Fiche de révision : Lois des circuits électriques

📋 Plan du Cours

1. Courant électrique et loi des nœuds
2. Potentiel et lois des tensions
3. Dipôles et composants fondamentaux
4. Puissance électrique
5. Puissance des résistances et générateurs
6. Énergie stockée dans les dipôles
7. Lois de Pouillet et Millman
8. Superposition et point de fonctionnement
9. Amplificateur opérationnel idéal
10. Résistance répartie d’un câble coaxial
11. Résistance équivalente du câble coaxial
12. Méthodes numériques pour les équations différentielles
13. Méthodes numériques avancées
14. RLC série et oscillations libres
15. Régimes du circuit RLC amorti
16. Énergie et stabilité des circuits
17. Simulation numérique des circuits d’ordre deux
18. Régimes transitoires et précision numérique

📖 1. Courant électrique et loi des nœuds

🔑 Notions clés & Définitions

• Charge élémentaire : égale à la charge du proton et à l’opposé de celle de l’électron, vaut $e = 1{,}602\ 176\ 634 \times 10^{-19}\ \mathrm{C}$.
• Courant électrique : débit algébrique de charges qui la traversent, défini par $i = \frac{\delta q}{dt}$, où les charges allant dans le sens conventionnel sont comptées positivement et celles allant en sens opposé négativement.
• Régime continu : mode de fonctionnement où toutes les grandeurs électriques sont constantes, et ces grandeurs sont alors notées par des lettres majuscules.
• ARQS : approximation qui consiste à appliquer les lois du régime continu à des signaux qui ne varient pas trop rapidement ; elle est valable lorsque les temps de variation sont grands devant le temps de parcours de la lumière dans le circuit.
• Nœud : portion de circuit où plusieurs fils se rejoignent.
• Branche : portion de circuit comprise entre deux nœuds consécutifs.

★ À maîtriser

📌 Le sens réel du courant est le sens de déplacement des charges positives ; des charges négatives se déplacent donc en sens opposé au courant réel.

• En régime continu, le courant est identique à travers toutes les sections d’une même branche.

• En régime continu, la somme des intensités qui arrivent à un nœud est égale à la somme des intensités qui en partent, soit $\sum_k \epsilon_k I_k = 0$ avec $\epsilon_k=+1$ pour un courant dirigé vers le nœud et $\epsilon_k=-1$ sinon.

• Pour un circuit de taille $\ell$ fonctionnant à la fréquence $f$, l’ARQS est valable si $\ell \ll \frac{c}{f}=\lambda$, c’est-à-dire si le circuit est petit devant la longueur d’onde de la lumière.

• Dans l’ARQS, la loi des nœuds reste valable et s’écrit $\sum_k \epsilon_k i_k=0$, avec $\epsilon_k=+1$ pour un courant dirigé vers le nœud et $\epsilon_k=-1$ sinon.

Compléments

• En un temps $dt$, la charge algébrique qui traverse une section vaut $\delta q = i\,dt$.

• Dans les métaux, les porteurs de charge sont des électrons libres de charge $-e$, tandis que dans les solutions ioniques, le courant est conduit par des ions positifs ou négatifs dont la charge est un multiple entier de la charge élémentaire.

• Dans les semi-conducteurs comme le silicium, le courant peut être porté par des électrons et par des trous de charge $+e$, correspondant à des manques d’électrons.

• Pour un circuit de taille maximale d’environ $2\ \mathrm{m}$, le temps de parcours de la lumière est d’environ $10\ \mathrm{ns}$ ; les variations ne doivent donc pas se produire en moins d’environ $100\ \mathrm{ns}$, ce qui correspond à une fréquence inférieure à $10\ \mathrm{MHz}$ en régime sinusoïdal.

💡 Astuce mémo

Courant conventionnel : sens choisi ; courant réel : sens des charges positives

📖 2. Potentiel et lois des tensions

🔑 Notions clés & Définitions

• Potentiel électrique : grandeur dépendant de la position, notée $v$ et exprimée en volts ; les charges positives sont attirées vers les potentiels bas et les charges négatives vers les potentiels élevés.
• Tension : différence de potentiel $u_{AB}=v_A-v_B$.
• Masse : point de potentiel nul, dont la position peut être choisie.
• Maille : ensemble de branches qui forme un circuit fermé.

★ À maîtriser

• Les tensions vérifient la relation d’additivité $u_{AB}+u_{BC}=u_{AC}$.

• Dans une maille orientée, la somme des tensions orientées est nulle : $\sum_k \epsilon_k u_k=0$, avec $\epsilon_k=+1$ si la tension est orientée dans le sens de parcours de la maille et $\epsilon_k=-1$ sinon.

• En régime continu ou dans l’ARQS, la tension aux bornes d’un fil idéal est nulle et ses deux extrémités sont au même potentiel.

Compléments

• Le potentiel est défini à une constante près : ajouter la même valeur à tous les potentiels ne change pas les différences de potentiel.

• La loi des mailles peut s’appliquer à une boucle virtuelle de tensions, même si aucun fil ne forme réellement cette maille.

📖 3. Dipôles et composants fondamentaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Dipôle électrique : portion de circuit reliée au reste du circuit par deux bornes, entre lesquelles une tension peut provoquer la circulation d’un courant.
• Dipôle passif : dipôle qui ne laisse passer aucun courant lorsqu’une tension nulle est imposée à ses bornes ; sinon, il est actif.
• Dipôle linéaire : dipôle dont la relation entre tension, courant et leurs dérivées est linéaire ou affine.
• Condensateur : dipôle constitué de deux armatures métalliques qui stockent des charges opposées $+q$ et $-q$, proportionnelles à la tension selon $q=Cu$, où $C$ est la capacité en farads.
• Inductance : enroulement de fil modélisé par une inductance de valeur $L$, dont la loi est $u=L\frac{di}{dt}$, avec $L$ exprimée en henrys.
• Générateur idéal de tension : générateur qui impose une tension constante $u=e$ à ses bornes, quel que soit le courant débité ; $e$ est sa force électromotrice ou tension en circuit ouvert.
• Générateur idéal de courant : générateur qui débite une intensité constante $i=i_{cc}$ quelle que soit la tension à ses bornes ; $i_{cc}$ est son courant de court-circuit.
• Modèle de Thévenin : représentation d’un générateur linéaire par un générateur idéal de tension de force électromotrice $e$ en série avec une résistance $R$, selon $u=e-Ri$.
• Caractéristique d’un dipôle : tracé de $I=f(U)$ ou de $U=g(I)$ en régime continu.
• Dipôle symétrique : dipôle dont la loi reste vraie lorsqu’on change simultanément les signes de sa tension et de son courant ; sinon, il est polarisé.
• Résistor : modélisation d’une portion quelconque de conducteur électrique.

📝 Points essentiels

📌 En convention récepteur, les flèches de tension et de courant d’un dipôle sont tête-bêche ; en convention générateur, elles sont dans le même sens.

📐 Formule - En convention récepteur, la loi d’Ohm d’un résistor est $U=R I$, ou $I=G U$, où $G=\frac{1}{R}$ est la conductance en siemens et $R$ la résistance en ohms.

📐 Formule - Pour un condensateur de capacité constante, le courant vérifie $i=C\frac{du}{dt}$.

• Un condensateur est passif, symétrique et linéaire ; sa tension est toujours mathématiquement continue.

• Une inductance est passive, symétrique et linéaire ; l’intensité qui la traverse est toujours mathématiquement continue.

📖 4. Puissance électrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance moyenne : quotient du travail échangé par la durée de l’échange, soit $P_{\mathrm{moy}}=\frac{W}{\Delta t}$, et s’exprime en watts, avec $1\ \mathrm{W}=1\ \mathrm{J}\,\mathrm{s}^{-1}$.
• Puissance instantanée : puissance moyenne évaluée sur un temps très court et vérifie $P=\frac{\delta W}{dt}$.
• Caractère récepteur : Un dipôle est récepteur si la puissance qu’il reçoit est positive et générateur dans le cas contraire.

★ À maîtriser

📌 Pour un dipôle orienté en convention récepteur, la puissance reçue vaut $P_{\mathrm{reçue}}=ui$ et la puissance fournie est son opposé ; en convention générateur, la puissance fournie vaut $P_{\mathrm{fournie}}=ui$ et la puissance reçue est son opposé.

Compléments

📐 Formule - Le travail échangé entre les instants $t_1$ et $t_2$ vaut $W_{t_1\to t_2}=\int_{t_1}^{t_2}P\,dt$ et, si la puissance est constante, $W_{t_1\to t_2}=P(t_2-t_1)$.

• La puissance consommée par un smartphone est d’environ $500\ \mathrm{mW}$ en utilisation et peut atteindre $50\ \mathrm{W}$ en charge.

• Les puissances usuelles indiquées comprennent environ $10\ \mathrm{W}$ pour un éclairage LED domestique, $2\ \mathrm{kW}$ pour une cuisinière à induction, $65\ \mathrm{kW}$ pour une voiture électrique Zoé, $9\ \mathrm{MW}$ pour un TGV M, $10\ \mathrm{MW}$ pour une éolienne et $1\ \mathrm{GW}$ pour une tranche de centrale nucléaire.

💡 Astuce mémo

Récepteur : puissance reçue positive ; générateur : puissance fournie positive

📖 5. Puissance des résistances et générateurs

📝 Points essentiels

📐 Formule - La puissance reçue par une résistance vaut $P=Ri^2=\frac{u^2}{R}$ et elle est toujours positive.

• Une résistance convertit la puissance électrique reçue en élévation de température, principe utilisé par un radiateur.

📐 Formule - La puissance fournie par un générateur de Thévenin vaut $P=ei-Ri^2$, où $ei$ est la puissance fournie par le générateur idéal et $-Ri^2$ la puissance perdue dans sa résistance interne.

💡 Astuce mémo

Résistance → échauffement

📖 6. Énergie stockée dans les dipôles

★ À maîtriser

• Un condensateur ou une bobine peut recevoir de l’énergie, la stocker, puis la restituer ; son caractère peut donc être récepteur ou générateur.

📐 Formule - Un condensateur de capacité $C$ soumis à une tension $u$ stocke l’énergie $E_C=\frac{1}{2}Cu^2=\frac{q^2}{2C}$.

📐 Formule - Une inductance $L$ parcourue par un courant $i$ stocke l’énergie $E_L=\frac{1}{2}Li^2$.

• Pour deux générateurs de Thévenin en parallèle, la loi des nœuds et les lois de chaque générateur conduisent à une fem équivalente $E=\frac{R_1E_2+R_2E_1}{R_1+R_2}$ et à une résistance interne $R=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}$.

Compléments

📐 Formule - La puissance reçue par un condensateur vérifie $P=\frac{dE_C}{dt}=\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}Cu^2\right)$.

📌 Une batterie stocke son énergie à tension quasiment constante et sur une durée assez longue, tandis qu’un condensateur voit sa tension croître fortement à la charge et présente des fuites qui limitent le stockage dans le temps.

📌 Un condensateur peut recevoir de très fortes puissances et stocker rapidement de l’énergie, tandis qu’une batterie a une vitesse de charge limitée sous peine de dégâts importants.

📐 Formule - La puissance reçue par une inductance vérifie $P=\frac{dE_L}{dt}=\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}Li^2\right)$.

• Pour deux générateurs en parallèle tels que $E_1=10\,\mathrm{V}$, $R_1=50\,\Omega$, $E_2=5\,\mathrm{V}$ et $R_2=10\,\Omega$, le générateur de Thévenin équivalent a une fem de 5,8 V et une résistance interne de 8,3 Ω.

💡 Astuce mémo

Résistance : reçoit toujours ; condensateur et bobine : stockent puis rendent

📖 7. Lois de Pouillet et Millman

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans une maille série, la loi de Pouillet donne $i=\frac{\sum_k k_ke_k}{\sum_j R_j}$, où $k_k=+1$ si la fem est orientée dans le sens du courant et $k_k=-1$ sinon.

📐 Formule - Pour un nœud N relié à des nœuds de potentiels $v_{A_k}$ par des résistances $R_k$ et traversé par des courants algébriques $j_j i_j$, le théorème de Millman donne $v_N=\frac{\sum_k v_{A_k}/R_k+\sum_j j_j i_j}{\sum_k 1/R_k}$, avec $j_j=+1$ pour un courant arrivant au nœud et $j_j=-1$ pour un courant qui en part.

Compléments

• 🔄 Pour appliquer le théorème de Millman, on : place la masse, identifie les nœuds, en regroupant les points reliés par un fil, détermine les potentiels connus à partir des tensions imposées, calcule le potentiel du nœud recherché

• Dans l’exemple du nœud B alimenté par un courant de 1,5 A et relié à la masse par des résistances de 10 Ω et 20 Ω ainsi qu’au point A de potentiel 18 V par une résistance de 5 Ω, le théorème de Millman donne $V_B=14{,}6\,\text{V}$.

📖 8. Superposition et point de fonctionnement

★ À maîtriser

📌 Dans un circuit linéaire comportant plusieurs générateurs, une tension ou un courant est égal à la somme des valeurs obtenues en n’allumant qu’un seul générateur à la fois.

• Pour déterminer graphiquement le point de fonctionnement d’un circuit série, on trace les caractéristiques avec I en abscisse et U en ordonnée ; pour un circuit parallèle, on place U en abscisse et I en ordonnée, puis on additionne séparément les caractéristiques des générateurs et celles des récepteurs ; leurs intersections donnent le ou les points de fonctionnement.

Compléments

📌 Pour appliquer la superposition, éteindre un générateur de tension revient à le remplacer par un fil, tandis qu’éteindre un générateur de courant revient à le remplacer par un interrupteur ouvert.

• Dans l’exemple de la lampe de poche, l’intersection des caractéristiques de la pile, de la résistance de protection et de la LED donne un courant de fonctionnement de 37 mA.

📖 9. Amplificateur opérationnel idéal

🔑 Notions clés & Définitions

• Pattes de l’AO : Les cinq pattes d’un amplificateur opérationnel sont deux pattes d’alimentation symétriques aux potentiels continus $\pm V_{sat}$, une entrée inverseuse E−, une entrée non inverseuse E+ et une sortie S.
• Tension différentielle : La différence de potentiel entre ses deux entrées.

★ À maîtriser

📌 Lorsqu’un rebouclage relie la sortie à l’entrée inverseuse sans passer par la masse, l’amplificateur opérationnel idéal fonctionne en régime linéaire : ses courants d’entrée sont nuls, sa tension différentielle est nulle et sa tension de sortie vérifie $|v_s|<V_{sat}$.

📐 Formule - Le montage suiveur vérifie $u_s=u_e$.

📐 Formule - Le montage amplificateur inverseur vérifie $u_s=-\frac{R_2}{R_1}u_e$.

Compléments

📌 Dans un circuit contenant un amplificateur opérationnel, il ne faut appliquer la loi des nœuds ni à la sortie, où un courant inconnu sort, ni à la masse, où l’alimentation non représentée injecte du courant.

💡 Astuce mémo

Le rebouclage sur − rend le régime linéaire ; un rebouclage sur + ne le garantit pas.

📖 10. Résistance répartie d’un câble coaxial

🔑 Notions clés & Définitions

• Résistance caractéristique : La résistance caractéristique du modèle de câble est $R_0=\sqrt{\frac{\rho}{g}}$.
• Longueur caractéristique : La longueur caractéristique du modèle de câble est $d=\sqrt{\frac{1}{\rho g}}$.

★ À maîtriser

• Dans la limite d’une tranche infinitésimale, le développement $\frac{1}{1+R g\,dx}\approx1-Rg\,dx$ conduit à l’équation différentielle $\frac{dR_{eq}}{dx}=-\rho+gR_{eq}^2$.

Compléments

📐 Formule - Pour une tranche terminale de câble coaxial de longueur $dx$, l’association des résistances de l’âme et de la gaine avec la fuite donne une résistance équivalente $R'=\frac{R+\rho\,dx}{1+g(R+\rho\,dx)dx}$, avec $\rho=\rho_1+\rho_2$.

📐 Formule - Si $R_{eq}(x+dx)$ représente la résistance équivalente de la portion située entre $x+dx$ et l’extrémité du câble, l’association de la tranche entre x et $x+dx$ donne $R_{eq}(x)=\frac{R_{eq}(x+dx)+\rho\,dx}{1+gR_{eq}(x+dx)dx}$.

💡 Astuce mémo

Tranche terminale → équivalent local → limite différentielle

📖 11. Résistance équivalente du câble coaxial

★ À maîtriser

📐 Formule - La solution proposée est $R_{\mathrm{eq}}(x)=R_0\frac{(R+R_0)e^{(L-x)/d}+(R-R_0)e^{(x-L)/d}}{(R+R_0)e^{(L-x)/d}-(R-R_0)e^{(x-L)/d}}$.

📐 Formule - La résistance vue par le générateur est $R_{\mathrm{eq}}(0)=R_0\frac{(R+R_0)e^{L/d}+(R-R_0)e^{-L/d}}{(R+R_0)e^{L/d}-(R-R_0)e^{-L/d}}$.

• Lorsque la longueur du câble tend vers l’infini, la résistance vue par le générateur tend vers $R_0$.

Compléments

• Les paramètres du câble sont définis par $R_0=\sqrt{\frac{\rho}{g}}$ et $d=\sqrt{\frac{1}{\rho g}}$, où $\rho$ est la résistance linéique et $g$ la conductance de fuite linéique.

📐 Formule - La résistance équivalente vérifie $\frac{dR_{\mathrm{eq}}}{dx}=\frac{R_{\mathrm{eq}}^2-R_0^2}{R_0d}$.

• À l’extrémité du câble, la solution donne $R_{\mathrm{eq}}(L)=R$, cohérent avec la résistance terminale.

• Pour $R=50\,\Omega$, $L=40\,\mathrm{m}$, $R_0=75\,\Omega$ et $d=5\,\mathrm{km}$, la résistance d’entrée vaut $R_{\mathrm{eq}}(0)=50{,}3\,\Omega$.

📖 12. Méthodes numériques pour les équations différentielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Méthode d’Euler : La méthode d’Euler approxime la solution de $\frac{du}{dt}=f(u,t)$ par la relation $u(t+h)=u(t)+h f(u(t),t)$ lorsque le pas temporel h est petit.

★ À maîtriser

• Pour résoudre numériquement une équation différentielle d’ordre 1 par la méthode d’Euler, on choisit un pas temporel h petit, on initialise $t_0=0$ et $u_0$ avec la condition initiale, puis on calcule $t_{n+1}=t_n+h$ et $u_{n+1}=u_n+h f(u_n,t_n)$.

📌 Le pas temporel h doit être choisi en fonction du temps caractéristique d’évolution du système, par exemple égal à un millième de ce temps.

Compléments

• Pour un circuit RC série avec $R=300\,\Omega$, $C=220\,\mathrm{nF}$ et $E=10\,\mathrm{V}$, l’équation de charge est $\frac{du_C}{dt}=\frac{E-u_C}{RC}$ et la constante de temps vaut $\tau=RC$.

• Pour un circuit RC soumis à $e(t)=3\cos(5000\pi t)$, la constante de temps vaut $\tau=66\,\mu\mathrm{s}$ et la période du signal vaut $T=400\,\mu\mathrm{s}$ ; le pas choisi est $h=\tau/1000$.

• Dans le circuit RC soumis à une tension sinusoïdale, la tension du condensateur devient rapidement sinusoïdale avec la même période que la tension d’entrée.

📖 13. Méthodes numériques avancées

★ À maîtriser

• L’erreur de la méthode d’Euler est proportionnelle au pas temporel h ; diviser h par 10 demande environ 10 fois plus de calculs pour obtenir 10 fois moins d’erreur.

📌 L’implémentation de Runge-Kutta d’ordre 4 n’est pas exigible, mais l’utilisation de la fonction Python scipy.integrate.odeint(derivee, ci, tab_t) doit être connue.

Compléments

• La méthode de Runge-Kutta d’ordre 4 utilise quatre valeurs intermédiaires et son erreur varie comme $h^4$ ; diviser le pas par 10 divise donc l’erreur par $10^4$.

• Pour utiliser scipy.integrate.odeint, on fournit la fonction dérivée, la liste des conditions initiales et le tableau des instants souhaités ; la fonction dérivée reçoit la liste des inconnues et le temps, puis renvoie la liste des dérivées.

• Après extinction du générateur, le circuit RL série vérifie $\tau\,\frac{di_1(t)}{dt}+i_1(t)=0$ et la continuité du courant dans la bobine impose $i_1(0^+)=I_0\frac{R_2}{R_1+R_2}$, d’où $i_1(t)=I_0\frac{R_2}{R_1+R_2}e^{-t/\tau}$.

📖 14. RLC série et oscillations libres

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme canonique d’ordre 2 : La forme canonique d’une équation différentielle linéaire homogène d’ordre 2 à coefficients constants est $\frac{d^2f}{dt^2}+\frac{\omega_0}{Q}\frac{df}{dt}+\omega_0^2f=0$, où $\omega_0$ est la pulsation propre et $Q$ le facteur de qualité.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour un RLC série, $\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$ et $Q=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}$.

📐 Formule - Dans un RLC série, la tension du condensateur vérifie $\frac{d^2u_C}{dt^2}+\frac{\omega_0}{Q}\frac{du_C}{dt}+\omega_0^2u_C=\omega_0^2e(t)$.

• Dans un circuit LC en régime libre, l’énergie totale du condensateur et de la bobine reste constante.

Compléments

📐 Formule - Dans un circuit LC idéal soumis à un échelon constant E, la tension du condensateur est $u_C(t)=E-E\cos(\omega_0t)$ lorsque le condensateur et le courant sont initialement nuls.

• Dans un circuit LC idéal en régime libre, les oscillations persistent indéfiniment à la pulsation propre $\omega_0$.

• En régime libre dans un circuit LC, les énergies du condensateur et de la bobine oscillent en opposition de phase à la pulsation $2\omega_0$.

💡 Astuce mémo

Dans le LC idéal, l’énergie se conserve ; dans le RLC, la résistance la dissipe.

📖 15. Régimes du circuit RLC amorti

★ À maîtriser

📌 Si $\Delta<0$, le régime est pseudo-périodique ; si $\Delta=0$, il est critique ; si $\Delta>0$, il est apériodique.

📐 Formule - En régime pseudo-périodique, la pseudo-pulsation vaut $\omega=\omega_0\sqrt{1-\frac{1}{4Q^2}}$ et l’enveloppe décroît avec le temps caractéristique $\tau=\frac{2Q}{\omega_0}$ pour $Q>\frac12$.

Compléments

• Pour l’équation caractéristique de l’équation canonique d’ordre 2, le discriminant vaut $\Delta=\omega_0^2\left(\frac{1}{Q^2}-4\right)$.

• Lorsque $Q>3$, le nombre d’oscillations avant stabilisation est approximativement égal à Q.

• En régime critique, correspondant à $|Q|=\frac12$, les solutions homogènes sont de la forme $(At+B)e^{-\omega_0t}$ pour Q positif.

• Le retour à l’équilibre est le plus rapide au voisinage du régime critique.

💡 Astuce mémo

Le discriminant négatif donne le pseudo-périodique, nul le critique, positif l’apériodique.

📖 16. Énergie et stabilité des circuits

🔑 Notions clés & Définitions

• Stabilité d’un système : Un système est stable si son régime transitoire tend vers zéro et instable s’il tend vers l’infini, éventuellement en oscillant.

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans un RLC série, l’énergie électrique vérifie $\frac{dE_{\mathrm{élec}}}{dt}=e(t)i(t)-Ri(t)^2$.

📌 Une équation différentielle linéaire à coefficients constants d’ordre 1 ou 2 est stable si et seulement si tous les coefficients de son premier membre sont de même signe.

• Pour résoudre numériquement une équation d’ordre 2 par une méthode conçue pour l’ordre 1, on pose $u'=\frac{du}{dt}$ puis on la transforme en $\frac{du}{dt}=u'$ et $\frac{du'}{dt}=f(u,u',t)$.

Compléments

• En régime libre très peu amorti, l’énergie totale décroît approximativement selon $E_{\mathrm{élec}}(t)=E_{\mathrm{élec}}(0)e^{-\omega_0t/Q}$.

📌 Pour une équation différentielle d’ordre 2, les solutions sont oscillantes si et seulement si le discriminant de l’équation caractéristique est négatif, tandis que leur stabilité dépend du signe des coefficients.

• Pour un RLC série, la période propre utilisée pour fixer la durée caractéristique de la simulation est $T_0=2\pi\sqrt{LC}$.

💡 Astuce mémo

La résistance dissipe l’énergie, donc l’énergie du RLC libre décroît.

📖 17. Simulation numérique des circuits d’ordre deux

★ À maîtriser

• Pour appliquer la méthode d’Euler à une équation différentielle d’ordre 2, on introduit une variable représentant la dérivée première et on met l’équation sous forme de deux équations d’ordre 1.

• À chaque itération du schéma d’Euler, on actualise le temps, puis la tension du condensateur à partir de sa dérivée, puis cette dérivée à partir de la dérivée seconde.

Compléments

• Pour le circuit RLC considéré, les paramètres sont E = 5 V, R = 70 Ω, L = 20 mH et C = 100 nF, et la période propre est $T_0=2\pi\sqrt{LC}$.

• Le script d’Euler simule le circuit sur 15 périodes propres avec un pas temporel égal à $T_0/1000$.

• Dans le script d’Euler, les tableaux stockent le temps, la tension du condensateur et sa dérivée, avec les conditions initiales $u_C(0)=0$ et $u'_C(0)=1\ \mathrm{V\,s^{-1}}$.

📖 18. Régimes transitoires et précision numérique

★ À maîtriser

• Pour les paramètres du circuit étudié, le discriminant vaut $\Delta=R^2C^2-4LC$ et le régime devient apériodique lorsque R dépasse environ 894 Ω.

• Avec odeint, la fonction de dérivée reçoit la liste des inconnues et le temps, puis renvoie la liste des dérivées correspondantes.

Compléments

• Pour des solutions oscillantes, le pas d’Euler doit être choisi au plus égal à $T_0/1000$, car cette méthode est peu précise dans ce cas.

📌 Pour un modèle RLC, on peut choisir comme variable auxiliaire la dérivée de la tension du condensateur ou le courant, lié à cette dérivée par $i=C\,du_C/dt$.

• Les méthodes numériques peuvent résoudre des équations différentielles linéaires ou non linéaires, quel que soit leur terme de droite ou leur ordre, en généralisant la méthode présentée.

💡 Astuce mémo

Euler avance à pas fixes ; odeint intègre avec une fonction renvoyant les dérivées.