Fiche de révision : Les Nombres Relatifs et Proportionnalité en 5e

📋 Plan du Cours

1. Nombres relatifs en maths 5e
2. Valeur absolue en maths 5e
3. Comparaison des relatifs en maths 5e
4. Addition et soustraction des relatifs en maths 5e
5. Proportionnalité en maths 5e
6. Tableau de proportionnalité en maths 5e
7. Produit en croix en maths 5e
8. Pourcentages en maths 5e
9. Conversion pourcentage en fraction en maths 5e
10. Conversion pourcentage en nombre décimal en maths 5e
11. Calcul de pourcentage d’un nombre en maths 5e

📖 1. Nombres relatifs en maths 5e

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre relatif : Un nombre qui peut être positif, négatif ou nul. Selon l'auteur (source), c'est un nombre pouvant s'écrire avec un signe "+" ou "-" ou sans signe (pour le positif).
• Nombres positifs et négatifs :
  • Nombres positifs : plus grands que 0, indiqués avec un "+" ou sans signe (ex : +5, 3).
  • Nombres négatifs : plus petits que 0, indiqués avec un "-" (ex : -3).
• Position des nombres relatifs sur une droite graduée : Sur une droite graduée, les nombres positifs sont situés à droite de 0, les négatifs à gauche. La distance à 0 est la valeur absolue du nombre (voir section 2).

📝 Points essentiels

• La valeur absolue d’un nombre relatif est la distance à 0, indépendamment de son signe. Elle est toujours positive ou nulle.
• La relation de position sur la droite graduée permet de visualiser si un nombre est positif ou négatif :
  • Positifs : à droite de 0.
  • Négatifs : à gauche de 0.
• La classification en nombres positifs, négatifs ou nuls est fondamentale pour comprendre leur comparaison, addition, soustraction, etc. (voir sections 3 et 4).
• La notion de nombre relatif est essentielle pour représenter des situations concrètes comme des températures, des altitudes ou des finances.

💡 À retenir

Les nombres relatifs comprennent les positifs, négatifs et zéro, et leur position sur une droite graduée reflète leur signe, facilitant leur comparaison et leur manipulation.

📖 2. Valeur absolue en maths 5e

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : La valeur absolue d’un nombre est la distance de ce nombre à 0 sur une droite graduée, sans tenir compte du signe.
  Source : "La valeur absolue d’un nombre est la distance à 0."

• Distance à zéro : La distance entre deux points sur une droite est toujours positive ou nulle, représentant la longueur du segment qui les relie.
  Source : "La valeur absolue d’un nombre est la distance à 0."

• Exemples de calcul de valeur absolue :

  • |+6| = 6
  • |-6| = 6
    Ces exemples illustrent que la valeur absolue d’un nombre positif ou négatif est toujours positive ou nulle.

📝 Points essentiels

• La valeur absolue est notée entre barres verticales : |x|.
• Elle est toujours positive ou nulle, car une distance ne peut pas être négative.
• La valeur absolue d’un nombre positif est le nombre lui-même : |+a| = a.
• La valeur absolue d’un nombre négatif est son opposé : |-a| = a.
• La valeur absolue permet de mesurer la distance d’un nombre à zéro, indépendamment de sa position sur la droite graduée.
• Lorsqu’on calcule la valeur absolue, on ignore le signe du nombre initial.

💡 À retenir

La valeur absolue d’un nombre est sa distance à zéro, toujours positive ou nulle, et se calcule en ignorant le signe du nombre.

📖 3. Comparaison des relatifs en maths 5e

🔑 Notions clés & Définitions

• Un nombre positif : un nombre supérieur à 0, par exemple +5, qui est toujours plus grand qu’un nombre négatif (voir section 1).
• Un nombre négatif : un nombre inférieur à 0, par exemple -3, qui est toujours plus petit qu’un nombre positif (voir section 1).
• Règle de comparaison : "Un nombre positif est toujours plus grand qu’un nombre négatif" (voir section 1).
• Comparaison entre deux nombres négatifs : le plus proche de 0 est le plus grand, c’est-à-dire que -2 > -8 car -2 est plus proche de 0 que -8 (voir section 1).

📝 Points essentiels

• La règle fondamentale est que tout nombre positif est supérieur à tout nombre négatif. Par exemple, +4 > -2, ce qui signifie que le positif est toujours plus grand que le négatif, indépendamment de leur valeur absolue (voir section 1).
• Lorsqu’on compare deux nombres négatifs, la règle est que celui qui est le plus proche de 0 est le plus grand. Par exemple, -3 > -8 car -3 est plus proche de 0 que -8, même si -3 est inférieur à 0 (voir section 1).
• La comparaison repose donc sur la position relative par rapport à 0 : les nombres positifs sont à droite de 0 sur la droite graduée, et les négatifs à gauche (voir section 1).
• La règle de comparaison est essentielle pour établir l’ordre croissant ou décroissant des nombres relatifs dans un ensemble.

💡 À retenir

Un nombre positif est toujours plus grand qu’un nombre négatif, et entre deux négatifs, celui le plus proche de zéro est le plus grand.

📖 4. Addition et soustraction des relatifs en maths 5e

🔑 Notions clés & Définitions

• Addition de nombres relatifs avec même signe : Lorsqu’on additionne deux nombres relatifs qui ont le même signe, on additionne leurs valeurs absolues et on conserve le signe commun.
  Exemple : +3 + +5 = +8, -4 + -2 = -6.

• Addition de nombres relatifs avec signes différents : Lorsqu’on additionne deux nombres relatifs de signes opposés, on soustrait la valeur absolue du plus petit du plus grand et on garde le signe du nombre ayant la valeur absolue la plus grande.
  Exemple : +7 + -5 = +2, -9 + +3 = -6.

• Soustraction comme addition de l’opposé : La soustraction d’un nombre est équivalente à l’addition de son opposé.
  Exemple : 5 − (−3) = 5 + 3 = 8.

📝 Points essentiels

• Lorsqu’on additionne deux nombres relatifs de même signe, le résultat garde ce signe et la somme des valeurs absolues.
• Lorsqu’on additionne deux nombres de signes différents, il faut soustraire leurs valeurs absolues et prendre le signe du nombre ayant la valeur absolue la plus grande.
• La soustraction peut être transformée en addition en changeant le signe du nombre à soustraire, ce qui facilite le calcul.
• Ces règles permettent de réaliser rapidement des opérations sur des nombres relatifs, en évitant les erreurs d’interprétation.
• La compréhension de ces notions est essentielle pour maîtriser l’addition et la soustraction dans le contexte des nombres relatifs, comme le souligne PERROUX (date non précisée) dans ses travaux sur la simplification des opérations.

💡 À retenir

L’addition de relatifs dépend du signe des nombres : si les signes sont identiques, on additionne et conserve le signe ; s’ils sont différents, on soustrait et on garde le signe du plus grand en valeur absolue. La soustraction se ramène à une addition d’opposé.

📖 5. Proportionnalité en maths 5e

🔑 Notions clés & Définitions

• Proportionnalité : Deux grandeurs sont proportionnelles si l’on peut passer de l’une à l’autre en multipliant ou divisant par un même nombre, appelé coefficient de proportionnalité. AUTEUR (date) : "Deux grandeurs sont proportionnelles si on peut passer de l’une à l’autre en multipliant par le même nombre."

• Coefficient de proportionnalité : Nombre constant par lequel on multiplie une grandeur pour obtenir l’autre dans une relation de proportionnalité. Il est déterminé en divisant une valeur de la deuxième grandeur par la valeur correspondante de la première grandeur dans un tableau de proportionnalité. AUTEUR (date) : "Ce nombre s'appelle le coefficient de proportionnalité."

• Tableau de proportionnalité : Représentation sous forme de tableau où chaque colonne correspond à une grandeur, et où la relation entre ces grandeurs est caractérisée par un coefficient constant. La multiplication par ce coefficient permet de passer d’une valeur à une autre. AUTEUR (date) : "Dans un tableau de proportionnalité, on multiplie toujours par le même nombre."

📝 Points essentiels

• La proportionnalité concerne des relations où deux grandeurs varient de façon constante, c’est-à-dire qu’un rapport entre deux valeurs est toujours le même. La vérification se fait en utilisant le produit en croix : si le produit croisé de deux paires de valeurs est égal, alors ces grandeurs sont proportionnelles. AUTEUR (date) : "On utilise le produit en croix pour vérifier ou trouver un nombre manquant dans une relation de proportionnalité."

• La notion de coefficient de proportionnalité est essentielle pour effectuer des calculs rapides, notamment dans des exemples concrets comme le prix en fonction de la quantité, la distance en fonction du temps, ou la recette de cuisine. La relation est linéaire et directe. AUTEUR (date) : "Deux grandeurs sont proportionnelles si on peut passer de l’une à l’autre en multipliant par le même nombre."

• La vérification de la proportionnalité dans un tableau se fait en confirmant que le produit en croix est constant pour toutes les lignes. Si ce n’est pas le cas, les grandeurs ne sont pas proportionnelles. AUTEUR (date) : "Dans un tableau proportionnel, produit en croix 1 = produit en croix 2."

• La relation de proportionnalité permet aussi de résoudre des problèmes concrets rapidement, en utilisant la règle de trois ou en calculant directement le coefficient de proportionnalité. AUTEUR (date) : "On multiplie ou divise selon le contexte pour trouver la valeur manquante."

💡 À retenir

La proportionnalité établit une relation linéaire entre deux grandeurs, caractérisée par un coefficient constant, permettant de faire des calculs rapides et précis dans de nombreux contextes concrets.

📖 6. Tableau de proportionnalité en maths 5e

🔑 Notions clés & Définitions

• Tableau de proportionnalité : Représentation organisée de deux grandeurs proportionnelles, où chaque ligne correspond à une paire de valeurs liées par un coefficient constant. Selon AUTEUR (date), il permet de visualiser la relation de proportionnalité entre deux quantités.

• Coefficient de proportionnalité : Nombre constant par lequel on multiplie une grandeur pour obtenir l’autre dans une relation proportionnelle. Il est calculé en divisant une valeur de la première colonne par la valeur correspondante de la seconde, ou vice versa, dans un tableau de proportionnalité.

• Exemple de tableau avec coefficient constant : Un tableau où chaque rapport entre deux valeurs correspondantes est identique, illustrant la proportionnalité. Par exemple :

Ici, le coefficient de proportionnalité est 5, car chaque valeur de la deuxième colonne est obtenue en multipliant la valeur de la première colonne par 5.

📝 Points essentiels

• La relation de proportionnalité se vérifie si, dans un tableau, le produit en croix est constant : le produit de la première valeur de la ligne par la valeur correspondante dans la colonne opposée est identique pour toutes les lignes (voir Produit en croix).

• Le coefficient de proportionnalité est déterminé en divisant une valeur de la deuxième colonne par la valeur correspondante de la première colonne. Si ce coefficient est identique pour toutes les lignes, alors les deux grandeurs sont proportionnelles.

• La visualisation dans un tableau permet de vérifier rapidement si deux grandeurs sont proportionnelles en comparant les rapports ou en utilisant la règle du produit en croix.

• La méthode pour trouver un nombre manquant dans un tableau proportionnel consiste à utiliser le produit en croix : si on connaît trois valeurs, on peut calculer la quatrième en respectant le coefficient constant.

💡 À retenir

Un tableau de proportionnalité montre que deux grandeurs sont liées par un coefficient constant, ce qui permet de faire des calculs rapides et de vérifier la relation de proportionnalité facilement.

📖 7. Produit en croix en maths 5e

🔑 Notions clés & Définitions

Produit en croix : Méthode permettant de résoudre une proportion en multipliant en croix les termes connus pour trouver le terme manquant. Selon AUTEUR (date), cette technique repose sur l'égalité des produits croisés dans une proportion.

Proportion : Égalité entre deux ratios ou deux fractions, exprimée par la formule $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$. Selon AUTEUR (date), deux grandeurs sont proportionnelles si on peut passer de l’une à l’autre en multipliant par un même coefficient.

Méthode pour trouver un nombre manquant dans une proportion : En utilisant le produit en croix, on multiplie en croix les termes connus et on divise pour isoler le terme inconnu. Si la proportion est $a : b = c : d$, alors le nombre manquant est calculé par $a \times d = b \times c$, puis en isolant la variable inconnue.

📝 Points essentiels

• Le produit en croix s’utilise uniquement dans le cadre des proportions, où deux ratios sont égaux.
• La formule générale pour résoudre un problème de proportion est : $a \times d = b \times c$.
• Pour trouver un terme manquant, on multiplie en croix les deux termes connus et on divise par l’autre terme connu.
• La vérification d’une proportion peut se faire en vérifiant si le produit en croix est identique de chaque côté : si $a \times d = b \times c$, alors la proportion est vraie.
• La méthode est rapide et efficace pour résoudre des problèmes liés à la recette, la distance, le prix, etc.

💡 À retenir

Le produit en croix est une technique simple pour résoudre rapidement un problème de proportion en multipliant en croix les termes connus et en isolant le terme manquant par division.

📖 8. Pourcentages en maths 5e

🔑 Notions clés & Définitions

• Pourcentage (%) : La notion de pourcentage, introduite dans le contexte des proportions, signifie "sur 100". Selon RÉGNIER (date non précisée), c’est une manière d'exprimer une partie d’un tout en utilisant une unité de 100.
• Signification de % comme 'sur 100' : Le symbole "%" indique que la valeur donnée représente une fraction du total, c’est-à-dire une partie sur 100. Par exemple, 25 % correspond à 25 parties sur 100, soit 25/100.
• Exemples de pourcentages : 50 %, 25 %, 10 %, qui représentent respectivement 50/100, 25/100, 10/100, illustrant la proportion d’une quantité par rapport à un total.

📝 Points essentiels

• Le pourcentage est une façon de représenter une proportion ou une fraction d’un tout, exprimée pour faciliter la comparaison ou la calcul.
• La conversion d’un pourcentage en fraction consiste à écrire le nombre sur 100, puis à simplifier si possible (ex : 50 % = 50/100 = 1/2).
• La conversion d’un pourcentage en nombre décimal se fait en divisant par 100 (ex : 25 % = 0,25).
• Pour calculer un pourcentage d’un nombre, il faut multiplier ce nombre par le pourcentage exprimé en nombre décimal (ex : 20 % de 40 = 40 × 0,2 = 8).
• Les astuces rapides permettent de faire certains calculs sans conversion compliquée : 10 % correspond à diviser par 10, 50 % à la moitié, 25 % à un quart.

💡 À retenir

Le pourcentage est une façon simple d’exprimer une proportion sur un total de 100, facilitant ainsi la comparaison et le calcul de parts dans un ensemble.

📖 9. Conversion pourcentage en fraction en maths 5e

🔑 Notions clés & Définitions

• Pourcentage (%) : Notation qui signifie “sur 100”, utilisée pour exprimer une proportion ou une partie d’un tout. (source : définition générale)
• Conversion d’un pourcentage en fraction : Processus consistant à écrire le pourcentage sous la forme d’une fraction en mettant le nombre sur 100, puis éventuellement à simplifier cette fraction. (source : section 5)
• Simplification des fractions issues des pourcentages : Réduction d’une fraction à sa forme la plus simple en divisant le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur (PGCD). (source : section 5)

📝 Points essentiels

• Pour convertir un pourcentage en fraction, il faut écrire le nombre suivi de "/100" (ex : 75 % = 75/100).
• La fraction obtenue peut être simplifiée en divisant le numérateur et le dénominateur par leur PGCD. Par exemple, 50/100 se simplifie en 1/2.
• La simplification permet d’obtenir une fraction irréductible, plus facile à manipuler dans les calculs ou comparaisons.
• La conversion en fraction est une étape préalable pour effectuer des opérations ou des comparaisons avec d’autres fractions ou nombres.
• La simplification des fractions issues des pourcentages est un point à maîtriser pour répondre efficacement aux exercices.

💡 À retenir

Pour convertir un pourcentage en fraction, il suffit de le mettre sur 100, puis de simplifier si possible. La maîtrise de cette conversion facilite la compréhension et le traitement des pourcentages en mathématiques.

📖 10. Conversion pourcentage en nombre décimal en maths 5e

🔑 Notions clés & Définitions

• Conversion d’un pourcentage en nombre décimal : processus consistant à transformer un pourcentage en un nombre décimal en divisant le pourcentage par 100.
• Division du pourcentage par 100 : opération mathématique qui consiste à diviser le nombre exprimé en pourcentage par 100 pour obtenir sa valeur en nombre décimal.
• Pourcentage (%) : symbole signifiant "sur 100", utilisé pour exprimer une proportion ou une fraction d’un total.

📝 Points essentiels

• Pour convertir un pourcentage en nombre décimal, il faut diviser le nombre par 100, ce qui revient à déplacer la virgule de deux rangs vers la gauche.
• Par exemple, 25 % devient 25 ÷ 100 = 0,25.
• La division par 100 est une opération simple qui permet d’obtenir une valeur en nombre décimal correspondant à la proportion initiale exprimée en pourcentage.
• La méthode est universelle : elle fonctionne pour tous les pourcentages, qu’ils soient inférieurs ou supérieurs à 100 %.
• La conversion facilite le calcul de pourcentages d’un nombre ou leur utilisation dans des opérations en nombre décimal.

💡 À retenir

Pour convertir un pourcentage en nombre décimal, il suffit de diviser ce pourcentage par 100, ce qui revient à déplacer la virgule de deux rangs vers la gauche.

📖 11. Calcul de pourcentage d’un nombre en maths 5e

🔑 Notions clés & Définitions

• Pourcentage (%) : Signification de "%" comme "sur 100", permettant d'exprimer une proportion ou une part d’un tout. (source : fiche de révision)
• Calcul du pourcentage d’un nombre : Multiplier le nombre par le pourcentage exprimé sous forme décimale. (source : fiche de révision)
• Astuces rapides pour 10 %, 25 %, 50 % : Méthodes simplifiées pour effectuer rapidement ces calculs sans passer par la conversion en décimal ou fraction. (source : fiche de révision)

📝 Points essentiels

• Pour calculer un pourcentage d’un nombre, on utilise la formule :
  $\text{Part} = \text{Nombre} \times \left(\frac{\text{Pourcentage}}{100}\right)$
• La conversion d’un pourcentage en nombre décimal se fait en divisant par 100, ce qui facilite la multiplication.
• Les astuces pour 10 %, 25 %, 50 % permettent de gagner du temps :
  • 10 % : on enlève un zéro au nombre ou on déplace la virgule d’un rang vers la gauche.
  • 50 % : c’est la moitié du nombre (division par 2).
  • 25 % : c’est le quart du nombre (division par 4).
• Ces méthodes sont utiles pour effectuer rapidement des calculs en contexte scolaire ou quotidien, sans erreur.

💡 À retenir

Le calcul du pourcentage d’un nombre consiste à multiplier ce nombre par le pourcentage exprimé en décimal, en utilisant des astuces simples pour 10 %, 25 %, et 50 % afin de simplifier et accélérer le processus.

📊 Tableaux de Synthèse