Fiche de révision : Les nombres réels et leur approximation

📋 Plan du Cours

1. Ensembles de nombres
2. Nombres décimaux
3. Nombres rationnels
4. Nombres réels et droite réelle
5. Intervalles réels
6. Distance et valeur absolue
7. Intervalles et valeur absolue
8. Approximations décimales
9. Algorithme de balayage

📖 1. Ensembles de nombres

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres décimaux : Les nombres décimaux sont les réels dont l’écriture comporte un nombre fini de chiffres après la virgule.
• Nombres rationnels : Les nombres rationnels sont les nombres qui s’écrivent comme une fraction de deux entiers relatifs, avec un dénominateur non nul.
• Nombres réels : Les nombres réels regroupent les rationnels et les irrationnels, formant l’ensemble noté $\mathbb{R}$.
• Droite des réels : La droite des réels est une représentation où chaque nombre réel correspond à un point unique, ordonné du plus petit au plus grand.

📝 Points essentiels

• Les décimaux, rationnels et réels forment une chaîne d’inclusion : tous les décimaux sont rationnels, et tous les rationnels font partie des réels.
• Un réel est associé de façon unique à un point sur la droite des réels, ce qui permet de comparer deux réels.
• La notation de l’ensemble des nombres réels est $\mathbb{R}$.
• Une portion de la droite des réels peut être décrite comme un intervalle réel.

💡 Astuce mémo

Décimal ⊂ Rationnel ⊂ Réel, et la droite sert à comparer.

📖 2. Nombres décimaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Partie décimale : La partie décimale désigne les chiffres situés après la virgule dans l’écriture d’un nombre décimal.
• Nombre décimal : Un nombre est décimal s’il existe des entiers relatifs $p$ et $k$ et un entier naturel $n$ tels que $x=\dfrac{10p}{10^n}$, ce qui revient à dire que l’écriture a une partie décimale finie.
• Ensemble des entiers décimaux : L’ensemble des entiers décimaux est noté $\mathbb{D}$ dans le cours.
• Piège des écritures infinies : Quand l’écriture comporte une infinité de chiffres après la virgule, le nombre n’est pas décimal.

📝 Points essentiels

• Exemple de décimaux : $3{,}2$, $1{,}32$, $0{,}577215$, $3{,}1415926$, et $-0{,}6931$ sont des nombres décimaux.
• Un quotient de deux décimaux n’est pas en général décimal : par exemple $\frac{0{,}3}{0{,}5}=3{,}5$ est entier mais $\frac{1}{3}=0{,}3333\ldots$ n’est pas décimal car sa partie décimale est infinie.
• Caractérisation équivalente : un décimal devient un entier après multiplication par une puissance de $10$ (quand la partie décimale est finie).
• Le cours donne une démonstration par l’absurde pour montrer que $\frac{1}{3}$ n’est pas décimal.

💡 Astuce mémo

Fin après la virgule ⇒ on peut “tout faire disparaître” en multipliant par une puissance de 10.

📖 3. Nombres rationnels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre rationnel : Un nombre est rationnel s’il existe deux entiers relatifs $p$ et $q$ avec $q\neq 0$ tels que $x=\dfrac{p}{q}$.
• Notation $\mathbb{Q}$ : L’ensemble des nombres rationnels est noté $\mathbb{Q}$.
• Inclusion décimaux dans rationnels : Le cours indique que tout nombre décimal est aussi un nombre rationnel, donc $\mathbb{D}\subset \mathbb{Q}$.
• Division rationnelle : La division de rationnels reste rationnelle, à condition de ne pas diviser par $0$.

📝 Points essentiels

• Tout décimal est rationnel car il peut s’écrire comme un quotient d’un entier relatif par une puissance de $10$.
• L’ensemble des rationnels $\mathbb{Q}$ est stable pour addition, soustraction et multiplication : le résultat reste rationnel.
• L’ensemble des rationnels est stable pour la division de deux rationnels tant que le diviseur n’est pas $0$.
• Le cours rappelle explicitement le cas interdit : ne jamais diviser par $0$.

💡 Astuce mémo

Une fraction d’entiers (avec $q\neq 0$) ⇒ rationnel.

📖 4. Nombres réels et droite réelle

🔑 Notions clés & Définitions

• Irrationnels : Les irrationnels sont des nombres réels qui ne sont pas rationnels.
• Droite réelle : La droite des réels est un repère où chaque réel est placé de manière unique et comparable : $x\le y$ ou $y\le x$.

📝 Points essentiels

• Les irrationnels servent à compléter les rationnels pour obtenir l’ensemble des réels.
• L’ensemble des réels est noté $\mathbb{R}$.
• La comparaison de deux réels est totale sur la droite : l’un des deux inégalités $x\le y$ ou $y\le x$ est vraie.
• Le cours donne un exemple géométrique : dans un triangle rectangle isocèle de côtés $1$ et $1$, l’hypoténuse vaut $\sqrt{2}$ et est irrationnelle.

💡 Astuce mémo

Triangle $1-1-\sqrt2$ : géométrie ⇒ irrationnel.

📖 5. Intervalles réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle réel : Un intervalle réel est l’ensemble des nombres réels compris entre deux réels $a$ et $b$, appelés bornes.
• Intervalle fermé : Un intervalle fermé contient ses bornes : on utilise les crochets $[\,]$.
• Intervalle ouvert : Un intervalle ouvert n’inclut pas ses bornes : on utilise les parenthèses $(\,)$.
• Intervalle semi-ouvert : Un intervalle semi-ouvert inclut une borne et exclut l’autre, noté par un mixte de crochets et parenthèses.

📝 Points essentiels

• Notations données : $[a;b]$ correspond à $a\le x\le b$, $]a;b]$ à $a<x\le b$, $[a;b[$ à $a\le x<b$, et $]a;b[$ à $a<x<b$.
• Le cours illustre $]3;9]$ comme l’ensemble des réels strictement plus grands que $3$ et plus petits ou égaux à $9$.
• Pour les bornes infinies, le cours utilise : $[a; +\infty[$ pour $x\ge a$, $]a; +\infty[$ pour $x> a$, et $]-\infty; b]$ pour $x\le b$.
• Le cours précise une notation interdite : $[ -\infty,\ldots,+\infty]$ n’existe pas (et l’intervalle n’est pas “ouvert” à l’extérieur d’une borne finie).

💡 Astuce mémo

Crochet $=$borne incluse, parenthèse $=$borne exclue.

📖 6. Distance et valeur absolue

🔑 Notions clés & Définitions

• Distance $d(a,b)$ : La distance entre deux réels est la différence entre le plus grand et le plus petit des deux nombres.
• Valeur absolue : La valeur absolue d’un réel est la distance entre $0$ et ce réel.
• Symétrie de la distance : La distance ne dépend pas de l’ordre des arguments : $d(a,b)=d(b,a)$.

📝 Points essentiels

• La distance $d(a,b)$ se calcule comme $d(a,b)=|b-a|$.
• L’exemple du cours : $d(2,5)=5-2=3$.
• La valeur absolue est toujours positive : $|x|\ge 0$ pour tout réel $x$.
• Formule par cas donnée : $|x|=x$ si $x\ge 0$ et $|x|=-x$ si $x\le 0$.

💡 Astuce mémo

Distance = “écart” ; valeur absolue = “écart à 0”.

📖 7. Intervalles et valeur absolue

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle centré : Un intervalle centré en $a$ de rayon $r$ s’écrit $[a-r; a+r]$.
• Équivalence par valeur absolue : Appartenir à l’intervalle centré est équivalent à vérifier une inégalité sur la valeur absolue.
• Rayon : Le rayon $r$ mesure la distance maximale à $a$ autorisée pour appartenir à l’intervalle.

📝 Points essentiels

• Caractérisation : $x\in[a-r;a+r]$ si et seulement si $|x-a|\le r$.
• Interprétation si $r>0$ : $[a-r;a+r]$ regroupe les réels à une distance inférieure ou égale à $r$ de $a$.
• Le cours utilise $|x-\,a|\le 10^{-n}$ pour transformer une contrainte d’approximation en un encadrement $a\pm 10^{-n}$.
• Exemple : si $|\pi-3{,}14|\le 10^{-2}$ alors $\pi\in[3{,}14-10^{-2};3{,}14+10^{-2}]$, soit $\pi\in[3{,}13;3{,}15]$.

💡 Astuce mémo

Intervalle centré ⇔ valeur absolue bornée : $|x-a|\le r$.

📖 8. Approximations décimales

🔑 Notions clés & Définitions

• Approximation à $10^{-n}$ près : Une approximation à $10^{-n}$ près dit que l’écart entre le réel $x$ et un décimal $a$ est au plus $10^{-n}$.
• Encadrement d’un réel approché : Le cours relie une inégalité sur la valeur absolue à un intervalle réel de la forme $[a-10^{-n};a+10^{-n}]$.

📝 Points essentiels

• Définition : $a$ est une approximation de $x$ à $10^{-n}$ près si et seulement si $|x-a|\le 10^{-n}$.
• Exemple : $3{,}14$ est une approximation à $10^{-2}$ près de $\pi$ car $|\pi-3{,}14|\le 10^{-2}$.
• Le cours donne aussi une autre approximation : $3{,}139$ est une approximation à $10^{-2}$ près de $\pi$ car l’écart vaut environ $0{,}00259$.
• Piège : l’accord “à $10^{-n}$ près” ne garantit pas automatiquement un nombre précis de décimales justes : il correspond à un nombre de décimales supérieur ou égal à $n$ moins 1.

💡 Astuce mémo

Condition clé : $|x-a|\le 10^{-n}$ donne immédiatement un intervalle $a\pm 10^{-n}$.

📖 9. Algorithme de balayage

🔑 Notions clés & Définitions

• Algorithme de balayage : Méthode par essais d’encadrements successifs qui détermine les décimales de $\alpha$ en vérifiant le signe d’une expression.
• Encadrement initial : Premier intervalle utilisé pour trouver le premier chiffre après la virgule d’un réel via une fonction $x\mapsto x-2$.
• Tableaux de signes : Le procédé consiste à calculer des valeurs de la fonction pour des décimaux candidate et repérer un changement de signe.

📝 Points essentiels

• Le cours applique un balayage à $\sqrt{2}$ via une fonction de type $x\mapsto x^2-2$ (les valeurs du tableau sont de la forme $x^2-2$).
• Pour le premier chiffre après la virgule : on teste des décimaux entre $1$ et $2$ et on repère un changement de signe entre $1{,}1$ et $1{,}2$, ce qui donne un encadrement conduisant à $\sqrt{2}$ approximé à $10^{-1}$ près.
• Pour le deuxième chiffre après la virgule : on recommence sur $[1{,}4;1{,}5]$ en observant un changement de signe entre $1{,}41$ et $1{,}42$ et on obtient une approximation à $10^{-2}$ près.
• Le cours précise une limite pratique : au-delà d’un certain niveau (ordre de $15$), la précision d’une machine impose l’usage de logiciels spécialisés pour atteindre $10^{-n}$.

💡 Astuce mémo

Balayage = “zoom sur l’intervalle” + “changement de signe” pour fixer chaque décimale.

📊 Tableaux de synthèse

Lien entre ensembles de nombres

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre intervalle ouvert et fermé : mettre des crochets au lieu de parenthèses (ou l’inverse) change l’appartenance aux bornes.
2. Croire qu’un quotient de décimaux est toujours décimal : par exemple $1/3$ n’a pas de partie décimale finie.
3. Oublier l’interdiction de diviser par $0$ lorsqu’on parle des opérations sur les rationnels.
4. Inverser la définition de la valeur absolue : $|x|$ n’est pas $x$ mais l’écart à $0$, donc c’est toujours non négatif.
5. Traduire mal une approximation en intervalle : oublier que $|x-a|\le 10^{-n}$ donne $x\in[a-10^{-n};a+10^{-n}]$.
6. Penser qu’“approximation à $10^{-n}$ près” garantit automatiquement $n$ décimales justes : le cours avertit que ce n’est pas exactement le même niveau de précision.

✅ Checklist Examen

1. Identifier les ensembles : décimaux, rationnels et réels, et donner la relation d’inclusion décimaux ⊂ rationnels ⊂ réels.
2. Reconnaître un nombre décimal grâce à l’écriture à partie décimale finie.
3. Utiliser la caractérisation : multiplier un décimal par une puissance de $10$ pour obtenir un entier relatif.
4. Définir un nombre rationnel sous forme $x=p/q$ avec $q\neq 0$.
5. Montrer que tout décimal est rationnel en l’écrivant comme quotient par une puissance de $10$.
6. Définir la droite réelle et expliquer comment comparer deux réels.
7. Décrire correctement un intervalle réel à l’aide de la notation avec crochets/parenthèses et inégalités associées.
8. Manipuler l’intersection et l’union d’intervalles, y compris le cas où l’intersection est vide.
9. Calculer une distance $d(a,b)$ puis l’exprimer via $|b-a|$.
10. Calculer une valeur absolue par cas (signe de $x$) et l’utiliser pour établir un encadrement.
11. Transformer l’appartenance $x\in[a-r;a+r]$ en inégalité $|x-a|\le r$.
12. Définir “approximation à $10^{-n}$ près” avec $|x-a|\le 10^{-n}$ et en déduire l’intervalle $[a-10^{-n};a+10^{-n}]$.
13. Expliquer le principe du balayage : itérer sur un intervalle, tester des décimaux candidats et utiliser un changement de signe pour fixer les décimales.