Fiche de révision : Les vecteurs

📋 Plan du Cours

1. Translation et définition du vecteur
2. Égalité et norme des vecteurs
3. Constructions avec les vecteurs
4. Vecteur nul et vecteurs opposés
5. Addition et relation de Chasles
6. Soustraction de vecteurs

📖 1. Translation et définition du vecteur

🔑 Notions clés & Définitions

• Translation : Fait glisser une figure selon une direction, un sens et une longueur donnée, schématisés par une flèche.
• Vecteur : La flèche qui définit une translation et qui est caractérisée par une direction, un sens et une longueur.

📝 Points essentiels

• Pour construire l’image d’une figure par une translation de vecteur $\overrightarrow{AA'}$, on reporte ce vecteur à partir de chacun des points de la figure afin d’obtenir leurs images.

💡 Astuce mémo

Direction = droite support ; sens = orientation du déplacement

📖 2. Égalité et norme des vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteurs égaux : Lorsqu’ils ont la même direction, le même sens et la même longueur.
• Norme d’un vecteur : La longueur d’un vecteur.

📝 Points essentiels

• Des vecteurs égaux, comme $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$, sont des représentants d’un même vecteur, qui peut être noté avec une seule lettre, par exemple $\vec{u}$.

📖 3. Constructions avec les vecteurs

★ À maîtriser

📌 Dans un parallélogramme, des vecteurs de côtés opposés parcourus dans le même sens sont égaux ; ainsi, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ caractérise le parallélogramme $ABCD$.

📌 Un point B est le milieu du segment [AC] si et seulement si $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}$.

Compléments

• Pour construire un point défini par une égalité vectorielle, on reporte le vecteur indiqué à partir du point origine afin de placer le point recherché.

💡 Astuce mémo

Reporter un vecteur, construire le point, identifier la figure

📖 4. Vecteur nul et vecteurs opposés

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur nul : Est nul lorsque les points A et B sont confondus ; pour tout point M, $\overrightarrow{MM}=\vec{0}$.
• Vecteurs opposés : Lorsqu’ils ont la même direction, la même longueur et des sens contraires.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BA}$ sont opposés, ce qui s’écrit $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$.

💡 Astuce mémo

Vecteur nul : longueur nulle ; vecteurs opposés : même longueur, sens contraire

📖 5. Addition et relation de Chasles

★ À maîtriser

• L’enchaînement d’une translation de vecteur $\vec{u}$ puis d’une translation de vecteur $\vec{v}$ est une translation de vecteur $\vec{w}=\vec{u}+\vec{v}$.

📐 Formule — La relation de Chasles donne $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ lorsque les vecteurs sont construits bout à bout. — Michel Chasles

📌 Un quadrilatère ABCD est un parallélogramme si et seulement si $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$.

Compléments

📐 Formule — Dans le triangle ABC, on a aussi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}$ et $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}$.

💡 Astuce mémo

Bout à bout : premier déplacement, puis second, donc le vecteur résultant

📖 6. Soustraction de vecteurs

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour soustraire deux vecteurs, on transforme la différence en somme de l’opposé : $\vec{u}-\vec{v}=\vec{u}+(-\vec{v})$.

Compléments

• Pour construire un point F tel que $\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$, on construit à partir de A la somme des vecteurs $\overrightarrow{BA}$ et $\overrightarrow{BC}$ bout à bout, puis on place F à son extrémité.

💡 Astuce mémo

Soustraire un vecteur → ajouter son opposé

📊 Tableaux de synthèse

Relations fondamentales entre vecteurs