Fiche de révision : Les Relations d’Ordre en Mathématiques

📋 Plan du Cours

1. Relations d’ordre : définition et propriétés
2. Ordre partiel et ordre total
3. Minorants et majorants d’un ensemble
4. Maximum et minimum d’un ensemble
5. Bornes supérieure et inférieure
6. Axiomes et complétude des nombres réels
7. Valeur absolue, intervalles et parties denses

📖 1. Relations d’ordre : définition et propriétés

🔑 Notions clés & Définitions

• Relation d’ordre : Relation binaire sur un ensemble E qui permet de comparer des éléments via une relation notée ≤ en respectant des propriétés précises.
• Ordre partiel : Ensemble E muni de ≤ tel que ≤ soit une relation d’ordre mais que certains éléments restent incomparables.

📝 Points essentiels

• Une relation d’ordre vérifie la réflexivité (a ≤ a), l’antisymétrie (a ≤ b et b ≤ a ⇒ a = b) et la transitivité (a ≤ b et b ≤ c ⇒ a ≤ c).
• (E, ≤) est partiellement ordonné si, pour certains a, b, on n’a ni a ≤ b ni b ≤ a.
• Un ordre total ajoute la connexité : pour tous a, b, on a soit a ≤ b soit b ≤ a.

💡 Astuce mémo

Réflexif = “même élément”, Antisymétrie = “aller-retour ⇒ égal”, Transitif = “enchaînement logique”.

📖 2. Ordre partiel et ordre total

🔑 Notions clés & Définitions

• Ordre total : Un ordre total est une relation d’ordre telle que pour tous x et y, on a x ≤ y ou y ≤ x.
• Minorant : Un minorant est un élément m qui est inférieur ou égal à tous les éléments de A, donc m ≤ a pour tout a ∈ A.
• Majorant : Un majorant est un élément M qui est supérieur ou égal à tous les éléments de A, donc a ≤ M pour tout a ∈ A.

📝 Points essentiels

• Dans un ensemble totalement ordonné, tout couple d’éléments est comparable : x ≤ y ou y ≤ x.
• Un minorant (s’il existe) n’est pas forcément unique.
• Un majorant (s’il existe) n’est pas forcément unique.

📖 3. Minorants et majorants d’un ensemble

🔑 Notions clés & Définitions

• Borne supérieure : La borne supérieure d’un ensemble A dans E est le plus petit majorant de A, s’il existe.
• Borne inférieure : La borne inférieure d’un ensemble A dans E est le plus grand minorant de A, s’il existe.

📝 Points essentiels

• Un majorant b de A vérifie ∀a∈A, a≤b, et la borne supérieure est le minimum de l’ensemble des majorants.
• Un minorant b de A vérifie ∀a∈A, b≤a, et la borne inférieure est le maximum de l’ensemble des minorants.
• Si A admet à la fois une borne supérieure et une borne inférieure, alors inf(A)≤sup(A).

💡 Astuce mémo

Majorant = “haut” (sup), minorant = “bas” (inf).

📖 4. Maximum et minimum d’un ensemble

🔑 Notions clés & Définitions

• Borne supérieure : Une borne supérieure d’un ensemble est un nombre qui est plus grand ou égal à tous les éléments de l’ensemble.
• Borne inférieure : Une borne inférieure d’un ensemble est un nombre qui est plus petit ou égal à tous les éléments de l’ensemble.

📝 Points essentiels

• Si A admet un maximum, alors sup(A) existe et vaut max(A).
• Si A admet un minimum, alors inf(A) existe et vaut min(A).
• Pour A=[0,1], on a sup(A)=1 et inf(A)=0, tandis que Z n’a pas de borne supérieure mais a inf(Z)=-1.

💡 Astuce mémo

max ↔ sup, min ↔ inf (le “sup” correspond au plus grand, le “inf” au plus petit).

📖 5. Bornes supérieure et inférieure

🔑 Notions clés & Définitions

• Relation d’ordre ≤ : La relation d’ordre ≤ sur R est une relation qui vérifie la réflexivité, l’antisymétrie et la transitivité.
• Compatibilité avec l’addition : La relation ≤ est stable par addition : si a ≤ b alors a + c ≤ b + c pour tout c ∈ R.
• Compatibilité avec la multiplication : La relation ≤ est stable par multiplication positive : si a ≤ b et 0 ≤ c alors a×c ≤ b×c.

📝 Points essentiels

• Si a ≤ b alors 0 ≤ b − a, et réciproquement si 0 ≤ b − a alors a ≤ b.
• La relation ≥ se définit par x ≥ y ⇔ y ≤ x.
• L’ordre ≤ est compatible avec l’addition pour tous c ∈ R et avec la multiplication uniquement quand le multiplicateur est ≥ 0.

📖 6. Axiomes et complétude des nombres réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Borne supérieure : La borne supérieure d’une partie non vide majorée de R est le plus petit majorant de cette partie.
• Valeur absolue : La valeur absolue d’un réel x, notée |x|, mesure sa distance à 0 sur la droite réelle.
• Partie entière : La partie entière d’un réel x, notée ⌊x⌋, est l’unique entier relatif n tel que n ≤ x < n + 1.

📝 Points essentiels

• Si a ≤ b et b ≤ a alors a = b, et si a ≤ b et b ≤ c alors a ≤ c.
• Si a ≤ b alors 0 ≤ b − a, et réciproquement ; on définit aussi x ≥ y ⇔ y ≤ x.
• Toute partie non vide et majorée de R admet une borne supérieure Sup(A), unique, qui est un majorant et est approchée par des éléments de A à tout ε > 0.

💡 Astuce mémo

Sup(A) = « plus petit majorant » : majorant minimal, approché de l’intérieur par A.

📖 7. Valeur absolue, intervalles et parties denses

🔑 Notions clés & Définitions

• Partie entière : La partie entière de $x$ est l’unique entier relatif noté $\lfloor x\rfloor$ tel que $\lfloor x\rfloor \le x < \lfloor x\rfloor+1$.
• Approximation décimale par défaut : L’approximation décimale par défaut de $x$ à la précision $10^{-n}$ est le nombre $r_n=\dfrac{\lfloor 10^n x\rfloor}{10^n}$ vérifiant $r_n\le x<r_n+\dfrac{1}{10^n}$.
• Partie dense : Une partie $A\subset\mathbb{R}$ est dense dans $\mathbb{R}$ si, entre deux réels distincts, on trouve toujours un élément de $A$.

📝 Points essentiels

• Si $x\in\mathbb{R}$, alors $\lfloor x\rfloor \le x < \lfloor x\rfloor+1$ et $\lfloor x\rfloor$ est unique.
• Pour $n\in\mathbb{N}$, l’approximation décimale par défaut $r_n$ vérifie $r_n\le x<r_n+\dfrac{1}{10^n}$ et $r_n+\dfrac{1}{10^n}$ est l’approximation par excès.
• Les ensembles $\mathbb{D}$, $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{R}\!/\mathbb{Q}$ sont denses dans $\mathbb{R}$, et $\mathbb{R}$ n’a pas de “trous” (séparation liée à la complétude).

📊 Tableaux de synthèse

Ordre partiel vs ordre total

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre relation d’ordre partiel et ordre total : dans un ordre partiel, il peut exister des éléments incomparables (ni a ≤ b ni b ≤ a).
2. Croire que minorant/majorant sont uniques : le cours précise qu’ils ne sont pas nécessairement uniques s’ils existent.
3. Mélanger maximum et borne supérieure : max(A) est un élément de A, alors que sup(A) peut ne pas appartenir à A.
4. Inverser les inégalités : minorant vérifie m ≤ a pour tout a∈A, tandis que majorant vérifie a ≤ M pour tout a∈A.
5. Oublier la caractérisation “plus petit majorant / plus grand minorant” : une borne supérieure n’est pas juste un majorant quelconque.
6. Penser que “borné” signifie “borné des deux côtés” sans vérifier : borné supérieu rement et borné inférieurement sont des propriétés distinctes.
7. Se tromper sur l’approximation décimale par défaut : rn = ⌊10^n x⌋/10^n vérifie rn ≤ x < rn + 1/10^n (et rn+1/10^n est l’excès).

✅ Checklist Examen

1. Énoncer la définition d’une relation d’ordre et vérifier réflexivité, antisymétrie et transitivité.
2. Distinguer ordre partiel et ordre total en utilisant la connexité (pour tous a,b, a ≤ b ou b ≤ a).
3. Définir précisément minorant et majorant d’une partie A⊆E et écrire les quantificateurs (∀a∈A).
4. Donner la définition de sup(A) comme borne supérieure : majorant minimal, et celle de inf(A) comme borne inférieure : minorant maximal.
5. Utiliser la propriété inf(A) ≤ sup(A) lorsque A admet à la fois une borne supérieure et une borne inférieure.
6. Relier maximum/minimum aux bornes : si max(A) existe alors sup(A)=max(A), et si min(A) existe alors inf(A)=min(A).
7. Savoir caractériser un ensemble borné : borné supérieu rement et borné inférieurement, et donner l’exemple de [0,1] et de Z (non borné supérieu rement).
8. Écrire les compatibilités de l’ordre sur R : stabilité par addition (toujours) et par multiplication uniquement pour un multiplicateur positif (0 ≤ c).
9. Rappeler la définition de la partie entière ⌊x⌋ et l’encadrement ⌊x⌋ ≤ x < ⌊x⌋+1.
10. Construire l’approximation décimale par défaut rn = ⌊10^n x⌋/10^n et vérifier l’encadrement rn ≤ x < rn + 1/10^n.
11. Définir “partie dense dans R” et utiliser l’équivalence : entre deux réels distincts, il existe un élément de A ; citer D, Q et R/Q denses.
12. Décrire les intervalles de R (ouverts/fermés selon les crochets et parenthèses) et la condition caractérisant un intervalle via x ≤ c ≤ y ⇒ c∈I.