Les propriétés fondamentales du logarithme népérien

📋 Plan du Cours

1. Définition du ln
2. Fonction logarithme népérien
3. Courbes exponentielle et ln
4. Propriétés algébriques
5. Relations fonctionnelles
6. Propriétés logarithmes

📖 1. Définition du ln

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation ex = a (avec a > 0) : équation admet une solution unique dans ℝ, notée ln(a), appelée le logarithme népérien de a.
• Fonction logarithme népérien (ln) : fonction qui, à tout réel x > 0, associe le réel ln(x). Elle est la fonction réciproque de la fonction exponentielle.
• Solution unique : pour tout a > 0, la solution de ex = a est unique et égale à ln(a).
• Courbes exponentielle et logarithme népérien : dans un repère orthonormé, ces courbes sont symétriques par rapport à la droite y = x (voir section 3).
• Propriété fondamentale : pour tout x > 0, ln(e^x) = x et e^{ln(x)} = x (voir section 5).

📝 Points essentiels

• La solution de l’équation ex = a est notée ln(a) et est unique dans ℝ.
• La fonction ln est définie sur ]0; +∞[ et est la fonction réciproque de la fonction exponentielle.
• La relation entre exponentielle et logarithme népérien est symétrique : x = e^y si et seulement si y = ln(x).
• Les valeurs particulières : ln(1) = 0 et ln(e) = 1.
• La propriété algébrique clé : ln(ab) = ln(a) + ln(b) pour a, b > 0 (relation fonctionnelle).
• Les autres propriétés : ln(1/b) = -ln(b), ln(a^n) = n ln(a), et ln(√a) = (1/2) ln(a).

💡 À retenir