QCM : Lois des circuits électriques (33 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Une section orientée est traversée par des charges pendant un intervalle dtdt. Concernant le courant électrique défini à travers cette section, quelles propositions sont exactes ?

Le courant est le débit algébrique de charge traversant la section orientée pendant l’intervalle considéré.
La charge élémentaire est celle du proton et vaut 1,602 176 634×10−19 C1{,}602\ 176\ 634 \times 10^{-19}\ \mathrm{C}.
Pour un courant constant ii pendant dtdt, la charge algébrique traversante vaut δq=i dt\delta q=i\,dt.
Le sens réel du courant correspond au déplacement des charges négatives dans le circuit.
Le courant compte positivement les charges allant à l’opposé du sens conventionnel choisi.

Le courant est le débit algébrique de charge traversant la section orientée pendant l’intervalle considéré. · La charge élémentaire est celle du proton et vaut $$1{,}602\ 176\ 634 \times 10^{-19}\ \mathrm{C}$$. · Pour un courant constant $$i$$ pendant $$dt$$, la charge algébrique traversante vaut $$\delta q=i\,dt$$.

Explication

Le courant mesure le débit algébrique de charge, et la charge élémentaire est égale à celle du proton. Pour un courant constant, δq=i dt\delta q=i\,dt ; le sens réel suit les charges positives, tandis que les charges opposées au sens conventionnel sont comptées négativement.

2. Concernant les porteurs de charge et la structure d’un circuit, quelles propositions sont exactes ?

Dans un semi-conducteur comme le silicium, des trous de charge +e+e peuvent transporter le courant.
Dans un métal, les porteurs de charge mobiles sont des électrons libres de charge −e-e.
Une branche correspond à une portion de circuit comprise entre deux nœuds consécutifs.
La charge d’un ion conducteur peut être un multiple entier de la charge élémentaire.
Dans une solution ionique, le courant peut être conduit par des ions positifs ou négatifs.

Dans un semi-conducteur comme le silicium, des trous de charge $$+e$$ peuvent transporter le courant. · Dans un métal, les porteurs de charge mobiles sont des électrons libres de charge $$-e$$. · Une branche correspond à une portion de circuit comprise entre deux nœuds consécutifs. · La charge d’un ion conducteur peut être un multiple entier de la charge élémentaire. · Dans une solution ionique, le courant peut être conduit par des ions positifs ou négatifs.

Explication

Les métaux conduisent par des électrons libres, tandis que les solutions ioniques conduisent par des ions de l’un ou l’autre signe. Dans les semi-conducteurs, les trous de charge +e+e participent au courant ; une branche relie deux nœuds consécutifs, et la charge ionique est un multiple entier de la charge élémentaire.

3. Dans un circuit en régime continu, deux courants arrivent à un nœud et un troisième en repart. Concernant les règles applicables, quelles propositions sont exactes ?

Le régime continu désigne une continuité mathématique des grandeurs électriques variables dans le temps.
Si les courants entrants valent 2 A2\ \mathrm{A} et 3 A3\ \mathrm{A}, le courant sortant vaut 5 A5\ \mathrm{A}.
Le courant conserve la même intensité à travers les différentes sections d’une branche.
Dans la somme algébrique au nœud, un courant entrant reçoit le signe +1+1.
Les grandeurs électriques constantes du régime continu sont notées par des lettres majuscules.

Si les courants entrants valent $$2\ \mathrm{A}$$ et $$3\ \mathrm{A}$$, le courant sortant vaut $$5\ \mathrm{A}$$. · Le courant conserve la même intensité à travers les différentes sections d’une branche. · Dans la somme algébrique au nœud, un courant entrant reçoit le signe $$+1$$. · Les grandeurs électriques constantes du régime continu sont notées par des lettres majuscules.

Explication

En régime continu, les grandeurs sont constantes et notées en majuscules ; le courant est identique le long d’une branche. Au nœud, la somme entrante égale la somme sortante, donc 2+3=5 A2+3=5\ \mathrm{A}, et un courant entrant porte le signe positif. Le terme « régime continu » ne désigne pas la continuité mathématique.

4. Concernant les notions fondamentales associées aux dipôles électriques :

En régime continu, la caractéristique d’un dipôle représente I=f(U)I=f(U) ou U=g(I)U=g(I).
Un dipôle passif laisse passer un courant lorsqu’une tension nulle est imposée à ses bornes.
Un dipôle électrique est relié au reste du circuit par trois bornes principales.
En convention récepteur, les flèches de tension et de courant sont orientées tête-bêche.
Un dipôle est relié au reste du circuit par deux bornes entre lesquelles une tension peut entraîner un courant.

En régime continu, la caractéristique d’un dipôle représente $$I=f(U)$$ ou $$U=g(I)$$. · En convention récepteur, les flèches de tension et de courant sont orientées tête-bêche. · Un dipôle est relié au reste du circuit par deux bornes entre lesquelles une tension peut entraîner un courant.

Explication

Un dipôle possède deux bornes, et une tension entre elles peut provoquer un courant. La convention récepteur place les flèches tête-bêche, tandis que la caractéristique en continu trace I=f(U)I=f(U) ou U=g(I)U=g(I) ; un dipôle passif ne conduit aucun courant sous tension nulle.

5. Un résistor de 4 Ω4\,\Omega est traversé en convention récepteur par un courant de 2 A2\,\mathrm{A}. Parmi les propositions suivantes concernant les lois des dipôles, laquelle ou lesquelles est ou sont exacte(s) ?

La conductance d’un résistor de résistance RR vaut G=RG=R, en siemens.
Dans un condensateur, les charges stockées sur les armatures sont opposées et proportionnelles à la tension.
Un dipôle est linéaire si sa relation entre tension, courant et dérivées est linéaire ou affine.
Pour un condensateur de capacité constante, le courant vaut i=1Cdudti=\frac{1}{C}\frac{du}{dt}.
La tension aux bornes du résistor vaut 8 V8\,\mathrm{V} selon la loi d’Ohm en convention récepteur.

Dans un condensateur, les charges stockées sur les armatures sont opposées et proportionnelles à la tension. · Un dipôle est linéaire si sa relation entre tension, courant et dérivées est linéaire ou affine. · La tension aux bornes du résistor vaut $$8\,\mathrm{V}$$ selon la loi d’Ohm en convention récepteur.

Explication

La loi d’Ohm donne U=RI=4×2=8 VU=RI=4\times2=8\,\mathrm{V}. La linéarité admet une relation linéaire ou affine, et le condensateur stocke des charges opposées selon q=Cuq=Cu ; sa loi de courant est i=Cdudti=C\frac{du}{dt}, tandis que G=1RG=\frac{1}{R}.

6. Une bobine d’inductance constante L=3 HL=3\,\mathrm{H} voit son courant augmenter de 2 A/s2\,\mathrm{A/s}. Concernant les bobines et condensateurs idéaux :

Une inductance est passive, symétrique et linéaire.
La tension aux bornes de la bobine vaut 6 V6\,\mathrm{V} selon la loi de l’inductance.
Un condensateur est un dipôle passif, symétrique et linéaire.
L’intensité traversant une inductance peut présenter une discontinuité mathématique.
La loi de la bobine s’écrit u=1Ldidtu=\frac{1}{L}\frac{di}{dt} pour une inductance constante.

Une inductance est passive, symétrique et linéaire. · La tension aux bornes de la bobine vaut $$6\,\mathrm{V}$$ selon la loi de l’inductance. · Un condensateur est un dipôle passif, symétrique et linéaire.

Explication

La loi u=Ldidtu=L\frac{di}{dt} donne u=3×2=6 Vu=3\times2=6\,\mathrm{V}. Le condensateur et l’inductance sont passifs, symétriques et linéaires ; pour une inductance, le courant est mathématiquement continu, et le facteur de la loi est LL.

7. Un générateur linéaire est décrit par le modèle de Thévenin avec e=12 Ve=12\,\mathrm{V}, R=2 ΩR=2\,\Omega et un courant débité i=3 Ai=3\,\mathrm{A}. Quelles sont les réponses exactes au sujet de ces générateurs ?

Un générateur idéal de courant impose une tension constante quelle que soit l’intensité débitée.
Le modèle de Thévenin associe un générateur idéal de tension en parallèle avec une résistance.
La tension aux bornes du modèle de Thévenin vaut u=6 Vu=6\,\mathrm{V}.
Un générateur idéal de tension maintient u=eu=e quel que soit le courant débité.
Dans le modèle de Thévenin, la relation entre tension et courant est u=e+Riu=e+Ri.

La tension aux bornes du modèle de Thévenin vaut $$u=6\,\mathrm{V}$$. · Un générateur idéal de tension maintient $$u=e$$ quel que soit le courant débité.

Explication

Le modèle de Thévenin donne u=e−Ri=12−2×3=6 Vu=e-Ri=12-2\times3=6\,\mathrm{V}, avec une résistance en série. Un générateur idéal de tension impose u=eu=e ; un générateur idéal de courant impose plutôt une intensité constante, et non une tension constante.

8. Un dispositif échange un travail de 360 J360\ \mathrm{J} en 12 s12\ \mathrm{s}, tandis qu’un autre échange un travail variable. Concernant les puissances moyenne et instantanée :

La puissance moyenne rapporte le travail échangé à la durée de cet échange.
La puissance moyenne du premier dispositif est de 30 W30\ \mathrm{W}.
La puissance instantanée vérifie P=δWdtP=\frac{\delta W}{dt}.
La puissance instantanée s’évalue sur une durée très courte.
Le watt correspond à un joule échangé par seconde.

La puissance moyenne rapporte le travail échangé à la durée de cet échange. · La puissance moyenne du premier dispositif est de $$30\ \mathrm{W}$$. · La puissance instantanée vérifie $$P=\frac{\delta W}{dt}$$. · La puissance instantanée s’évalue sur une durée très courte. · Le watt correspond à un joule échangé par seconde.

Explication

Le calcul donne Pmoy=360/12=30 WP_{\mathrm{moy}}=360/12=30\ \mathrm{W}, et la puissance moyenne est le travail divisé par la durée. Le watt vaut un joule par seconde, tandis que la puissance instantanée correspond à la variation élémentaire du travail par unité de temps, évaluée sur un temps très court.

9. Un dipôle orienté en convention générateur présente une tension u=6 Vu=6\ \mathrm{V} et un courant i=2 Ai=2\ \mathrm{A} ; concernant ses puissances et le travail échangé à puissance constante :

Sa puissance fournie vaut 12 W12\ \mathrm{W} selon la convention générateur.
Sa puissance reçue vaut 12 W12\ \mathrm{W} avec cette orientation générateur.
En convention récepteur, la puissance reçue est l’opposé de uiui.
Sur 3 s3\ \mathrm{s}, son travail échangé vaut 2 J2\ \mathrm{J} si la puissance reste constante.
En convention générateur, la puissance fournie est l’opposé de uiui.

Sa puissance fournie vaut $$12\ \mathrm{W}$$ selon la convention générateur.

Explication

En convention générateur, la puissance fournie vaut ui=6×2=12 Wui=6\times2=12\ \mathrm{W}. La puissance reçue est son opposé, le travail constant sur trois secondes vaut 12×3=36 J12\times3=36\ \mathrm{J}, et en convention récepteur c’est la puissance fournie qui est l’opposé de uiui.

10. Un dipôle reçoit une puissance électrique de −4 W-4\ \mathrm{W} ; un smartphone est ensuite comparé en utilisation et en charge. Quelles propositions sont exactes ?

La charge d’un smartphone peut atteindre environ 500 mW500\ \mathrm{mW}.
Le dipôle présente un caractère générateur puisque sa puissance reçue est négative.
Un dipôle dont la puissance reçue est positive présente un caractère récepteur.
La puissance moyenne est le produit du travail échangé par la durée de l’échange.
Un smartphone consomme environ 500 mW500\ \mathrm{mW} en utilisation.

Le dipôle présente un caractère générateur puisque sa puissance reçue est négative. · Un dipôle dont la puissance reçue est positive présente un caractère récepteur. · Un smartphone consomme environ $$500\ \mathrm{mW}$$ en utilisation.

Explication

Une puissance reçue négative caractérise un dipôle générateur, tandis qu’une puissance reçue positive caractérise un récepteur. La puissance moyenne est le quotient du travail échangé par la durée de l’échange, et non leur produit. Un smartphone consomme environ 500 mW500\ \mathrm{mW} en utilisation et sa puissance en charge peut atteindre 50 W50\ \mathrm{W}, non 500 mW500\ \mathrm{mW}.

11. Parmi ces ordres de grandeur de puissance associés à des équipements électriques, quelles propositions sont exactes ?

Une voiture électrique Zoé consomme environ 65 kW65\ \mathrm{kW}.
Une cuisinière à induction consomme environ 65 kW65\ \mathrm{kW}.
Une tranche de centrale nucléaire produit environ 9 MW9\ \mathrm{MW}.
Un TGV M consomme environ 10 MW10\ \mathrm{MW}.
Un éclairage domestique à LED consomme environ 10 W10\ \mathrm{W}.

Une voiture électrique Zoé consomme environ $$65\ \mathrm{kW}$$. · Un éclairage domestique à LED consomme environ $$10\ \mathrm{W}$$.

Explication

Les valeurs indiquées sont d’environ 10 W10\ \mathrm{W} pour une LED domestique et 65 kW65\ \mathrm{kW} pour une Zoé. La cuisinière à induction vaut environ 2 kW2\ \mathrm{kW}, le TGV M 9 MW9\ \mathrm{MW} et une tranche nucléaire 1 GW1\ \mathrm{GW}.

12. Une résistance de 4 Ω4\ \Omega est parcourue par un courant de 3 A3\ \mathrm{A} et soumise à une tension de 12 V12\ \mathrm{V}. Concernant la puissance qu’elle reçoit :

La puissance reçue calculée avec le courant vaut 36 W36\ \mathrm{W}.
La puissance reçue calculée avec la tension vaut 36 W36\ \mathrm{W}.
La puissance reçue par la résistance peut être négative.
La puissance reçue calculée avec le courant vaut 7 W7\ \mathrm{W}.
La puissance reçue calculée avec la tension vaut 48 W48\ \mathrm{W}.

La puissance reçue calculée avec le courant vaut $$36\ \mathrm{W}$$. · La puissance reçue calculée avec la tension vaut $$36\ \mathrm{W}$$.

Explication

Avec P=Ri2P=Ri^2, on obtient 4×32=36 W4\times3^2=36\ \mathrm{W} ; avec P=u2/RP=u^2/R, on obtient 122/4=36 W12^2/4=36\ \mathrm{W}. La puissance d’une résistance est toujours positive, et les résultats proposés de 7 W7\ \mathrm{W} et 48 W48\ \mathrm{W} ne correspondent pas aux formules.

13. Un radiateur électrique utilise une résistance pour produire de la chaleur. Concernant la conversion énergétique réalisée par cette résistance :

La résistance transforme la puissance thermique reçue en puissance électrique fournie.
La résistance convertit la puissance électrique reçue en diminution de température.
La résistance convertit la puissance électrique reçue en énergie mécanique de rotation.
La résistance convertit la puissance électrique reçue en élévation de température.
La résistance convertit la puissance électrique reçue en énergie lumineuse.

La résistance convertit la puissance électrique reçue en élévation de température.

Explication

Une résistance transforme la puissance électrique qu’elle reçoit en élévation de température, principe exploité par le radiateur. Les conversions en rotation, en refroidissement, en puissance électrique fournie ou en lumière ne décrivent pas le mécanisme indiqué.

14. Un générateur de Thévenin fournit un courant d’intensité ii. Concernant son bilan de puissance :

La puissance fournie par le générateur complet s’écrit ei−Ri2ei-Ri^2.
La puissance fournie par le générateur idéal s’écrit Ri2Ri^2.
La résistance interne entraîne une perte de puissance égale à Ri2Ri^2.
La puissance fournie par le générateur idéal s’écrit eiei, avec ee sa force électromotrice.
La puissance dissipée dans la résistance interne contribue au bilan par +Ri2+Ri^2.

La puissance fournie par le générateur complet s’écrit $$ei-Ri^2$$. · La résistance interne entraîne une perte de puissance égale à $$Ri^2$$. · La puissance fournie par le générateur idéal s’écrit $$ei$$, avec $$e$$ sa force électromotrice.

Explication

Le générateur idéal fournit la puissance eiei et la résistance interne occasionne une perte de Ri2Ri^2, d’où le bilan P=ei−Ri2P=ei-Ri^2. La contribution de cette résistance est donc négative dans le bilan, et non positive ou égale à la puissance du générateur idéal.

15. Dans un circuit, vous devez appliquer le théorème de Millman pour obtenir le potentiel d’un nœud. Parmi les propositions suivantes, lesquelles sont exactes ?

Les tensions imposées par rapport à la masse permettent d’identifier des potentiels connus.
Deux points reliés par un fil doivent être traités comme deux nœuds distincts.
Dans l’exemple du nœud B, la résistance reliant A à B vaut 20 Ω.
Dans l’exemple avec le nœud B, le potentiel calculé est de 14,6 V.
La masse sert de référence pour définir les potentiels des différents nœuds du circuit.

Les tensions imposées par rapport à la masse permettent d’identifier des potentiels connus. · Dans l’exemple avec le nœud B, le potentiel calculé est de 14,6 V. · La masse sert de référence pour définir les potentiels des différents nœuds du circuit.

Explication

La masse fixe la référence des potentiels, et les tensions imposées permettent d’en déduire certains. Dans l’exemple décrit, Millman donne bien VB=14,6 VV_B=14,6\,\text{V} ; les points reliés par un fil forment un même nœud et la résistance entre A et B vaut 5 Ω, non 20 Ω.

16. Un amplificateur opérationnel idéal est rebouclé de la sortie à l’entrée inverseuse sans passer par la masse. Parmi les propositions suivantes, lesquelles sont exactes ?

La loi des nœuds s’applique à la sortie, même si le courant sortant est inconnu.
La tension de sortie peut atteindre une valeur absolue supérieure à VsatV_{sat} en régime linéaire.
En régime linéaire, les courants entrant dans les deux entrées sont nuls.
La loi des nœuds s’applique à la masse malgré le courant injecté par l’alimentation.
Dans ce montage, la tension différentielle vaut VsatV_{sat} en régime linéaire.

En régime linéaire, les courants entrant dans les deux entrées sont nuls.

Explication

Le rebouclage indiqué permet le régime linéaire idéal : les courants d’entrée sont nuls, la tension différentielle est nulle et ∣vs∣<Vsat|v_s|<V_{sat}. La loi des nœuds ne s’applique ni à la sortie, où un courant inconnu sort, ni à la masse, où l’alimentation injecte du courant.

17. Concernant le passage d’une tranche infinitésimale à l’équation de la résistance répartie :

Entre xx et x+dxx+dx, la récurrence utilise Req(x+dx)R_{\mathrm{eq}}(x+dx) au numérateur avec ρ dx\rho\,dx ajouté.
La résistance linéique totale du câble s’obtient par la différence ρ=ρ1−ρ2\rho=\rho_1-\rho_2.
Dans la récurrence spatiale, le dénominateur est 1+gReq(x)dx1+gR_{\mathrm{eq}}(x)dx, évalué à l’entrée de la tranche.
L’association de la tranche terminale et de la fuite conduit à une fraction dont le dénominateur vaut 1+g(R+ρ dx)dx1+g(R+\rho\,dx)dx.
Le développement limité au premier ordre conduit à dReqdx=−ρ+gReq2\frac{dR_{\mathrm{eq}}}{dx}=-\rho+gR_{\mathrm{eq}}^2.

Entre $$x$$ et $$x+dx$$, la récurrence utilise $$R_{\mathrm{eq}}(x+dx)$$ au numérateur avec $$\rho\,dx$$ ajouté. · L’association de la tranche terminale et de la fuite conduit à une fraction dont le dénominateur vaut $$1+g(R+\rho\,dx)dx$$. · Le développement limité au premier ordre conduit à $$\frac{dR_{\mathrm{eq}}}{dx}=-\rho+gR_{\mathrm{eq}}^2$$.

Explication

La tranche terminale donne le dénominateur indiqué, et la récurrence en x porte sur la valeur aval Req(x+dx)R_{\mathrm{eq}}(x+dx). Le développement limité mène à l’équation différentielle donnée ; en revanche, ρ=ρ1+ρ2\rho=\rho_1+\rho_2 et la récurrence n’évalue pas le dénominateur en x.

18. Pour un câble de paramètres positifs ρ\rho et gg, quelles propositions caractérisent correctement ses échelles ?

La longueur caractéristique est définie par d=ρgd=\sqrt{\frac{\rho}{g}}.
La valeur de R0R_0 dépend de la longueur totale LL du câble selon R0=ρgLR_0=\sqrt{\frac{\rho}{gL}}.
Avec ces valeurs, la longueur caractéristique est d=5 md=5\,\mathrm{m}.
Si ρ=100 Ω/m\rho=100\,\Omega/\mathrm{m} et g=0,04 S/mg=0{,}04\,\mathrm{S}/\mathrm{m}, alors R0=50 ΩR_0=50\,\Omega.
La résistance caractéristique s’écrit R0=gρR_0=\sqrt{\frac{g}{\rho}}, avec ces paramètres linéiques.

Si $$\rho=100\,\Omega/\mathrm{m}$$ et $$g=0{,}04\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$$, alors $$R_0=50\,\Omega$$.

Explication

La définition donne R0=ρ/gR_0=\sqrt{\rho/g}, soit 100/0,04=50 Ω\sqrt{100/0{,}04}=50\,\Omega dans ce cas. La longueur est d=1/(ρg)d=\sqrt{1/(\rho g)}, soit 0,5 m0{,}5\,\mathrm{m}, et non les valeurs ou dépendances proposées dans les autres affirmations.

19. Un modèle de câble utilise R0=60 ΩR_0=60\,\Omega et d=2 md=2\,\mathrm{m} ; parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont exactes ?

Les paramètres du câble vérifient R0=gρR_0=\sqrt{\frac{g}{\rho}} et d=1ρgd=\sqrt{\frac{1}{\rho g}}.
La résistance linéique est reliée aux paramètres par ρ=R0d\rho=R_0d.
La solution proposée comporte au dénominateur la différence des termes exponentiels dans l’ordre opposé à leur numérateur.
Dans l’équation différentielle, le dénominateur du second membre est R0/dR_0/d.
L’équation différentielle s’écrit dReqdx=Req2−R02R0d\frac{dR_{\mathrm{eq}}}{dx}=\frac{R_{\mathrm{eq}}^2-R_0^2}{R_0d}.

L’équation différentielle s’écrit $$\frac{dR_{\mathrm{eq}}}{dx}=\frac{R_{\mathrm{eq}}^2-R_0^2}{R_0d}$$.

Explication

L’équation différentielle est bien dReq/dx=(Req2−R02)/(R0d)dR_{\mathrm{eq}}/dx=(R_{\mathrm{eq}}^2-R_0^2)/(R_0d). Les définitions donnent R0=ρ/gR_0=\sqrt{\rho/g}, la solution possède le dénominateur tel qu’écrit dans l’unité, et le dénominateur de l’équation est le produit R0dR_0d.

20. Un générateur est connecté à un câble de longueur LL terminé par une résistance RR ; cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

La résistance d’entrée s’obtient en évaluant la solution en x=Lx=L, ce qui fait intervenir eL/de^{L/d}.
À l’entrée, le terme associé à R−R0R-R_0 est multiplié par eL/de^{L/d} dans la formule de la résistance vue.
La résistance d’entrée s’obtient en évaluant la solution en x=0x=0, avec les exponentielles eL/de^{L/d} et e−L/de^{-L/d}.
À l’extrémité du câble, la résistance équivalente vaut R0R_0, indépendamment de la charge raccordée.
À l’extrémité du câble, la valeur de la résistance équivalente rejoint la résistance terminale RR.

La résistance d’entrée s’obtient en évaluant la solution en $$x=0$$, avec les exponentielles $$e^{L/d}$$ et $$e^{-L/d}$$. · À l’extrémité du câble, la valeur de la résistance équivalente rejoint la résistance terminale $$R$$.

Explication

À l’entrée, la formule se calcule en x=0x=0 et fait intervenir eL/de^{L/d} et e−L/de^{-L/d}. À l’extrémité, la condition est Req(L)=RR_{\mathrm{eq}}(L)=R ; le terme en R−R0R-R_0 porte alors l’exponentielle négative dans la formule d’entrée.

21. Pour approximer dudt=f(u,t)\frac{du}{dt}=f(u,t) avec u(0)=u0u(0)=u_0 et un pas hh, quelles étapes relèvent de la méthode d’Euler ?

La première mise à jour utilise u1=u0+hf(u0,0)u_1=u_0+h f(u_0,0).
La mise à jour évalue la dérivée en un+1u_{n+1} et tn+1t_{n+1} avant de calculer cette valeur.
Les temps sont initialisés à t0=0t_0=0, puis avancent selon tn+1=tn+ht_{n+1}=t_n+h.
À chaque étape, l’incrément de unu_n est calculé avec f(un,tn)f(u_n,t_n).
Pour un pas fixé, la méthode utilise un+1=un+f(un,tn)/hu_{n+1}=u_n+f(u_n,t_n)/h.

La première mise à jour utilise $$u_1=u_0+h f(u_0,0)$$. · Les temps sont initialisés à $$t_0=0$$, puis avancent selon $$t_{n+1}=t_n+h$$. · À chaque étape, l’incrément de $$u_n$$ est calculé avec $$f(u_n,t_n)$$.

Explication

Euler part de t0=0t_0=0 et de la condition initiale, puis utilise tn+1=tn+ht_{n+1}=t_n+h et un+1=un+hf(un,tn)u_{n+1}=u_n+h f(u_n,t_n). La mise à jour emploie donc les valeurs de l’étape courante, et le pas multiplie la dérivée au lieu de diviser celle-ci.

22. Un système évolue sur un temps caractéristique de 2 s. Concernant le choix du pas temporel pour la méthode d’Euler :

Pour le circuit RC décrit, la constante de temps est le produit de R par C.
Dans le circuit RC décrit, la constante de temps vaut le rapport de C par R.
Un pas temporel doit être choisi en fonction de la dynamique caractéristique du système.
Un pas de 20 ms correspond à un millième du temps caractéristique considéré.
Un pas de 2 ms constitue un choix adapté à cette échelle temporelle.

Pour le circuit RC décrit, la constante de temps est le produit de R par C. · Un pas temporel doit être choisi en fonction de la dynamique caractéristique du système. · Un pas de 2 ms constitue un choix adapté à cette échelle temporelle.

Explication

Un millième de 2 s vaut 2 ms, et le pas doit suivre l’échelle d’évolution. Pour le circuit RC, la constante de temps est τ=RC\tau=RC ; 20 ms représente un centième de 2 s, tandis que C/RC/R n’est pas la constante de temps.

23. Dans un circuit RC soumis à une tension sinusoïdale de période 400 μs, que peut-on prévoir après le régime transitoire ?

La tension du condensateur acquiert une période égale à la constante de temps.
Dans l’exemple considéré, le pas temporel est égal à 400 μs divisées par 1 000.
La tension du condensateur devient sinusoïdale avec la même période que l’entrée.
Pour une entrée de période 400 μs, la fréquence vaut 400 Hz.
Avec une constante de temps de 66 μs, le pas choisi vaut 66 μs.

La tension du condensateur devient sinusoïdale avec la même période que l’entrée.

Explication

La tension du condensateur devient rapidement sinusoïdale et conserve la période de l’entrée. Le pas de l’exemple vaut 66 μs/100066\,\mu\mathrm{s}/1000, non 66 μs ni 400 μs/1000 ; une période de 400 μs correspond à une fréquence de 2 500 Hz, pas 400 Hz.

24. Un calcul numérique est repris avec un pas dix fois plus petit. Quelles conclusions concernant Euler et Runge-Kutta d’ordre 4 sont exactes ?

Runge-Kutta d’ordre 4 utilise trois valeurs intermédiaires pour avancer d’un pas.
La fonction scipy.integrate.odeint reçoit les valeurs numériques déjà calculées comme argument initial.
Pour Runge-Kutta d’ordre 4, l’erreur est alors divisée par dix mille.
La méthode d’Euler a une erreur qui varie comme la quatrième puissance du pas.
Pour Euler, l’erreur est alors divisée approximativement par dix, avec dix fois plus de calculs.

Pour Runge-Kutta d’ordre 4, l’erreur est alors divisée par dix mille. · Pour Euler, l’erreur est alors divisée approximativement par dix, avec dix fois plus de calculs.

Explication

L’erreur d’Euler est proportionnelle à hh : diviser le pas par dix réduit l’erreur d’un facteur dix et multiplie approximativement les calculs par dix. Runge-Kutta d’ordre 4 a une erreur en h4h^4, donc la réduction est d’un facteur 10410^4 ; elle emploie quatre valeurs intermédiaires, et odeint reçoit la dérivée, les conditions initiales et le tableau des instants.

25. Pour résoudre numériquement une équation différentielle avec scipy.integrate.odeint, quelle(s) proposition(s) est(sont) exacte(s) ?

Après extinction du générateur, le courant dans le circuit RL suit une croissance exponentielle.
La fonction dérivée renvoie les valeurs des inconnues, tandis que les dérivées sont fournies en conditions initiales.
Après extinction du générateur, le courant initial vaut I0R1R1+R2I_0\frac{R_1}{R_1+R_2}.
La fonction dérivée reçoit d’abord le temps, puis la liste des inconnues.
On fournit la fonction dérivée, les conditions initiales et les instants souhaités.

On fournit la fonction dérivée, les conditions initiales et les instants souhaités.

Explication

Odeint reçoit la fonction dérivée, la liste des conditions initiales et le tableau des temps ; la dérivée reçoit la liste des inconnues puis le temps et renvoie les dérivées. Dans le cas RL décrit, le courant initial vaut I0R2R1+R2I_0\frac{R_2}{R_1+R_2} et sa décroissance est exponentielle.

26. Un circuit RLC série est caractérisé par L, C et R. Concernant ses paramètres et l’équation canonique associée :

Le facteur de qualité Q est sans dimension dans l’équation canonique.
Dans l’équation canonique, le coefficient de la dérivée première est ω0/Q\omega_0/Q.
Son facteur de qualité vaut Q=RL/CQ=R\sqrt{L/C}.
Dans la forme canonique homogène, le terme en f est multiplié par ω0\omega_0.
Sa pulsation propre est donnée par ω0=1LC\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}.

Le facteur de qualité Q est sans dimension dans l’équation canonique. · Dans l’équation canonique, le coefficient de la dérivée première est $$\omega_0/Q$$. · Sa pulsation propre est donnée par $$\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$$.

Explication

Pour un RLC série, ω0=1/LC\omega_0=1/\sqrt{LC} et l’équation canonique comporte le coefficient ω0/Q\omega_0/Q devant la dérivée première ; Q est sans dimension. La formule du facteur de qualité est Q=(1/R)L/CQ=(1/R)\sqrt{L/C}, et le coefficient de f est ω02\omega_0^2.

27. Un circuit LC idéal est initialement sans charge ni courant, puis soumis à un échelon constant E. Quelle(s) proposition(s) est(sont) exacte(s) ?

Dans l’équation du RLC série, le terme de forçage est ω0e(t)\omega_0 e(t).
La pulsation intervenant dans la réponse du circuit LC est le facteur de qualité Q.
La tension initiale du condensateur est égale à E après l’application de l’échelon.
La tension du condensateur suit uC(t)=E−Ecos⁡(ω0t)u_C(t)=E-E\cos(\omega_0t).
Le terme d’amortissement dans l’équation du RLC série est ω0QduCdt\frac{\omega_0}{Q}\frac{du_C}{dt}.

La tension du condensateur suit $$u_C(t)=E-E\cos(\omega_0t)$$. · Le terme d’amortissement dans l’équation du RLC série est $$\frac{\omega_0}{Q}\frac{du_C}{dt}$$.

Explication

Avec les conditions initiales précisées, la réponse du LC idéal est uC(t)=E−Ecos⁡(ω0t)u_C(t)=E-E\cos(\omega_0t). Dans le RLC série, le terme d’amortissement est ω0QduCdt\frac{\omega_0}{Q}\frac{du_C}{dt} ; la tension initiale vaut zéro, le forçage est ω02e(t)\omega_0^2e(t) et la réponse dépend de la pulsation propre ω0\omega_0.

28. Un circuit amorti est réglé au voisinage de son régime critique, avec Q>0Q>0 ; quelles propositions sont exactes ?

Au régime critique, les solutions homogènes ont la forme (At+B)e−ω0t(At+B)e^{-\omega_0t}.
Pour Q>3Q>3, le nombre d’oscillations avant stabilisation est approximativement égal à QQ.
Son retour à l’équilibre est le plus rapide au voisinage du régime critique.
Au régime critique positif, le discriminant vérifie Δ<0\Delta<0.
Pour Q>3Q>3, la pseudo-pulsation vaut ω=ω01−1Q2\omega=\omega_0\sqrt{1-\frac{1}{Q^2}}.

Au régime critique, les solutions homogènes ont la forme $$(At+B)e^{-\omega_0t}$$. · Pour $$Q>3$$, le nombre d’oscillations avant stabilisation est approximativement égal à $$Q$$. · Son retour à l’équilibre est le plus rapide au voisinage du régime critique.

Explication

Au régime critique, les solutions homogènes sont de la forme (At+B)e−ω0t(At+B)e^{-\omega_0t}, et le retour à l’équilibre est le plus rapide au voisinage de ce régime. Le discriminant y est nul, et non négatif. Pour Q>3Q>3, le nombre d’oscillations avant stabilisation est environ QQ. La pseudo-pulsation en régime pseudo-périodique vaut ω=ω01−14Q2\omega=\omega_0\sqrt{1-\frac{1}{4Q^2}}.

29. Pour étudier la stabilité, on considère une équation différentielle linéaire à coefficients constants d’ordre 2 dont le premier membre est af′′+bf′+cfa f''+b f'+c f, avec a,b,c>0a,b,c>0 : quelles propositions sont exactes ?

Un régime transitoire stable tend vers l’infini, éventuellement en oscillant.
Le critère de stabilité s’applique aux équations linéaires à coefficients constants d’ordre 2.
L’équation est stable puisque les coefficients de son premier membre sont de même signe.
Un régime transitoire stable tend vers zéro au cours du temps.
Le critère exige que les coefficients du premier membre soient de signes différents.

Le critère de stabilité s’applique aux équations linéaires à coefficients constants d’ordre 2. · L’équation est stable puisque les coefficients de son premier membre sont de même signe. · Un régime transitoire stable tend vers zéro au cours du temps.

Explication

Les coefficients a,b,ca,b,c sont tous positifs, donc le critère de stabilité d’ordre 2 est satisfait. Un système stable voit son régime transitoire tendre vers zéro ; une divergence vers l’infini caractérise l’instabilité, et des signes différents ne satisfont pas le critère.

30. Un circuit RLC série a pour inductance L=20 mHL=20\,\mathrm{mH} et capacité C=100 nFC=100\,\mathrm{nF}. À propos de sa période propre, quelles propositions sont exactes ?

La période propre s’obtient en divisant LC\sqrt{LC} par 2π2\pi.
La période propre sert à fixer l’échelle temporelle de la simulation numérique.
La période propre se calcule avec la racine carrée du produit de L et C.
La période propre est donnée par T0=πLCT_0=\pi\sqrt{LC} pour ce circuit.
La formule de la période propre comporte un facteur 2π2\pi devant LC\sqrt{LC}.

La période propre sert à fixer l’échelle temporelle de la simulation numérique. · La période propre se calcule avec la racine carrée du produit de L et C. · La formule de la période propre comporte un facteur $$2\pi$$ devant $$\sqrt{LC}$$.

Explication

Pour un RLC série, T0=2πLCT_0=2\pi\sqrt{LC} : la formule dépend de la racine de LCLC et comporte le facteur 2π2\pi. Cette période fournit une durée caractéristique pour la simulation ; les autres expressions modifient incorrectement le facteur numérique.

31. Pour simuler par Euler un RLC décrit par une équation du second ordre, quelles propositions sont exactes ?

Un pas temporel de T0/1000T_0/1000 et une durée de 15T015T_0 correspondent au script d’Euler présenté.
Avec E=5 VE=5\,\mathrm{V}, R=70 ΩR=70\,\Omega, L=20 mHL=20\,\mathrm{mH} et C=100 nFC=100\,\mathrm{nF}, on reprend les paramètres du circuit étudié.
Pour le circuit étudié, la période propre s’obtient par T0=2πRCT_0=2\pi\sqrt{RC}.
La transformation en deux équations du premier ordre supprime la nécessité de suivre la tension du condensateur.
On introduit la dérivée première comme variable pour obtenir deux équations du premier ordre.

Un pas temporel de $$T_0/1000$$ et une durée de $$15T_0$$ correspondent au script d’Euler présenté. · Avec $$E=5\,\mathrm{V}$$, $$R=70\,\Omega$$, $$L=20\,\mathrm{mH}$$ et $$C=100\,\mathrm{nF}$$, on reprend les paramètres du circuit étudié. · On introduit la dérivée première comme variable pour obtenir deux équations du premier ordre.

Explication

La méthode d’Euler requiert de ramener l’équation du second ordre à deux équations du premier ordre en introduisant la dérivée première. Le circuit considéré utilise les valeurs indiquées et est simulé sur 15T015T_0 avec un pas de T0/1000T_0/1000 ; la période propre dépend de LCLC, et la tension reste une inconnue suivie.

32. Dans une itération d’Euler pour le circuit RLC, comment s’effectuent la mise à jour et le stockage des variables ?

Les conditions initiales utilisées sont uC(0)=0u_C(0)=0 et uC′(0)=1 V s−1u'_C(0)=1\,\mathrm{V\,s^{-1}}.
Le temps suivant est obtenu en ajoutant le pas temporel au temps courant.
Les tableaux peuvent stocker le temps, la tension du condensateur et sa dérivée.
La dérivée est mise à jour à partir de la dérivée première multipliée par le pas.
La tension suivante s’obtient en ajoutant au temps courant le pas multiplié par la dérivée seconde.

Les conditions initiales utilisées sont $$u_C(0)=0$$ et $$u'_C(0)=1\,\mathrm{V\,s^{-1}}$$. · Le temps suivant est obtenu en ajoutant le pas temporel au temps courant. · Les tableaux peuvent stocker le temps, la tension du condensateur et sa dérivée.

Explication

À chaque itération, le temps avance d’un pas, puis la tension est mise à jour à partir de sa dérivée et cette dernière à partir de la dérivée seconde. Les tableaux stockent les trois variables et les conditions initiales données sont uC(0)=0u_C(0)=0 et uC′(0)=1 V s−1u'_C(0)=1\,\mathrm{V\,s^{-1}}.

33. Pour les paramètres du circuit étudié, un régime devient apériodique lorsque la résistance dépasse environ 894 Ω894\,\Omega. Quelles propositions sont exactes ?

Le régime apériodique apparaît lorsque le discriminant devient négatif pour ces paramètres.
Avec odeint, la fonction de dérivée renvoie la seule dérivée seconde du circuit.
Avec odeint, la fonction reçoit la liste des inconnues et le temps, puis renvoie les dérivées.
Le discriminant utilisé pour ce circuit s’écrit Δ=R2C2−4LC\Delta=R^2C^2-4LC.
Pour les solutions oscillantes, le pas d’Euler est choisi au plus égal à T0/1000T_0/1000.

Avec odeint, la fonction reçoit la liste des inconnues et le temps, puis renvoie les dérivées. · Le discriminant utilisé pour ce circuit s’écrit $$\Delta=R^2C^2-4LC$$. · Pour les solutions oscillantes, le pas d’Euler est choisi au plus égal à $$T_0/1000$$.

Explication

Le discriminant du circuit vaut R2C2−4LCR^2C^2-4LC et le seuil apériodique est associé ici à une résistance supérieure à environ 894 Ω894\,\Omega. Pour les solutions oscillantes, le pas d’Euler ne dépasse pas T0/1000T_0/1000. Contrairement à la fonction d’Euler qui calcule la dérivée seconde, la fonction transmise à odeint renvoie la liste des dérivées.

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Quelle valeur possède la charge élémentaire ee ?

1,602 176 634×10−19 C1{,}602\ 176\ 634 \times 10^{-19}\ \mathrm{C}.

Comment définit-on le courant électrique à travers une section orientée ?

Le débit algébrique des charges qui traversent cette section.

Dans quel sens se déplacent les charges négatives par rapport au courant réel ?

En sens opposé au courant réel.

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Consultez la fiche de révision complète sur Lois des circuits électriques.

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