Fiche de révision : Expression mathématique et logique

📋 Plan du Cours

1. Opérations logiques élémentaires
2. Formes de raisonnement
3. Notions fondamentales sur les ensembles
4. Quantificateurs et équivalence
5. Négation et logique propositionnelle
6. Quantificateurs et raisonnements
7. Opérations sur les ensembles
8. Relations et classes d’équivalence

📖 1. Opérations logiques élémentaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Proposition : Énoncé sur des objets considérés auquel on peut attribuer une valeur de vérité, vraie ou fausse, selon le principe du tiers exclu.
• Négation : Vraie si P est fausse et fausse si P est vraie ; elle se note aussi ¬P.
• Disjonction : Vraie si au moins l’une des deux propositions est vraie et fausse si les deux propositions sont fausses ; elle se note aussi P ∨ Q.
• Conjonction : Vraie si les deux propositions sont vraies et fausse si au moins l’une des deux est fausse ; elle se note aussi P ∧ Q.
• Implication logique : Fausse dans le seul cas où P est vraie et Q est fausse, et vraie lorsque P est fausse ou lorsque P et Q sont vraies.

📝 Points essentiels

📌 L’implication P ⇒ Q est équivalente à (non P) ou Q, tandis que sa négation est équivalente à P et (non Q).

💡 Astuce mémo

L’équivalence exige deux vérités simultanées, tandis que l’implication n’impose qu’un sens.

📖 2. Formes de raisonnement

★ À maîtriser

• Pour démontrer une implication par contraposée, on démontre l’implication équivalente (non Q) ⇒ (non P).

• Pour démontrer une proposition R par l’absurde, on suppose R fausse puis on montre que cette hypothèse conduit à un résultat faux.

Compléments

• Si n est un entier impair, alors son chiffre des unités est impair ; par contraposée, si son chiffre des unités est pair, alors n est pair.

• Pour montrer qu’il n’existe pas de plus petit réel strictement positif, on suppose qu’un tel réel a existe, puis on constate que $0 < \frac{a}{2} < a$, ce qui contredit sa définition.

💡 Astuce mémo

Contraposée : on inverse et on nie ; absurde : on suppose le contraire puis on obtient l’impossible.

📖 3. Notions fondamentales sur les ensembles

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble : Collection d’objets appelés éléments, et pour chaque objet x une seule des deux propositions x ∈ E ou x ∉ E est vraie.
• Sous-ensemble : Si pour tout x, x ∈ A implique x ∈ E.
• Complémentaire : Ensemble des éléments de E qui n’appartiennent pas à A.
• Fonction indicatrice : Vaut $1_A(x)=1$ si x ∈ A et $1_A(x)=0$ si x ∉ A.
• Produit cartésien : Constitué des couples (x,y) tels que x ∈ E et y ∈ F, et E × F est différent de F × E lorsque E ≠ F.

★ À maîtriser

📌 Deux ensembles A et B sont égaux si et seulement si A ⊂ B et B ⊂ A, ce qui constitue la double inclusion.

• Pour un ensemble fini E de cardinal n, le nombre de ses parties est $2^n$.

Compléments

• Les ensembles usuels présentés sont N, Z, Q, R, C, R∗, R+, et R−.

💡 Astuce mémo

Visualiser des ensembles comme des régions : l’intersection est la zone commune, l’union réunit les régions.

📖 4. Quantificateurs et équivalence

🔑 Notions clés & Définitions

• Quantificateur universel : Signifie que la propriété P(x) est vraie pour tout élément x de E.
• Quantificateur existentiel : Signifie qu’il existe au moins un élément x de E pour lequel P(x) est vraie, tandis que ∃! indique qu’il en existe un unique.
• Relation d’équivalence : Une relation d’équivalence sur E est une relation qui est réflexive, symétrique et transitive.

★ À maîtriser

📌 Deux quantificateurs de même nature peuvent être échangés, mais ∃x ∀y n’a pas le même sens que ∀y ∃x.

📌 La négation de ∀x ∈ E, P(x) est ∃a ∈ E, non P(a), et la négation de ∃a ∈ E, Q(a) est ∀x ∈ E, non Q(x).

Compléments

• Une relation R dans E est une partie de E × E, et x et y sont liés par R lorsque (x,y) ∈ R.

💡 Astuce mémo

∀ signifie pour tous, alors que ∃ signifie au moins un ; leur ordre ne se permute pas librement.

📖 5. Négation et logique propositionnelle

🔑 Notions clés & Définitions

• Implication logique : Une proposition fausse uniquement lorsque P est vraie et Q est fausse, et équivalente à (non P) ou Q.

★ À maîtriser

📌 La proposition (P et Q) implique séparément P et Q, tandis que l’existence de P et l’existence de Q n’implique pas l’existence d’un même élément vérifiant P et Q.

📌 La négation de (P et Q) est (non P) ou (non Q), tandis que la négation de (P ou Q) est (non P) et (non Q).

Compléments

• L’implication (1 = 2) ⇒ « Tous les nombres sont nuls » est vraie, car l’hypothèse fausse rend l’implication vraie.

💡 Astuce mémo

Vrai/faux : une implication fausse exige une hypothèse vraie et une conclusion fausse

📖 6. Quantificateurs et raisonnements

🔑 Notions clés & Définitions

• Raisonnement par l’absurde : Un raisonnement qui suppose la proposition à démontrer fausse et établit une contradiction.

★ À maîtriser

📌 La contraposée de P ⇒ Q est (non Q) ⇒ (non P), et une proposition est équivalente à sa contraposée.

• Un raisonnement par récurrence consiste à montrer que P(0) est vraie, puis que pour n ≥ 1, P(n − 1) vraie entraîne P(n) vraie.

Compléments

📐 Formule — La formule du binôme de Newton est $(a+b)^n = \sum_{p=0}^{n} \binom{n}{p}a^{n-p}b^p$ avec $\binom{n}{p}=\frac{n!}{p!(n-p)!}$.

📐 Formule — Pour tout entier naturel n, la somme des cubes vérifie $1^3+2^3+\cdots+n^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}$.

💡 Astuce mémo

Hypothèse → contraposée ou absurde → conclusion

📖 7. Opérations sur les ensembles

★ À maîtriser

📌 Pour des parties A, B, C et D, on a (A × C) ∩ (B × D) = (A ∩ B) × (C ∩ D), tandis que l’égalité analogue avec l’union n’est pas toujours vraie.

Compléments

• L’ensemble des parties de E = {1, 2, 3} est constitué de ∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} et E, soit 8 parties.

📐 Formule — Pour deux ensembles A et B, la différence symétrique vérifie $1_{A\triangle B}=1_A+1_B-2(1_A\times1_B)$.

• Si C ⊂ A et D ⊂ B, alors (A × B) \ (C × D) = ((A \ C) × B) ∪ (C × (B \ D)).

💡 Astuce mémo

Des ensembles colorés se croisent, s’unissent et se reflètent par complémentaire

📖 8. Relations et classes d’équivalence

🔑 Notions clés & Définitions

• Classe d’équivalence : La classe d’équivalence d’un élément a pour une relation d’équivalence R est l’ensemble ˆa = {x ∈ E | xRa}.
• Ensemble quotient : L’ensemble constitué des classes d’équivalence des éléments de E.

📝 Points essentiels

• Les classes d’équivalence forment une partition de E : elles sont deux à deux disjointes et leur réunion est E.

• Sur E = Z × Z∗, la relation (p,q)R(p′,q′) définie par pq′ = p′q permet de construire Q comme ensemble quotient, dont les éléments sont les nombres rationnels notés p/q avec q ≠ 0.

💡 Astuce mémo

Relation d’équivalence → classes disjointes → partition de l’ensemble

📊 Tableaux de synthèse

Opérateurs logiques