Fiche de révision : Les suites numériques : définitions et propriétés

📋 Plan du Cours

1. Définitions et notations des suites
2. Définir une suite explicite ou par récurrence
3. Monotonie des suites numériques
4. Suites majorées, minorées et bornées
5. Suites arithmétiques et géométriques
6. Principe de récurrence et rédaction
7. Applications du raisonnement par récurrence

📖 1. Définitions et notations des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Une suite numérique est une liste ordonnée et numérotée de réels, notée (u_n) avec n ∈ N.
• Terme de rang n : Le terme de rang n est le réel u_n, le terme suivant est u_{n+1} et le précédent est u_{n-1}.
• Relation de récurrence : Une relation de récurrence définit une suite à partir d’un terme initial et d’une règle reliant u_{n+1} à u_n.

📝 Points essentiels

• Les indices sont des entiers : u_n s’écrit avec l’indice en indice (u_0, u_41, u_n).
• Ne pas confondre (u_n) (la suite) et u_n (un terme), ni u_{n+1} avec u_n + 1.
• Suite explicite : u_n = f(n) ; suite par récurrence : u_{n+1} = f(u_n) avec calcul des termes précédents nécessaires.

💡 Astuce mémo

u_{n+1} : le +1 est dans l’indice (pas dans le calcul).

📖 2. Définir une suite explicite ou par récurrence

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite explicite : Une suite est dite explicite quand chaque terme $u_n$ s’écrit directement en fonction de $n$, sous la forme $u_n=f(n)$.
• Suite par récurrence : Une suite est dite définie par récurrence quand $u_{n+1}$ est déterminé à partir de $u_n$ (et éventuellement de $n$) via une relation de passage.

📝 Points essentiels

• Pour étudier la monotonie d’une suite, on peut calculer le signe de $u_{n+1}-u_n$ et conclure selon qu’il est ≥0 ou ≤0 à partir d’un rang.
• Si la suite est donnée sous la forme explicite $u_n=f(n)$, on étudie les variations de $f$ sur $\mathbb{R}^+$ pour déduire celles de la suite.
• Si la suite est définie par récurrence, on utilise la relation de passage pour comparer $u_{n+1}$ et $u_n$ (ou étudier le quotient $u_{n+1}/u_n$ quand c’est pertinent).

📖 3. Monotonie des suites numériques

🔑 Notions clés & Définitions

• Minorant : Un minorant est un réel m tel que, à partir d’un certain rang, tous les termes de la suite sont ≥ m.
• Suite bornée : Une suite est bornée si elle possède à la fois des minorants et des majorants, donc si ses termes restent dans un intervalle.

📝 Points essentiels

• Si une suite est croissante, elle est minorée par son premier terme, et si elle est décroissante, elle est majorée par son premier terme.
• Une suite majorée (resp. minorée) admet une infinité de majorants (resp. minorants).
• Pour une suite arithmétique de raison r : r>0 ⇒ strictement croissante, r<0 ⇒ strictement décroissante, r=0 ⇒ constante.

📖 4. Suites majorées, minorées et bornées

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite géométrique : Suite dont chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par une constante $q$.
• Suite arithmétique : Suite dont chaque terme s’obtient en ajoutant une constante à partir du précédent.

📝 Points essentiels

• Pour une suite géométrique de raison $q$, si $q<0$ alors la suite n’est pas monotone.
• Pour une suite géométrique de raison $q>0$, le sens de variation dépend de $q$ et de $u_0$ : si $0<q<1$ elle est décroissante si $u_0>0$ et croissante si $u_0<0$ ; si $q>1$ elle est croissante si $u_0>0$ et décroissante
• Somme des termes consécutifs d’une suite géométrique : si $q\neq 1$, $\sum_{i=0}^{n} u_i=\dfrac{u_0(1-q^{n+1})}{1-q}$ ; si $q=1$, $\sum_{i=0}^{n} u_i=(n+1)u_0$.

📖 5. Suites arithmétiques et géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Principe de récurrence : Méthode de preuve où l’on montre qu’une proposition P(n) vraie à un rang initial reste vraie au rang suivant, donc pour tous les rangs ≥ n0.
• Hypothèse de récurrence : Supposition selon laquelle P(n) est vraie pour un entier n ≥ n0, utilisée pour déduire la vérité de P(n+1).

📝 Points essentiels

• La récurrence exige deux étapes : initialisation P(n0) vraie puis hérédité P(n) ⇒ P(n+1) pour tout n ≥ n0.
• La conclusion donne P(n) vraie pour tout entier naturel n ≥ n0, et on choisit souvent n0 = 0 pour obtenir une validité sur N.
• On ne peut pas utiliser la récurrence pour prouver des résultats valables pour tous les réels, car elle porte sur l’ensemble des entiers naturels N.

💡 Astuce mémo

Escalier : première marche + saut d’une marche à la suivante ⇒ toutes les marches.

📖 6. Principe de récurrence et rédaction

🔑 Notions clés & Définitions

• Principe de récurrence : Méthode de preuve qui établit une propriété pour tous les entiers à partir d’une initialisation puis d’une hérédité.
• Hérédité : Étape où l’on suppose la propriété vraie au rang n pour montrer qu’elle reste vraie au rang n+1.
• Initialisation : Étape où l’on vérifie la propriété pour un premier entier (souvent n0) afin de lancer la récurrence.

📝 Points essentiels

• En Terminale, la récurrence sert surtout à démontrer des égalités, des inégalités (majorant/minorant) et la monotonie d’une suite via une inégalité.
• Pour rédiger : définir P(n), prouver P(n0) (initialisation), puis supposer P(n) vraie et montrer P(n+1) (hérédité).
• Une fois l’inégalité établie (ex. 0 ≤ u_{n+1} ≤ u_n ≤ 3), on en déduit le sens de variation et des bornes (minorant/majorant).

💡 Astuce mémo

Initialisation + Hérédité = Tous les n (P(n0) puis P(n)⇒P(n+1)).

📖 7. Applications du raisonnement par récurrence

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite définie par récurrence : Suite numérique où chaque terme est calculé à partir du précédent via une relation du type $u_{n+1}=g(u_n)$.
• Principe de récurrence : Méthode pour prouver qu’une propriété $P(n)$ est vraie pour tout $n\in\mathbb N$ en montrant l’initialisation puis l’hérédité.

📝 Points essentiels

• Pour $u_{n+1}=\tfrac14 u_n^2$ avec $u_0=3$, on a $0\le u_{n+1}\le u_n\le 3$ pour tout $n\in\mathbb N$ (initialisation puis hérédité).
• Comme $u_{n+1}\le u_n$, la suite $(u_n)$ est décroissante et elle est majorée par $3$ et minorée par $0$.
• Pour $f(x)=\tfrac14 x^2$, on a $f'(x)=\tfrac12 x$, donc $f$ est croissante sur $[0,+\infty[$ et décroissante sur $(-\infty,0]$ ; ici on utilise la croissance sur $\mathbb R_+$.

📊 Tableaux de synthèse

Méthodes pour montrer la monotonie

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre (un) (la suite) et un (un terme), ou écrire un+1 au lieu de u_{n+1} (indice en indice).
2. Ne pas confondre un+1 et un + 1 : un+1 est le terme suivant, pas la somme un+1.
3. Pour la monotonie, oublier que la définition demande un+1 ≥ un (ou ≤) à partir d’un rang n0, pas forcément dès n=0.
4. Croire qu’un calcul sur quelques rangs suffit pour prouver une formule valable pour tous les n : il faut une preuve par récurrence.
5. En récurrence, inverser les étapes : on doit faire initialisation puis hérédité, puis conclure pour tout n ≥ n0.
6. Confondre majoré/minoré/borné : majorée = un ≤ M (à partir de n0), minorée = un ≥ m, bornée = les deux.
7. Penser que la récurrence prouve des résultats pour tous les réels : elle porte sur les entiers naturels N uniquement.

✅ Checklist Examen

1. Savoir définir une suite, identifier les indices (rangs) et le terme initial, et écrire correctement u_{n+1} / u_{n-1} avec l’indice en indice.
2. Distinguer suite explicite (u_n = f(n)) et suite par récurrence (u_{n+1} = f(u_n)), et savoir ce que cela implique pour calculer des termes.
3. Montrer qu’une suite est croissante/décroissante/constante à partir d’un rang n0 en utilisant la définition (un+1 ≥ un, ≤, ou =).
4. Choisir une méthode de monotonie : signe de un+1 − un, ou quotient un+1/un quand c’est pertinent, ou variations de f quand u_n = f(n).
5. Pour une suite arithmétique, écrire la relation de récurrence u_{n+1}=u_n+r, donner la formule explicite u_n=u_0+nr et conclure la monotonie selon le signe de r.
6. Pour une suite arithmétique, calculer une somme ∑_{i=0}^n u_i avec (n+1)(u_0+u_n)/2 ou la formule “nombre de termes × (1er+dernier)/2”.
7. Pour une suite géométrique, écrire u_{n+1}=u_n q, donner u_n=u_0 q^n et conclure la monotonie selon q et le signe de u0 (et non monotone si q<0).
8. Calculer une somme géométrique ∑_{i=0}^n u_i avec u_0(1−q^{n+1})/(1−q) si q≠1, et (n+1)u0 si q=1.
9. Savoir définir majorée, minorée et bornée à partir d’un rang n0, et rappeler que une suite croissante est minorée par son premier terme (et décroissante majorée).
10. Rédiger une preuve par récurrence : énoncer P(n), initialiser P(n0), faire l’hérédité P(n) ⇒ P(n+1), puis conclure pour tout n ≥ n0.
11. Utiliser la récurrence pour démontrer une égalité, une inégalité (majorant/minorant) ou une monotonie quand les méthodes de I.C ne s’appliquent pas.
12. Savoir exploiter une inégalité encadrant un+1 et un (ex. 0 ≤ u_{n+1} ≤ u_n ≤ 3) pour conclure décroissance, majorant et minorant via le raisonnement par récurrence.