QCM : Expression mathématique et logique — 26 questions

Explication

Une proposition est un énoncé auquel on peut attribuer une valeur de vérité, vraie ou fausse. Une simple expression peut être dépourvue de valeur de vérité déterminée.

Explication

La négation inverse la valeur de vérité de la proposition initiale : lorsque $P$ est vraie, $\neg P$ est fausse. La proposition $P$ conserve, quant à elle, sa propre valeur de vérité.

Explication

La disjonction est vraie dès qu’au moins une des deux propositions est vraie ; elle devient donc fausse lorsque les deux sont fausses. Le fait qu’une seule proposition soit vraie suffit à rendre la disjonction vraie.

Explication

Une conjonction exige que ses deux propositions soient vraies pour être vraie. La présence d’une proposition fausse rend la conjonction fausse.

Explication

La contraposée d’une implication $P \Rightarrow Q$ est l’implication $\neg Q \Rightarrow \neg P$, qui lui est équivalente. L’implication $\neg P \Rightarrow \neg Q$ correspond à une autre relation et n’est généralement pas équivalente.

Explication

Une démonstration par l’absurde suppose la fausseté de $R$, puis montre que cette hypothèse conduit à un résultat faux ou contradictoire. Vérifier un cas particulier ne suffit pas à établir une proposition générale.

Explication

L’inclusion $A \subset E$ signifie que tout élément de $A$ est aussi un élément de $E$. Elle concerne deux ensembles, contrairement à l’appartenance, qui relie un élément à un ensemble.

Explication

Deux ensembles sont égaux si et seulement si chacun est inclus dans l’autre : c’est la double inclusion. Avoir un élément commun ou le même cardinal ne garantit pas que les ensembles contiennent les mêmes éléments.

Explication

Un ensemble fini de cardinal $n$ possède $2^n$ parties ; pour $n=5$, on obtient $2^5=32$. Le nombre $10$ correspondrait par exemple à un choix particulier de sous-ensembles, pas à l’ensemble des parties.

Explication

La fonction indicatrice vaut $1$ pour les éléments appartenant à $A$ et $0$ pour ceux qui n’y appartiennent pas. Ainsi, la condition $x \notin A$ entraîne $1_A(x)=0$.

Explication

Le quantificateur universel $\forall$ exige que $P(x)$ soit vraie pour tous les éléments de $E$. Le quantificateur $\exists$ exprimerait l’existence d’au moins un élément, et non une validité générale.

Explication

$\exists$ signifie qu’au moins un élément vérifie la propriété, tandis que $\exists!$ signifie qu’un seul élément la vérifie. Confondre ces symboles revient à remplacer une condition d’existence par une condition d’unicité.

Explication

La négation d’une propriété vraie pour chaque élément affirme qu’il existe au moins un élément pour lequel elle est fausse. La formule $\forall a \in E,\ \text{non }P(a)$ serait plus forte, car elle nierait la propriété pour tous les éléments.

Explication

Dans $\exists x\ \forall y$, un élément $x$ doit convenir simultanément à tous les $y$. Dans $\forall y\ \exists x$, l’élément choisi peut changer lorsque $y$ change, ce qui rend la seconde condition généralement moins contraignante.

Explication

Une implication échoue lorsque son hypothèse est réalisée mais que sa conclusion ne l’est pas. Cela correspond aussi à l’équivalence logique $P \Rightarrow Q \Leftrightarrow (\text{non }P)\ \text{ou}\ Q$.

Explication

La conjonction $P\ \text{et}\ Q$ contient directement chacune des deux propositions. En revanche, trouver un élément vérifiant $P$ et un autre vérifiant $Q$ ne prouve pas qu’un même élément vérifie les deux propriétés.

Explication

La négation de la conjonction affirme qu’au moins l’une des deux propositions est fausse, d’où $\text{non }P\ \text{ou}\ \text{non }Q$. La formule $\text{non }P\ \text{et}\ \text{non }Q$ exigerait que les deux propositions soient fausses.

Explication

Une récurrence comporte une initialisation, ici $P(0)$, puis une hérédité reliant chaque rang au suivant. L’une de ces deux étapes prise isolément ne permet pas d’établir la propriété pour tous les entiers concernés.

Explication

La contraposée inverse l’ordre des propositions et nie chacune d’elles : $\text{non }Q$ entraîne $\text{non }P$. Elle est logiquement équivalente à l’implication initiale, contrairement à la réciproque $Q\Rightarrow P$.

Explication

Le raisonnement par l’absurde part de la négation de la proposition recherchée et montre que cette hypothèse conduit à une contradiction. La vérification d’exemples ou l’étude de la réciproque ne constitue pas cette méthode.

Explication

Un couple appartient à l’intersection des deux produits si et seulement si sa première composante appartient à $A\cap B$ et sa seconde à $C\cap D$. L’union des produits ne se transforme pas de manière analogue en produit des unions dans tous les cas.

Explication

Un ensemble à trois éléments possède $2^3=8$ parties, notamment l’ensemble vide, les singletons, les paires et $E$ lui-même. Le nombre de parties ne dépend pas de l’ordre dans lequel les éléments sont écrits.

Explication

La classe de $a$ regroupe précisément les éléments $x\in E$ tels que $xRa$. La simple ressemblance ou la non-comparabilité ne définit pas une classe d’équivalence.

Explication

L’ensemble quotient $E/R$ est formé des classes d’équivalence engendrées par les éléments de $E$. Il ne contient donc pas directement les éléments individuels comme le fait $E$.

Explication

Les classes d’équivalence forment une partition de $E$ : chaque élément appartient à une classe et deux classes distinctes ne se recouvrent pas. Elles ne partagent donc pas nécessairement un élément commun.

Explication

La relation $pq'=p'q$ identifie les couples qui représentent la même fraction, ce qui construit $\mathbb Q$ comme ensemble quotient. Les autres relations ne traduisent pas l’égalité usuelle entre fractions $p/q$.