Fiche de révision : Les fondamentaux des fonctions et leur représentation

📋 Plan du Cours

1. Fonction, image et antécédent
2. Trouver un antécédent sur un graphique
3. Représentation graphique d’une fonction
4. Lire un graphique et tableau de valeurs
5. Variations d’une fonction
6. Maximum, minimum et signe

📖 1. Fonction, image et antécédent

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction : Une fonction est une relation qui associe à chaque nombre x un unique nombre y.
• Variable x : La variable x est l’entrée de la fonction, celle qu’on remplace par une valeur pour calculer le résultat.
• Image f(x) : L’image f(x) est le nombre obtenu quand on remplace x par une valeur dans la fonction.
• Antécédent : L’antécédent est la valeur de x qui permet d’obtenir une image donnée.

📝 Points essentiels

• L’écriture y=f(x) indique que f associe à x une image unique y.
• Si f(x)=2x+3, alors f(1)=5 et f(4)=11, ce sont des images.
• Pour f(x)=x^2, l’équation x^2=16 donne deux antécédents, x=4 ou x=-4.
• Les antécédents de 16 sont les valeurs de x dont l’image vaut 16.

💡 Astuce mémo

Image = résultat, Antécédent = entrée qui mène au résultat.

📖 2. Trouver un antécédent sur un graphique

🔑 Notions clés & Définitions

• Axe vertical ordonnées : Les ordonnées servent à repérer les valeurs de y sur le graphique pour viser une image donnée.
• Axe horizontal abscisses : Les abscisses servent à lire les valeurs de x correspondant aux points où la courbe atteint une valeur de y.
• Antécédent graphique : Un antécédent graphique est la ou les valeurs de x lues quand la courbe passe par une hauteur y donnée.

📝 Points essentiels

• Pour trouver les antécédents, on repère d’abord la valeur de l’image sur l’axe vertical.
• On trace mentalement une horizontale à la hauteur y pour repérer les points d’intersection avec la courbe.
• Après intersection, on redescend verticalement jusqu’à l’axe des abscisses pour lire les x.
• Dans l’exemple, la droite horizontale y=4 coupe la courbe en x=-2 et x=2, donc 4 a deux antécédents.

💡 Astuce mémo

Horizontale = hauteur (y), verticale = lecture (x).

📖 3. Représentation graphique d’une fonction

🔑 Notions clés & Définitions

• Courbe : La courbe est la représentation graphique d’une fonction, composée de points de coordonnées (x ; f(x)).
• Point (x ; f(x)) : Un point du graphique associe chaque x à son image f(x) sous forme de coordonnées.
• Table de points : Une table de points regroupe des couples (x ; f(x)) qui, lorsqu’ils sont placés, forment la courbe.

📝 Points essentiels

• Chaque point de la courbe a pour coordonnées (x ; f(x)).
• Pour f(x)=x+1, le point d’abscisse 0 a pour ordonnée 1, car f(0)=1.
• Pour f(x)=x+1, les points (1 ; 2) et (2 ; 3) montrent une progression régulière des images.
• Dans l’exemple, les points de f(x)=x+1 sont alignés et forment une droite.

💡 Astuce mémo

Un point = un x placé avec son image f(x).

📖 4. Lire un graphique et tableau de valeurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Image sur un graphique : Lire l’image sur un graphique consiste à partir d’une abscisse x et à lire la hauteur y atteinte sur la courbe.
• Antécédent sur un graphique : Lire un antécédent sur un graphique consiste à partir d’une valeur y puis à retrouver la ou les abscisses x correspondantes.
• Tableau de valeurs : Un tableau de valeurs liste plusieurs x et leurs images f(x) pour faciliter la lecture sans tracer.
• Série d’images : Une série d’images est l’ensemble des valeurs f(x) fournies par un tableau pour plusieurs x.

📝 Points essentiels

• Pour calculer f(2) sur un graphique, on part de 2 sur l’axe des abscisses, on va vers la courbe puis on lit y.
• Pour trouver l’antécédent de 5, on part de 5 sur l’axe vertical, on va horizontalement jusqu’à la courbe puis on lit l’abscisse.
• Pour f(x)=2x-1, le tableau donne f(-1)=-3, f(0)=-1, f(1)=1 et f(2)=3.
• Dans f(x)=2x-1, les images du tableau correspondent aux x listés ligne par ligne.

💡 Astuce mémo

Graphique : x→montée→y pour l’image, y→horizontal→x pour l’antécédent.

📖 5. Variations d’une fonction

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction croissante : Une fonction est croissante quand, en augmentant x, ses images f(x) augmentent.
• Fonction décroissante : Une fonction est décroissante quand, en augmentant x, ses images f(x) diminuent.
• Fonction constante : Une fonction est constante quand toutes ses images f(x) restent identiques.

📝 Points essentiels

• Croissante : quand x augmente, f(x) augmente et le graphique monte (↗) dans l’exemple donné.
• Décroissante : quand x augmente, f(x) diminue et le graphique descend (↘) dans l’exemple donné.
• Constante : les images restent identiques et le graphique est représenté par une ligne horizontale (→) dans l’exemple donné.

💡 Astuce mémo

↗ croissante, ↘ décroissante, → constante (sens du tracé).

📖 6. Maximum, minimum et signe

🔑 Notions clés & Définitions

• Maximum : Le maximum est la plus grande valeur atteinte par la fonction sur le contexte étudié.
• Minimum : Le minimum est la plus petite valeur atteinte par la fonction sur le contexte étudié.
• Racine ou zéro : Une racine ou un zéro est une valeur de x pour laquelle la fonction vaut 0 et où la courbe coupe l’axe horizontal.
• Signe de f(x) : Le signe de f(x) indique si la courbe est positive, négative ou nulle par rapport à l’axe horizontal.

📝 Points essentiels

• Le maximum correspond à la plus grande valeur de f(x) et il est atteint pour l’abscisse du point le plus haut.
• Dans l’exemple, le maximum vaut 8 et il est atteint pour x=2.
• Le minimum correspond à la plus petite valeur de f(x) et il est atteint pour l’abscisse du point le plus bas.
• Dans l’exemple, le minimum vaut -4 et il est atteint pour x=0.
• Le signe dépend de la position par rapport à l’axe horizontal : au-dessus positif, en dessous négatif, sur l’axe nul.

💡 Astuce mémo

Haut = maximum, bas = minimum, axe = zéro ; au-dessus positif, en dessous négatif.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre image et antécédent : l’image est un y obtenu après remplacement de x, tandis que l’antécédent est la valeur de x qui produit un y donné.
2. Lire un antécédent en partant de x alors qu’il faut partir de la valeur y sur l’axe vertical pour retrouver les abscisses.
3. Interpréter un tableau de valeurs à l’envers : les images correspondent à f(x), donc à chaque x doit être associé le bon y du tableau.
4. Croire qu’une fonction constante varie : si toutes les valeurs f(x) sont identiques, la fonction est constante malgré un changement d’abscisse.
5. Chercher des racines comme des maxima ou minima : une racine est liée au signe f(x)=0, pas au point le plus haut ou le plus bas.
6. Oublier que la fonction peut avoir plusieurs antécédents : certains y (comme 16 pour x^2) correspondent à deux valeurs de x.

✅ Checklist Examen

1. Écrire correctement y=f(x) et identifier x comme variable et f(x) comme image.
2. Calculer une image à partir d’une formule, par exemple déterminer f(1) et f(4) pour f(x)=2x+3.
3. Résoudre pour trouver des antécédents à partir d’une équation, par exemple pour f(x)=x^2 retrouver les antécédents de 16.
4. Sur un graphique, trouver les antécédents d’une valeur y en traçant une horizontale et en lisant les abscisses d’intersection.
5. Sur un graphique, trouver l’image d’une abscisse x en montant jusqu’à la courbe puis en lisant la valeur y.
6. Utiliser un tableau de valeurs pour associer chaque x à sa valeur f(x) sans tracer.
7. Passer d’une lecture de graphique à une lecture d’antécédent en échangeant la logique des axes (x→y pour image, y→x pour antécédent).
8. Déterminer si une fonction est croissante, décroissante ou constante à partir de l’évolution des f(x) quand x augmente.
9. Repérer le maximum comme la plus grande valeur atteinte et indiquer l’abscisse correspondante.
10. Repérer le minimum comme la plus petite valeur atteinte et indiquer l’abscisse correspondante.
11. Déterminer le signe de la fonction en précisant si la courbe est au-dessus, en dessous ou sur l’axe horizontal.
12. Identifier les racines ou zéros comme les valeurs de x où f(x)=0 et où la courbe coupe l’axe des abscisses.