites

📋 Plan du Cours

1. Bornes supérieures et inférieures
2. Caractérisation bornes supérieures
3. Caractérisation bornes inférieures
4. Exemple ensemble [3,5]
5. Suites monotones et convergence

📖 1. Bornes supérieures et inférieures

🔑 Notions clés & Définitions

• Borne supérieure (sup(A)) : La plus petite des majorants d’un ensemble A non vide. C’est le plus petit nombre α tel que ∀a ∈ A, a ≤ α.
  Caractérisation : α = sup(A) ⇔ ∀ε > 0, ∃aε ∈ A : α - ε < aε ≤ α, et α n’est pas majorant strictement inférieur à lui-même.

• Majorant : Un nombre M ∈ ℝ tel que ∀a ∈ A, a ≤ M.
  Remarque : Si A est majoré, sup(A) existe.

• Borne inférieure (inf(A)) : La plus grande des minorants d’un ensemble A non vide. C’est le plus grand nombre β tel que ∀a ∈ A, β ≤ a.
  Caractérisation : β = inf(A) ⇔ ∀ε > 0, ∃aε ∈ A : β ≤ aε < β + ε, et β n’est pas minorant strictement supérieur à lui-même.

• Minorant : Un nombre m ∈ ℝ tel que ∀a ∈ A, m ≤ a.
  Remarque : Si A est minoré, inf(A) existe.

• Ensemble des majorants / minorants :

  • Majorants de A : {x ∈ ℝ | ∀a ∈ A, a ≤ x}
  • Minorants de A : {x ∈ ℝ | ∀a ∈ A, x ≤ a}

📝 Points essentiels

• La borne supérieure sup(A) est le plus petit majorant de A, et la borne inférieure inf(A) est le plus grand minorant de A.
• La caractérisation par ε permet de comprendre la limite : si α = sup(A), alors pour tout ε > 0, il existe un aε ∈ A tel que aε > α - ε, mais α n’est pas un majorant strict.
• Si A possède un maximum (max(A)), alors max(A) = sup(A).
• La même logique s’applique pour la borne inférieure et le minimum (min(A)).
• La notion de bornes est essentielle pour étudier la convergence de suites et la continuité.

💡 À retenir

Les bornes supérieures et inférieures permettent de décrire précisément les limites d’un ensemble, en identifiant ses extrémités possibles, même si l’ensemble n’a pas de maximum ou de minimum.

📖 2. Caractérisation bornes supérieures

🔑 Notions clés & Définitions

• Borne supérieure (sup(A)) : La plus petite des majorants d'un ensemble A. Si A est majoré, alors sup(A) existe et est unique.
• Majorant : Un réel M tel que ∀a ∈ A, a ≤ M.
• Caractérisation de sup(A) :
  • α = sup(A) si et seulement si :
    • α est un majorant de A
    • ∀ε > 0, ∃aε ∈ A : α - ε < aε ≤ α
    • α - ε n'est pas un majorant pour tout ε > 0.
• Propriété de la limite : Si α = sup(A), alors pour tout ε > 0, il existe un élément aε ∈ A tel que aε > α - ε.
• Relation avec max(A) : Si α ∈ A et α = sup(A), alors α est le maximum de A.

📝 Points essentiels

• La borne supérieure est le plus petit majorant, ce qui implique qu'il n'existe pas de majorant plus petit que sup(A).
• La caractérisation par ε permet de comprendre que pour tout ε > 0, on peut approcher sup(A) arbitrairement près avec des éléments de A.
• La propriété de limite est essentielle pour démontrer l'existence de sup(A) dans le cas de suites ou ensembles monotones.
• Si A possède un maximum, alors sup(A) = max(A).
• La borne supérieure peut ne pas appartenir à A, sauf si A possède un maximum.

💡 À retenir

La borne supérieure d’un ensemble est le plus petit majorant, caractérisé par sa capacité à être approchée arbitrairement près par des éléments de l’ensemble, même si elle n’appartient pas forcément à celui-ci.

📖 3. Caractérisation bornes inférieures

🔑 Notions clés & Définitions

• Borne supérieure (sup(A)) : Le plus petit des majorants d’un ensemble A, c’est-à-dire le plus petit nombre M tel que ∀a ∈ A, a ≤ M.
• Majorant : Un nombre M tel que ∀a ∈ A, a ≤ M.
• Borne inférieure (inf(A)) : Le plus grand des minorants d’un ensemble A, c’est-à-dire le plus grand nombre m tel que ∀a ∈ A, m ≤ a.
• Minorant : Un nombre m tel que ∀a ∈ A, m ≤ a.
• Caractérisation de la borne supérieure : α = sup(A) si et seulement si ∀a ∈ A, a ≤ α et ∀ε > 0, ∃a_ε ∈ A : α - ε < a_ε ≤ α.
• Caractérisation de la borne inférieure : β = inf(A) si et seulement si ∀a ∈ A, β ≤ a et ∀ε > 0, ∃a_ε ∈ A : β ≤ a_ε < β + ε.

📝 Points essentiels

• La borne inférieure est le plus grand minorant, c’est-à-dire le plus grand nombre qui reste inférieur ou égal à tous les éléments de A.
• La caractérisation de inf(A) repose sur la propriété que pour tout ε > 0, il existe un élément de A très proche de β, mais sans le dépasser.
• La borne inférieure peut appartenir à A (maximum) ou non, selon que A possède un maximum ou non.
• La relation entre bornes inférieure et supérieure est symétrique : si sup(A) est le plus petit majorant, inf(A) est le plus grand minorant.
• Exemple : pour A = ]3, 5], inf(A) = 3, sup(A) = 5.

💡 À retenir

La borne inférieure d’un ensemble est le plus grand minorant, caractérisée par sa proximité avec les éléments de l’ensemble, et peut ou non appartenir à l’ensemble selon sa nature.

📖 4. Exemple ensemble [3,5]

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble borné supérieur : Un ensemble $A$ est borné supérieur s'il existe un réel $M$ tel que pour tout $a \in A$, $a \leq M$.
• Borne supérieure (sup(A)) : La plus petite des bornes supérieures de $A$. Elle vérifie :
  $\alpha = \sup(A) \iff \alpha$ est un majorant de $A$ et tout majorant est supérieur ou égal à $\alpha$.
• Ensemble borné inférieur : Un ensemble $A$ est borné inférieur s'il existe un réel $m$ tel que pour tout $a \in A$, $a \geq m$.
• Borne inférieure (Inf(A)) : La plus grande des bornes inférieures de $A$. Elle vérifie :
  $\beta = \inf(A) \iff \beta$ est un minorant de $A$ et tout minorant est inférieur ou égal à $\beta$.
• Majorant : Un réel $M$ tel que $a \leq M$ pour tout $a \in A$.
• Minorant : Un réel $m$ tel que $m \leq a$ pour tout $a \in A$.

📝 Points essentiels

• Pour l'ensemble $A = ]3,5]$, les majorants sont tous les $x \geq 5$, donc $\sup(A) = 5$.
• La borne supérieure est le plus petit majorant, ici $5$, qui appartient à $A$, donc $\max(A) = 5$.
• La borne inférieure de $A$ est $3$, même si $3 \notin A$, car tout élément de $A$ est supérieur à 3, et aucun minorant supérieur à 3 n'existe.
• La caractérisation de la borne supérieure : pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $a_\varepsilon \in A$ tel que $\sup(A) - \varepsilon < a_\varepsilon \leq \sup(A)$.
• La caractérisation de la borne inférieure : pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $a_\varepsilon \in A$ tel que $\inf(A) \leq a_\varepsilon < \inf(A) + \varepsilon$.

💡 À retenir

La borne supérieure d’un ensemble est le plus petit majorant, et si cet ensemble possède un maximum, celui-ci est égal à la borne supérieure. La borne inférieure est le plus grand minorant, même si elle n’appartient pas forcément à l’ensemble.

📖 5. Suites monotones et convergence

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite monotone : Une suite $(u_n)$ est dite monotone croissante si $u_n \leq u_{n+1}$ pour tout $n$, et monotone décroissante si $u_n \geq u_{n+1}$ pour tout $n$.

• Convergence d'une suite : Une suite $(u_n)$ converge vers une limite $L$ si, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $N \in \mathbb{N}$ tel que pour tout $n \geq N$, $|u_n - L| < \varepsilon$.

• Borne supérieure (sup) : Si un ensemble $A \subset \mathbb{R}$ est majoré, la borne supérieure $\sup(A)$ est le plus petit majorant de $A$.

• Borne inférieure (inf) : Si un ensemble $A \subset \mathbb{R}$ est minoré, la borne inférieure $\inf(A)$ est le plus grand minorant de $A$.

• Théorème de convergence des suites monotones : Toute suite monotone et bornée converge. La limite est la borne supérieure si la suite est croissante, ou la borne inférieure si décroissante.

📝 Points essentiels

• Monotonie et convergence : Une suite monotone (croissante ou décroissante) qui est bornée converge vers sa borne limite (sup ou inf).

• Caractérisation des bornes :

  • $\sup(A)$ est le plus petit majorant de $A$, vérifié par :
    $\forall a \in A, a \leq \sup(A)$ et $\forall \varepsilon > 0, \exists a_\varepsilon \in A : \sup(A) - \varepsilon < a_\varepsilon \leq \sup(A)$.
  • $\inf(A)$ est le plus grand minorant, vérifié par :
    $\forall a \in A, \inf(A) \leq a$ et $\forall \varepsilon > 0, \exists a_\varepsilon \in A : \inf(A) \leq a_\varepsilon < \inf(A) + \varepsilon$.

• Exemple :
  Pour $A = ]3, 5]$,

  • Majorants : $\{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 5\}$
  • $\sup(A) = 5$ (max de $A$ car $5 \in A$).

💡 À retenir

Une suite monotone et bornée converge vers sa borne limite (sup ou inf), ce qui permet de déterminer la limite simplement à partir de la monotonie et de la borne.

📊 Tableaux de Synthèse

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre borne supérieure et maximum : la borne peut ne pas appartenir à l’ensemble.
2. Confondre borne inférieure et minimum : la borne peut ne pas appartenir à l’ensemble.
3. Oublier que sup(A) est le plus petit majorant, pas nécessairement dans A.
4. Penser que si une suite est monotone et bornée, elle converge toujours vers un élément de l’ensemble.
5. Confondre approche arbitraire (ε) pour la limite et la propriété d’être un majorant/minorant.
6. Croire qu’un ensemble fermé doit forcément contenir ses bornes.
7. Confondre majorant et minorant : ils ont des rôles opposés.

✅ Checklist Examen

• Vérifier si l’ensemble est borné et déterminer ses bornes supérieures et inférieures.
• Savoir caractériser une borne supérieure ou inférieure à l’aide de ε.
• Identifier si un ensemble possède un maximum ou un minimum.
• Définir la convergence d’une suite monotone et bornée.
• Appliquer la propriété que toute suite monotone bornée converge.
• Différencier entre borne et élément de l’ensemble.
• Utiliser la définition de la limite pour une suite donnée.
• Calculer la borne supérieure et inférieure d’un ensemble donné.
• Vérifier si une suite est monotone (croissante ou décroissante).
• Démontrer la convergence d’une suite monotone en utilisant ses bornes.
• Rappeler que la borne supérieure (resp. inférieure) est le plus petit majorant (resp. minorant).
• Vérifier si une suite ou un ensemble est borné avant de conclure à la convergence.
• Vérifier si l’ensemble possède un maximum ou un minimum pour simplifier l’analyse.