Fiche de révision : Les fondamentaux de la dérivation en analyse

📋 Plan du Cours

1. Dérivées fonctions usuelles
2. Calcul dérivée en un point
3. Formules de dérivation
4. Opérations sur dérivées
5. Dérivée composée
6. Fonction valeur absolue
7. Dérivabilité en 0
8. Dérivée fonctions composées
9. Fonction inverse
10. Dérivation fonctions rationnelles

📖 1. Dérivées fonctions usuelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction dérivée (voir chapitre 10) : Fonction qui à chaque point d’un intervalle associe le taux de variation instantané de la fonction initiale en ce point. Si f est dérivable en x, sa dérivée f'(x) est le nombre limite du taux d’accroissement lorsque h tend vers 0, soit :
  $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

• Dérivée de f(x) = x² (exemple du chapitre 10) : La fonction dérivée de f(x) = x² est f'(x) = 2x.
  Démonstration :
  $\lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2 - x^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h} = \lim_{h \to 0} (2x + h) = 2x$

• Fonction dérivée f' (notée aussi f prime) : Fonction définie sur ℝ, associant à chaque x la dérivée de f en x.
  Exemple : Pour f(x) = x^4, on a f'(x) = 4x^3.

📝 Points essentiels

• La dérivée d’une fonction f en un point x, si elle existe, est le coefficient directeur de la tangente à la courbe en ce point.
• La dérivée d’une fonction usuelle peut souvent être calculée à partir de formules de dérivation (voir chapitre 10).
• La fonction dérivée f' est définie sur l’ensemble du domaine où f est dérivable. Par exemple, pour f(x) = 1/x^5, la dérivée est f'(x) = -5/x^6, définie sur ℝ{0}.
• La dérivée de f(x) = √x (racine carrée) n’est pas définie en 0, car la limite du taux d’accroissement en 0 tend vers +∞, ce qui montre la non-dérivabilité en ce point.
• La dérivée de f(x) = 1/x est donnée par f'(x) = -1/x², démontrée en utilisant la limite du taux d’accroissement.

💡 À retenir

La dérivée d’une fonction usuelle est une nouvelle fonction qui mesure le taux de variation instantané de la fonction initiale, et elle peut être calculée à partir de formules spécifiques ou par limite. La dérivabilité dépend du comportement local de la fonction, notamment en points comme 0 pour √x ou 1/x, où elle peut ne pas exister.

📖 2. Calcul dérivée en un point

🔑 Notions clés & Définitions

Nombre dérivé en un point (limite du taux d’accroissement) :
Pour une fonction $f$ définie sur un intervalle contenant $a$, le nombre dérivé en $a$ est la limite, si elle existe, du taux d’accroissement lorsque $h$ tend vers 0 :
$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$
AUTEUR (source) : cette limite, appelée limite du taux d’accroissement, définit le nombre dérivé en un point.

Calcul du nombre dérivé en $a$ pour $f(x)=x^2$ :
Exemple détaillé :
$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{(a+h)^2 - a^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{a^2 + 2a h + h^2 - a^2}{h} = \lim_{h \to 0} (2a + h) = 2a$
Ce calcul montre que le nombre dérivé en $a$ est $2a$.

Interprétation géométrique :
Le nombre dérivé en un point $a$ représente la pente de la tangente à la courbe en ce point. Il indique la vitesse de variation instantanée de la fonction en $a$. Si $f'(a)$ existe, la courbe admet une tangente en $a$ dont la pente est $f'(a)$.

📝 Points essentiels

• La limite du taux d’accroissement en $a$ permet de définir la dérivée en ce point.
• La dérivée en un point $a$ est la pente de la tangente à la courbe en $a$.
• Pour $f(x)=x^2$, le calcul montre que $f'(a)=2a$, ce qui illustre la méthode du calcul de la limite du taux d’accroissement.
• La dérivabilité en $a$ implique que cette limite existe et est finie.
• La dérivée en un point peut être calculée à partir de la limite du taux d’accroissement, même si la fonction n’est pas dérivable en un autre point (exemple : fonction valeur absolue en 0).

💡 À retenir

Le calcul du nombre dérivé en un point consiste à déterminer la limite du taux d’accroissement lorsque l’écart $h$ tend vers 0, ce qui donne la pente de la tangente à la courbe en ce point. La méthode est illustrée par l’exemple de $f(x)=x^2$, dont la dérivée en $a$ est $2a$.

📖 3. Formules de dérivation

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction dérivée (d’après Chapitre 10): Fonction qui associe à chaque point d’un intervalle le taux de variation instantané de la fonction initiale en ce point, notée f'.
• Dérivée d’une puissance: Si f(x)=x^n avec n ∈ ℝ, alors f'(x)=n x^{n−1} (formule fondamentale pour les puissances).
• Dérivée de la racine carrée (exemple): Si f(x)=√x, alors f'(x)=1/(2√x) pour x>0, dérivée obtenue par composition (voir section 8).
• Dérivée de la fonction inverse (démonstration): Si f(x)=1/x, alors f'(x)=−1/x^2, valable pour x≠0 (voir section 9).
• Formule de dérivation du produit: Si u et v sont dérivables, alors (uv)'=u'v+uv' (démonstration au programme).
• Formule de dérivation de la somme: Si u et v sont dérivables, alors (u+v)'=u'+v' (propriété d’opération sur dérivées).

📝 Points essentiels

• La dérivée d’une puissance x^n (n réel) est donnée par f'(x)=n x^{n−1}. Par exemple, pour f(x)=x^4, on obtient f'(x)=4x^3.
• La dérivée de la racine carrée, f(x)=√x, est f'(x)=1/(2√x) pour x>0, obtenue par composition avec la fonction puissance (voir section 8).
• La dérivée de la fonction inverse, f(x)=1/x, se démontre en utilisant la limite du taux d’accroissement et donne f'(x)=−1/x^2 pour x≠0. La démonstration montre que la limite du taux de variation en x est bien cette expression.
• La dérivée du produit de deux fonctions u et v, toutes deux dérivables, est (uv)'=u'v+uv'. La démonstration repose sur la limite du taux d’accroissement du produit, en utilisant la linéarité de la limite.
• La dérivée de la somme u+v, avec u et v dérivables, est (u+v)'=u'+v'.
• La dérivée d’une fonction composée, par exemple f(ax+b), est f'(ax+b)=a f'(ax+b), selon la règle de la dérivée d’une composée (voir section 8).

💡 À retenir

Les formules de dérivation des fonctions usuelles, telles que puissances, racines, inverse, ainsi que les règles pour les opérations (somme, produit), permettent de calculer rapidement les dérivées en utilisant des règles simples et des démonstrations basées sur la limite du taux d’accroissement. La dérivée de la fonction inverse est démontrée explicitement, illustrant la méthode de limite.

📖 4. Opérations sur dérivées

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme de dérivées : Si u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I, alors leur somme u + v est dérivable sur I, et la dérivée est la somme des dérivées :
  $(u + v)' = u' + v'$
  (propriété fondamentale de la dérivation, conforme à la linéarité de l'opérateur dérivée).

• Produit de dérivées : Si u et v sont deux fonctions dérivables sur I, alors leur produit u·v est dérivable sur I, et la formule de la dérivée du produit est :
  $(u v)' = u' v + u v'$
  (démonstration détaillée dans le contenu source, démontrée pour u(x)=x et v(x)=x² par limite).

• Quotient de dérivées : Si u et v sont deux fonctions dérivables sur I, avec v ne s'annulant pas sur I, alors leur quotient u/v est dérivable, et la formule est :
  $(\frac{u}{v})' = \frac{u' v - u v'}{v^2}$
  (formule dérivée du quotient, utilisée pour fonctions rationnelles).

• Constante multiplicative : Si u est dérivable sur I et k est une constante, alors la fonction k·u est dérivable, et :
  $(k u)' = k u'$
  (propriété de linéarité, simple à appliquer).

• Démonstration de la formule du produit : La formule $(uv)'=u'v+uv'$ est démontrée en utilisant la limite du taux d’accroissement, en décomposant la différence de produit :
  $(u(a+h)v(a+h) - u(a)v(a))/h$
  et en utilisant la limite de chaque terme, en se référant à la dérivabilité de u et v (voir exemple avec u(x)=x et v(x)=x²).

📝 Points essentiels

• La dérivée d’une somme de fonctions est la somme de leurs dérivées, ce qui reflète la linéarité de l’opérateur dérivée.
• La formule du produit $(uv)'=u'v+uv'$ est fondamentale pour différencier des produits de fonctions, notamment dans le cas de fonctions polynomiales et rationnelles.
• La dérivée du quotient, $(u/v)' = (u'v - uv')/v^2$, nécessite que v ne s’annule pas, ce qui est crucial pour l’application en fonctions rationnelles.
• La constante k peut être sortie de la dérivation, ce qui simplifie le calcul de dérivées de fonctions multipliées par une constante.
• La démonstration du produit repose sur la limite du taux d’accroissement, illustrant la rigueur de la formule.

💡 À retenir

Les opérations sur les dérivées (somme, produit, quotient, constante) suivent des règles simples et fondamentales, permettant de différencier efficacement des fonctions composées ou multipliées, avec une démonstration rigoureuse basée sur la limite du taux d’accroissement. La formule du produit est essentielle pour différencier des fonctions polynomiales et rationnelles.

📖 5. Dérivée composée

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction composée : Une fonction obtenue en appliquant une fonction à une autre, notée (f ∘ g)(x) = f(g(x)). La dérivabilité de la composée dépend de celle de f et g (voir section 8).

• Dérivée de la composée f(ax + b) : Si f est dérivable en x, alors la dérivée de la fonction composée f(ax + b) est donnée par la formule f'(ax + b) = a f'(ax + b), où a et b sont des constantes (formule spécifique de la dérivée d'une composée affine).

• Exemple de dérivée par composition : Pour f(x) = √(5x - 4), on peut écrire f(x) = (g ∘ h)(x) avec h(x) = 5x - 4 et g(u) = √u. La dérivée s'obtient en utilisant la formule f'(x) = g'(h(x)) * h'(x).

• Notion de dérivabilité d'une fonction composée : La fonction composée est dérivable si f et g le sont en leurs points respectifs, et la dérivée se calcule via la règle de la chaîne.

📝 Points essentiels

• La formule f'(ax + b) = a f'(ax + b) résulte de la règle de la chaîne appliquée à une fonction affine composée avec une autre fonction dérivable. Elle montre que la dérivée d'une fonction composée affine est proportionnelle à la dérivée de la fonction intérieure, avec le facteur a.

• Lorsqu’on dérive une fonction comme f(x) = √(5x - 4), on identifie la partie intérieure (5x - 4) et la fonction extérieure (racine carrée). La dérivée est calculée en utilisant la dérivée de la racine (f'(u) = 1/(2√u)) et la dérivée de l’intérieur (5).

• La dérivabilité d’une fonction composée dépend de la dérivabilité de chaque composante. La règle de la chaîne permet de calculer la dérivée en multipliant la dérivée de la fonction extérieure évaluée en la fonction intérieure par la dérivée de cette dernière.

• Exemple : Si f(x) = √(5x - 4), alors f'(x) = (1 / (2√(5x - 4))) * 5 = 5 / (2√(5x - 4)).

• La formule de dérivée de la composée est essentielle pour traiter des fonctions complexes, notamment celles impliquant des racines, des exponentielles ou des fonctions trigonométriques.

💡 À retenir

La dérivée d'une fonction composée affine f(ax + b) se calcule en multipliant la dérivée de la fonction extérieure par le coefficient a de la fonction intérieure, illustrant la règle de la chaîne dans le contexte des fonctions composées.

📖 6. Fonction valeur absolue

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue d’un nombre : La valeur absolue d’un nombre $A$, notée $|A|$, est égale à $A$ si $A \geq 0$, et à $-A$ si $A < 0$.
  Auteur (source) : définition classique en mathématiques.

• Fonction valeur absolue : La fonction $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par $f(x) = |x|$.
  Propriété : Elle est strictement décroissante sur $\,]-\infty; 0]$ et strictement croissante sur $[0; +\infty[$.
  Auteur (source) : propriétés démontrées par la représentation par morceaux.

• Expression par morceaux :
  $f(x) = \begin{cases} -x, & \text{si } x < 0 \\ x, & \text{si } x \geq 0 \end{cases}$ Auteur (source) : formulation standard de la fonction valeur absolue.

📝 Points essentiels

• La valeur absolue d’un nombre $A$ est $A$ si $A \geq 0$, et $-A$ si $A < 0$. Elle permet de mesurer la distance à zéro, indépendamment du signe.
• La fonction $f(x) = |x|$ est définie par expression par morceaux : $f(x) = -x$ pour $x<0$, et $f(x) = x$ pour $x \geq 0$.
• Sur $\,]-\infty; 0]$, la fonction est décroissante, tandis que sur $[0; +\infty[$, elle est croissante.
• La courbe de $f(x) = |x|$ est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
• La fonction n’est pas dérivable en 0, car la limite du taux de variation dépend du signe de $h$ :
  • Pour $h > 0$, $\frac{|h|}{h} = 1$.
  • Pour $h < 0$, $\frac{|h|}{h} = -1$.
    La limite n’existe pas en 0, donc $f$ n’est pas dérivable en 0.
• En revanche, $f$ est dérivable en tout autre point $x \neq 0$.

💡 À retenir

La fonction valeur absolue est une fonction par morceaux, croissante ou décroissante selon l’intervalle, mais non dérivable en 0 à cause de la discontinuité du taux de variation.

📖 7. Dérivabilité en 0

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivabilité en un point : Une fonction $f$ est dérivable en un point $a$ si le taux de variation de $f$ en ce point, défini par la limite $\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$, existe (voir section 2).
• Taux de variation en 0 : Rapport $\frac{f(h) - f(0)}{h}$ lorsque $h$ tend vers 0, permettant d’étudier la pente de la tangente en ce point (voir section 2).
• Limite infinie : Lorsqu’un taux de variation tend vers $\pm \infty$, cela indique une absence de dérivabilité en ce point, souvent associé à une tangente verticale (voir section 10).
• Fonction racine carrée en 0 : $f(x) = \sqrt{x}$, définie sur $[0, +\infty[$, dont le taux de variation en 0 est $\lim_{h \to 0^+} \frac{\sqrt{h}}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{1}{\sqrt{h}} = +\infty$ (voir section 10).
• Auteur : La démonstration de la non dérivabilité de $\sqrt{x}$ en 0 par limite infinie est une illustration classique du concept de tangente verticale (voir chapitre 10).

📝 Points essentiels

• La fonction racine carrée $f(x) = \sqrt{x}$ est définie sur $[0, +\infty[$.
• En calculant le taux de variation en 0 :
  • Pour $h > 0$, $\frac{\sqrt{h} - 0}{h} = \frac{1}{\sqrt{h}}$, qui tend vers $+\infty$ lorsque $h \to 0^+$.
  • Pour $h < 0$, la valeur $\sqrt{h}$ n’est pas définie, donc la limite à gauche n’existe pas.
• La limite du taux de variation en 0 est donc infinie, ce qui indique que la fonction n’est pas dérivable en 0.
• Géométriquement, cela correspond à une tangente verticale en 0, ce qui explique l’absence de dérivabilité en ce point.
• La limite infinie du taux de variation en 0 est une situation particulière qui montre que la courbe admet une tangente verticale, une exception à la dérivabilité classique.
• La démonstration de cette non dérivabilité est conforme à la définition de la dérivabilité (voir section 2) et illustre la limite infinie comme critère de non dérivabilité.

💡 À retenir

La fonction racine carrée n’est pas dérivable en 0 car le taux de variation tend vers l’infini, ce qui correspond à une tangente verticale, illustrant que la dérivabilité peut échouer en raison d’un comportement asymptotique.

📖 8. Dérivée fonctions composées

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction composée : Si $f$ et $g$ sont deux fonctions, leur composition $f \circ g$ est définie par $(f \circ g)(x) = f(g(x))$. AUTEUR (date) : concept fondamental en analyse, utilisé pour étudier la dérivabilité de fonctions complexes.

• Dérivée d'une fonction composée : Si $f$ est dérivable en $g(x)$ et $g$ est dérivable en $x$, alors la dérivée de la composée $f(g(x))$ est donnée par la formule de la chaîne : $(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \times g'(x)$. AUTEUR (date) : principe clé de la différentiation en analyse.

• Lien avec la dérivée de la composée $f(ax + b)$ : La dérivée de $f(ax + b)$ est $f'(ax + b) \times a$, où $a$ et $b$ sont des constantes. Ce résultat découle directement de la formule de la chaîne, en considérant $g(x) = ax + b$. AUTEUR (date) : application spécifique du théorème de la chaîne.

• Application aux fonctions usuelles composées : La dérivée de fonctions composées telles que $\sqrt{5x - 4}$ ou $(3x^2 + 4x)(5x - 1)$ se calcule en utilisant la formule de la chaîne et les règles de dérivation des opérations (somme, produit). AUTEUR (date) : méthode systématique en calcul différentiel.

📝 Points essentiels

• La dérivée d'une fonction composée $f(g(x))$ s'obtient en multipliant la dérivée de $f$ évaluée en $g(x)$ par la dérivée de $g$ en $x$, selon la formule $(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \times g'(x)$. Ce principe, appelé théorème de la chaîne, est fondamental pour différencier des fonctions complexes.

• Pour une fonction de la forme $f(ax + b)$, la dérivée est $f'(ax + b) \times a$, ce qui montre l'effet de la transformation affine sur la dérivée.

• Lorsqu'on compose une fonction dérivable avec une fonction affine, la dérivabilité est conservée, et la dérivée se calcule facilement via la formule de la chaîne.

• La différentiabilité d'une fonction composée dépend de la différentiabilité de ses composantes. Si $f$ et $g$ sont dérivables, alors $f \circ g$ l'est aussi.

• La méthode de différentiation des fonctions composées est essentielle pour analyser la croissance, la concavité, ou encore l'optimisation de fonctions complexes.

💡 À retenir

La dérivée d'une fonction composée se calcule en multipliant la dérivée de la fonction extérieure évaluée en la fonction intérieure par la dérivée de cette dernière, selon la formule de la chaîne. Ce principe permet de différencier efficacement des fonctions complexes en décomposant leur structure.

📖 9. Fonction inverse

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction inverse : Fonction $f$ définie sur un domaine $D$ où chaque valeur $f(x)$ correspond à une unique valeur $x$, et réciproquement, telle que $f^{-1}(f(x))=x$ pour tout $x \in D$.
• Domaine de définition : Ensemble des valeurs pour lesquelles la fonction est définie et dérivable. Pour la fonction inverse $f(x)=1/x$, le domaine est $\mathbb{R} \setminus \{0\}$.
• Dérivabilité sur $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ : La fonction $f(x)=1/x$ est dérivable pour tout $x \neq 0$, car la limite du taux d’accroissement existe en chaque point de son domaine.
• Formule explicite de la dérivée : Pour $f(x)=1/x$, la dérivée est donnée par $f'(x)=-1/x^2$.
• Théorème (démonstration) : La dérivée de $f(x)=1/x$ se démontre en utilisant la limite du taux d’accroissement :
  $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x+h} - \frac{1}{x}}{h} = -\frac{1}{x^2}$ (voir Chapitre 10, démonstration spécifique).

📝 Points essentiels

• La fonction inverse $f(x)=1/x$ est définie sur $\mathbb{R} \setminus \{0\}$.
• Elle est dérivable sur son domaine, c’est-à-dire pour tout $x \neq 0$.
• La formule de la dérivée est $f'(x) = -1/x^2$, ce qui indique que la pente de la tangente en un point $x$ est négative et décroît rapidement lorsque $x$ tend vers 0.
• La démonstration de cette dérivée repose sur la limite du taux d’accroissement, en utilisant la propriété des fonctions rationnelles.
• La fonction inverse possède une asymptote verticale en $x=0$, ce qui explique la non-dérivabilité en ce point (limite infinie du taux de variation).
• La dérivée est négative sur $\mathbb{R} \setminus \{0\}$, ce qui signifie que $f$ est décroissante sur chaque intervalle $(-\infty, 0)$ et $(0, +\infty)$.

💡 À retenir

La fonction inverse $f(x)=1/x$ est dérivable sur \’ensemble $\mathbb{R} \setminus \{0\}$, avec une dérivée explicite $f'(x)=-1/x^2$, illustrant une décroissance rapide et une asymptote verticale en 0.

📖 10. Dérivation fonctions rationnelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivation d'une fonction rationnelle par quotient de polynômes : méthode consistant à dériver une fonction rationnelle $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$, où $P$ et $Q$ sont des polynômes, en utilisant la formule du quotient. AUTEUR (date) : cette méthode repose sur la formule du quotient de dérivées, $(u/v)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

• Application de la formule du quotient : pour une fonction rationnelle $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$, la dérivée est donnée par $f'(x) = \frac{P'(x)Q(x) - P(x)Q'(x)}{Q(x)^2}$. Cette formule permet de calculer la dérivée en exprimant $P$ et $Q$ et leurs dérivées respectives.

• Exemples concrets de dérivation : dérivation de fonctions rationnelles telles que $f(x) = \frac{3x^2 + 2}{x - 1}$ ou $f(x) = \frac{x^3 - 4x + 1}{x^2 + 1}$, en appliquant la formule du quotient pour obtenir leur dérivée explicite.

📝 Points essentiels

• La dérivation d'une fonction rationnelle $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ repose sur la formule du quotient :
  $(u/v)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ où $u(x) = P(x)$ et $v(x) = Q(x)$, deux polynômes dérivables.

• La dérivée de $f(x)$ s'obtient en calculant $P'(x)$ et $Q'(x)$, puis en appliquant la formule du quotient. La dérivée est définie sur l'ensemble où $Q(x) \neq 0$.

• Lors de la dérivation, il est crucial de vérifier que le dénominateur $Q(x)^2$ ne s'annule pas, afin d'assurer la dérivabilité.

• Exemple : pour $f(x) = \frac{2x^3 - x}{x^2 + 1}$, on dérive $P(x) = 2x^3 - x$ et $Q(x) = x^2 + 1$, puis on applique la formule pour obtenir $f'(x)$.

• La dérivation des fonctions rationnelles permet d'étudier leur croissance, leurs extrema, et leur comportement asymptotique.

💡 À retenir

La dérivation d'une fonction rationnelle se réalise en utilisant la formule du quotient de dérivées, en dérivant séparément le numérateur et le dénominateur, puis en combinant ces résultats selon la formule. Cette méthode est essentielle pour analyser le comportement local et global des fonctions rationnelles.

📊 Tableau de Synthèse 1 : Principales Formules de Dérivation

📊 Tableau de Synthèse 2 : Opérations et Règles de Dérivation

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confusion entre limite du taux d’accroissement et dérivée : La limite doit être calculée en $h \to 0$, pas pour une valeur fixe.
2. Erreur sur la dérivée en 0 pour $\sqrt{x}$ : La dérivée n’existe pas en 0, car la limite tend vers +∞.
3. Faux faux-amis : Confondre la dérivée d’une fonction avec sa valeur ou sa limite en un point.
4. Oublier la condition de dérivabilité : La dérivée n’existe pas si la limite du taux d’accroissement ne se stabilise pas.
5. Erreur dans la formule du produit : Confondre avec la dérivée de la somme ou du quotient.
6. Mauvaise application de la règle de la chaîne : Ne pas multiplier par $g'(x)$ lors de la dérivation composée.
7. Confusion entre dérivée d’une fonction et dérivée d’une expression : Par exemple, erreur sur la dérivée de $x^n$ pour $n$ non entier.
8. Erreur sur la dérivée de la fonction inverse : Oublier le signe négatif ou la formule exacte.
9. Dérivabilité en points singuliers : Ne pas vérifier si la limite du taux d’accroissement existe en points comme 0 ou $1/x$.
10. Erreur dans le calcul de dérivée de fonctions rationnelles : Confondre avec la dérivée de fonctions polynomiales.

✅ Checklist d’Examen (avec auteurs et concepts clés)

1. Connaître la définition de la dérivée comme limite du taux d’accroissement, selon le chapitre 10.
2. Savoir calculer la dérivée de $x^n$ en utilisant la formule $n x^{n-1}$.
3. Maîtriser la dérivée de la racine carrée $\sqrt{x}$ et comprendre son lien avec la composition.
4. Être capable de dériver la fonction inverse $1/x$ en utilisant la limite du taux d’accroissement.
5. Appliquer la formule du produit $(u v)'= u' v + u v'$ pour des fonctions dérivables.
6. Appliquer la formule de la somme $(u + v)'= u' + v'$.
7. Connaître la règle de la chaîne pour la dérivée d’une composition $f(g(x))$.
8. Savoir différencier une fonction composée de la forme $f(ax + b)$, en utilisant la règle de la chaîne.
9. Identifier si une fonction est dérivable en un point donné, notamment en 0 ou en points singuliers.
10. Savoir calculer la dérivée d’une fonction rationnelle en utilisant la formule du quotient.
11. Vérifier la dérivabilité en utilisant la limite du taux d’accroissement, en particulier pour les fonctions avec points singuliers.
12. Connaître la propriété de linéarité de la dérivée pour la somme et la constante multiplicative.

Dernier item : Vérifier que la limite du taux d’accroissement en un point existe et est finie pour assurer la dérivabilité.