Qu'est-ce qu'une proposition en logique ?
Un énoncé auquel on peut attribuer une valeur vraie ou fausse.
Quand la négation ¬P est-elle vraie ?
Quand P est fausse.
Quelle est la condition de vérité de la disjonction P ∨ Q ?
Au moins une des propositions est vraie.
Quand la conjonction P ∧ Q est-elle fausse ?
Si au moins une des propositions est fausse.
Dans quel cas l'implication P ⇒ Q est-elle fausse ?
Quand P est vraie et Q est fausse.
À quoi est équivalente l'implication P ⇒ Q ?
À (non P) ou Q.
À quoi est équivalente la négation de l'implication P ⇒ Q ?
À P et (non Q).
Comment démontre-t-on une implication par contraposée ?
On démontre l'implication équivalente (non Q) ⇒ (non P).
Quelle est la contraposée de "Si n est impair, alors son chiffre des unités est impair" ?
Si son chiffre des unités est pair, alors n est pair.
Quelle hypothèse fait-on pour démontrer une proposition R par l’absurde ?
On suppose que R est fausse.
Que montre-t-on après avoir supposé R fausse dans une démonstration par l’absurde ?
On montre que cette hypothèse conduit à un résultat faux.
Quelle contradiction utilise-t-on pour montrer qu’il n’existe pas de plus petit réel strictement positif ?
On constate que , ce qui contredit sa définition.
Qu'est-ce qu'un ensemble E ?
Une collection d'objets appelés éléments avec x ∈ E ou x ∉ E vrai pour chaque x.
Quels sont les ensembles usuels présentés ?
N, Z, Q, R, C, R∗, R+, et R−.
Quand A est-il un sous-ensemble de E ?
Si pour tout x, x ∈ A implique x ∈ E.
Quelle condition caractérise l'égalité de deux ensembles A et B ?
A ⊂ B et B ⊂ A, la double inclusion.
Qu'est-ce que le complémentaire de A dans E ?
L'ensemble des éléments de E qui n'appartiennent pas à A.
Quelle est la formule du nombre de parties d'un ensemble fini E de cardinal n ?
Le nombre de parties est .
Que vaut la fonction indicatrice de A relativement à E ?
si x ∈ A, sinon .
Qu'est-ce que le produit cartésien E × F ?
L'ensemble des couples (x,y) avec x ∈ E et y ∈ F.
Que signifie la notation ∀x ∈ E, P(x) ?
P(x) est vraie pour tout élément x de E.
Que signifie le quantificateur ∃! ?
Il existe un unique élément x de E pour lequel P(x) est vraie.
Quelle est la négation de ∀x ∈ E, P(x) ?
∃a ∈ E, non P(a).
Quelle est la négation de ∃a ∈ E, Q(a) ?
∀x ∈ E, non Q(x).
Peut-on échanger deux quantificateurs de même nature ?
Oui, ils peuvent être échangés sans changer le sens.
Pourquoi ∃x ∀y n’a-t-il pas le même sens que ∀y ∃x ?
Parce que l’ordre des quantificateurs change leur signification.
Quelles propriétés caractérisent une relation d’équivalence sur E ?
Elle est réflexive, symétrique et transitive.
Quand une implication logique P ⇒ Q est-elle fausse ?
Elle est fausse uniquement si P est vraie et Q est fausse.
À quoi est équivalente une implication logique P ⇒ Q ?
Elle est équivalente à (non P) ou Q.
Que signifie que (P et Q) implique séparément P et Q ?
Cela signifie que si (P et Q) est vrai, alors P est vrai et Q est vrai.
L’existence de P et l’existence de Q implique-t-elle un élément vérifiant P et Q ?
Non, cela n’implique pas l’existence d’un même élément vérifiant P et Q.
Quelle est la négation de (P et Q) ?
La négation de (P et Q) est (non P) ou (non Q).
Quelle est la négation de (P ou Q) ?
La négation de (P ou Q) est (non P) et (non Q).
Pourquoi l’implication (1 = 2) ⇒ « Tous les nombres sont nuls » est-elle vraie ?
Parce que l’hypothèse fausse rend l’implication vraie.
Quelles étapes comprend un raisonnement par récurrence ?
Montrer que P(0) est vraie et que P(n-1) vraie entraîne P(n) vraie pour n≥1.
Quelle est la contraposée de P ⇒ Q ?
La contraposée est (non Q) ⇒ (non P).
Quelle relation existe entre une proposition et sa contraposée ?
Elles sont équivalentes.
Que suppose un raisonnement par l’absurde ?
Il suppose la proposition à démontrer fausse.
Que cherche-t-on à établir dans un raisonnement par l’absurde ?
Une contradiction.
Quelle est la formule du binôme de Newton ?
Comment s'exprime le coefficient binomial ?
Quelle formule donne la somme des cubes des entiers de 1 à n ?
Quels sont les éléments de l'ensemble des parties de E = {1, 2, 3} ?
∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} et E.
Quelle formule exprime la différence symétrique de deux ensembles A et B ?
.
Quelle égalité relie l'intersection de produits cartésiens (A × C) ∩ (B × D) ?
Elle vaut (A ∩ B) × (C ∩ D).
L'égalité analogue avec l'union pour (A × C) ∩ (B × D) est-elle toujours vraie ?
Non, elle n'est pas toujours vraie.
Quelle formule décrit la différence entre (A × B) et (C × D) si C ⊂ A et D ⊂ B ?
.
Qu'est-ce que la classe d'équivalence d'un élément a pour une relation R ?
L'ensemble ˆa = {x ∈ E | xRa}.
Qu'est-ce que l'ensemble quotient E/R ?
L'ensemble des classes d'équivalence des éléments de E.
Que forment les classes d'équivalence sur E ?
Une partition de E.
Quelles sont les propriétés des classes d'équivalence dans une partition ?
Elles sont deux à deux disjointes et leur réunion est E.
Quelle relation est définie sur E = Z × Z∗ pour construire Q ?
(p,q)R(p′,q′) si pq′ = p′q.
Quel ensemble est obtenu comme ensemble quotient de E = Z × Z∗ avec la relation R ?
L'ensemble des nombres rationnels Q.
Comment sont notés les éléments de Q construits comme ensemble quotient ?
Sous la forme p/q avec q ≠ 0.
Quand dit-on que x et y sont liés par une relation R dans E ?
Lorsque (x,y) appartient à R.
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1. Qu’est-ce qui distingue une proposition logique d’une simple expression ?
2. Si la proposition est vraie, quelle est la valeur de vérité de sa négation ?
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