Fiche de révision : Maîtrise des calculs de pourcentages et fractions

📋 Plan du Cours

1. Calculs de pourcentages, fractions irréductibles et proportions
2. Comparaison et opérations sur fractions
3. Interprétation et calculs à partir de diagrammes circulaires
4. Analyse statistique : caractère étudié, type et effectif total
5. Utilisation de la calculatrice pour moyenne et écart-type
6. Conversion de fractions en quantités et calculs de pourcentages dans des ensembles
7. Calculs de taux et proportions à partir de données démographiques

📖 1. Calculs de pourcentages, fractions irréductibles et proportions

📝 Points essentiels

• Calculer 30 % de 70 revient à multiplier 70 par 30/100 : 30/100 × 70 = 21.
• Sur 4 000 sièges, 250 sièges réservés donnent p = 250/4000, puis p = 1/16.
• Comparer 0,75 ; 2/3 et 3/5 : 2/3 ≈ 0,66 et 3/5 = 0,6, donc 3/5 < 2/3 < 0,75.
• Déterminer la proportion, en fraction irréductible, représentant les sièges déjà réservés.
• Transformer une proportion en fraction irréductible : sur 4 000 sièges, 250 réservés donnent p = 250/4000 = 1/16.
• Comparer des valeurs décimales et des fractions : 0,75 ; 2/3 ; 3/5 avec 2/3 ≈ 0,66 et 3/5 = 0,6, donc 3/5 < 2/3 < 0,75.
• Calculer une expression avec fractions et donner le résultat sous forme irréductible : A = 3/5 + (7/5)×(5/3) = 44/15.
• Interpréter un diagramme circulaire en pourcentage : si 72 + 8 = 80 % des élèves, alors 100 − 80 = 20 % sont externes.

💡 À retenir

Calculer 30 % de 70 revient à multiplier 70 par 30/100 : 30/100 × 70 = 21.

📖 2. Comparaison et opérations sur fractions

📝 Points essentiels

• Résultat de A sous forme irréductible : 44/15.
• Calculer A et donner le résultat sous forme d’une fraction irréductible.
• Comparer 0,75 ; 2/3 et 3/5 en utilisant des valeurs décimales : 2/3 ≈ 0,66 et 3/5 = 0,6, ce qui permet d’ordonner les nombres.
• Effectuer une addition de fractions avec mise au même dénominateur : 3/5 + 7/5 × 5/3 se traite en réécrivant les produits et en ramenant à un dénominateur commun.
• Simplifier un produit de fractions avant d’additionner : (7/5)×(5/3) se simplifie en 7/3.
• Réduire le résultat final en fraction irréductible : 44/15 est la forme irréductible obtenue après calcul.
• Gérer les signes et les différences de fractions : 3/4 − 7/5 = 15/20 − 28/20 = −13/20.

💡 À retenir

Résultat de A sous forme irréductible : 44/15.

📖 3. Interprétation et calculs à partir de diagrammes circulaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre d’élèves externes : Effectif correspondant à la catégorie « externes » parmi les 275 élèves entrant en première, déduit à partir des pourcentages lus sur le diagramme.

📝 Points essentiels

• Lire la part manquante sur le diagramme circulaire : externes = 100 − (72 + 8).
• Déduire le pourcentage : 100 − (72 + 8) = 20 %, donc 20 % des élèves entrant en première sont externes.
• Convertir en nombre d’élèves : 20/100 × 275 = 55.
• Conclure que le nombre d’élèves externes est 55 à partir des données du diagramme.
• 100 −(72 + 8) = 20 20 % des élèves entrant en première seront externes.

💡 À retenir

On lit les pourcentages sur le diagramme circulaire, on calcule la part manquante des externes (20 %), puis on la convertit en effectif : 20/100 × 275 = 55 élèves externes.

📖 4. Analyse statistique : caractère étudié, type et effectif total

🔑 Notions clés & Définitions

• Boules bleues dans l’urne : Proportion de boules bleues dans l’urne, donnée ici comme 0,25.

📝 Points essentiels

• Identifier le caractère étudié : le caractère est le montant des ventes d’Alix.
• Classer le type du caractère : le montant des ventes d’Alix est un caractère quantitatif discret.
• Calculer l’effectif total : N = 5 + 6 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 = 18.
• Associer chaque valeur (prix en millier d’euros) à son effectif pour construire la série.
• Utiliser l’effectif total pour préparer le calcul de la moyenne (même si la moyenne est traitée ailleurs).

💡 À retenir

On repère le caractère (montant des ventes d’Alix) et on identifie son type (quantitatif discret), puis on somme les effectifs pour obtenir l’effectif total N = 18.

📖 5. Utilisation de la calculatrice pour moyenne et écart-type

📝 Points essentiels

• La moyenne de la série est environ égale à 151,1 : x̄ = (50×5 + 110×6 + 150×1 + 160×1 + 200×1 + 250×2 + 300×1 + 500×1)/18 = 2720/18 ≈ 151,1.
• La variance, arrondie au centième, vaut V ≈ 12 620,99.
• Calcul direct de la variance : V = [5×(50−2720/18)² + 6×(110−2720/18)² + (150−2720/18)² + (160−2720/18)² + (200−2720/18)² + 2×(250−2720/18)² + (300−2720/18)² + (500−2720/18)²]/18.
• L’écart-type σ est l’indicateur demandé après calcul de la variance (σ est obtenu à partir de V).
• Utiliser la calculatrice pour obtenir une variance arrondie au centième : V ≈ 12 620,99.
• Choisir une méthode de calcul de la variance : calcul direct avec Σ effectif×(valeur − x̄)².
• Appliquer la formule de König-Huygens pour la variance : V = [5×50² + 6×110² + 150² + 160² + 200² + 2×250² + 300² + 500²]/18 − (2720/18)².

💡 À retenir

Calculer d’abord la moyenne x̄ avec la calculatrice, puis obtenir la variance V (par calcul direct ou par König-Huygens) et en déduire l’écart-type σ, en vérifiant que la variance trouvée est cohérente avec V ≈ 12 620,99.

📖 6. Conversion de fractions en quantités et calculs de pourcentages dans des ensembles

📝 Points essentiels

• Convertir une proportion décimale en nombre d’éléments : si la proportion de boules bleues vaut 0,25 et que le total est 64, alors 0,25 = nA/64.
• Passer par une équation pour trouver l’effectif : 0,25×64 = nA, donc nA = 16.
• Déterminer une part en pourcentage à partir d’un effectif : 48 femmes sur 80 donnent p = 48/80 = 6/10 = 60/100, soit 60 %.
• La proportion de boules bleues dans l’urne est de 0,25.
• Déterminer la part féminine, exprimée en pourcentage, de cette assemblée.
• Exprimer une fraction de masse en kg : 5/6 de 360 kg donne 5/6 × 360 = 300.
• Utiliser la proportion pour déterminer une part féminine en pourcentage : 48 femmes sur 80 donne p = 48/80 = 6/10 = 60/100.
• Conclure sur la part féminine : la part féminine est 60 % de l’assemblée.

💡 À retenir

Transformer une proportion (décimale ou fraction) en quantité ou en pourcentage revient à utiliser la relation p = nA/nE pour trouver l’effectif, puis à convertir la fraction en pourcentage (par exemple 60 %).

📖 7. Calculs de taux et proportions à partir de données démographiques

📝 Points essentiels

• Justifier le taux de chômage avec p = nA/nE : p = 2,33/31,06 ≈ 0,075, soit 7,5 % de la population active.
• Interpréter le taux de chômage comme une proportion de la population active : sur l’ensemble du territoire (outre-mer compris, sauf Mayotte), le taux s’établit à 7,5 %.
• Calculer le taux d’activité à partir d’un quotient : taux d’activité = population active / population 15–64 ans.
• Utiliser les données démographiques : p = 31,06/42,2 ≈ 0,74, donc taux d’activité ≈ 74 % (en 2023).
• Conserver l’arrondi : le taux d’activité est d’environ 74 % en 2023.
• D’après le document 3, le taux d’activité est le quotient de la population active par le nombre de personnes âgées entre 15 et 64 ans.
• Sur l’ensemble du territoire (outre-mer compris, sauf Mayotte), le taux de chômage s’établit désormais à 7,5 % de la population active, soit 0,4 point de plus comparé à la fin 2022.

💡 À retenir

Les taux démographiques (chômage ou activité) se construisent comme des quotients entre deux grandeurs (chômeurs/population active ou population active/population 15–64 ans), puis sont exprimés en pourcentage avec l’arrondi indiqué : 7,5 % pour le chômage et environ 74 % pour l’activité en 2023.

🧩 Compléments de couverture

1. La source précise que la variance est calculée « arrondie au centième » et donne la valeur V ≈ 12 620,99.
2. Pour le taux de chômage, la source calcule p = 2,33/31,06 ≈ 0,075 puis conclut : « taux de chômage s’établit désormais à 7,5 % de la population active ».
3. Pour le taux d’activité, la source indique l’arrondi demandé : « Arrondir à l’unité » et conclut « d’environ 74 % ».
4. Calculer 30 % de 70 Rappel : Prendre 𝑡 % d’une quantité, c’est multiplier cette quantité par 𝑡 100.
5. 2023, le nombre de chômeurs, au sens du Bureau international du travail, a augmenté de 29 000 par rapport aux trois mois précédents, se situant à 2,33 millions, selon une note diffusée, mardi 13 février, par l’Insee.
6. 2023, la France métropolitaine (hors Mayotte) comptait 42,2 millions personnes âgées entre 15 à 64 ans.
7. 18 )2 +(160−2720 18 )2 +(200−2720 18 )2 +2×(250−2720 18 )2 +(300−2720 18 )2 +(500−2720 18 )2 18 V≈ 12 620,99 Autre méthode : D’après la formule de König-Huygens : V =.
8. L’objectif d’Emmanuel Macron d’arriver à un taux de chômage à 5 % en 2027 disparaît des éléments de langage de l’exécutif.
9. La population active est de 31,06 millions de personnes.
10. On présente sur le diagramme circulaire ci- dessous la répartition des 275 élèves d’un lycée entrant en première, selon leur régime scolaire.
11. Quel est le taux, en pourcentage, d’activité des personnes âgées de 15 à 64 ans en 2023.

📅 Repères chronologiques

📊 Tableaux de Synthèse

Ordre des valeurs (décimales vs fractions)

Taux démographiques : quotient et expression en %

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre « calculer 30 % de 70 » avec 30×70 au lieu de 30/100×70.
2. Oublier la réduction en fraction irréductible (ex. 250/4000 doit donner 1/16).
3. Comparer des fractions sans passer par des valeurs décimales quand la méthode demandée est 0,75 ; 2/3 ; 3/5 avec 2/3 ≈ 0,66 et 3/5 = 0,6.
4. Sur un diagramme circulaire, oublier de calculer la part manquante par 100 − (72 + 8) pour obtenir les « externes ».
5. Convertir un pourcentage en effectif sans utiliser la relation 20/100 × 275 (au lieu de raisonner directement en pourcentage sans conversion).
6. Pour les taux démographiques, utiliser un quotient inversé (chômeurs/population active vs population active/population 15–64 ans).
7. Pour la variance, ne pas respecter l’indication « arrondie au centième » (V ≈ 12 620,99) ou oublier que l’écart-type se déduit de V.

✅ Checklist Examen

1. Calculer un pourcentage comme t/100 × quantité.
2. Écrire une proportion sous forme de fraction irréductible (ex. 250/4000 = 1/16).
3. Comparer des nombres donnés en fractions et décimales en utilisant les valeurs décimales fournies (2/3 ≈ 0,66 ; 3/5 = 0,6).
4. Mettre au même dénominateur pour additionner des fractions.
5. Simplifier un produit de fractions avant l’addition (ex. (7/5)×(5/3) = 7/3).
6. Gérer les signes lors d’une différence de fractions (ex. 3/4 − 7/5 = −13/20).
7. Sur un diagramme circulaire, calculer la part manquante avec 100 − (… + …).
8. Convertir un pourcentage en effectif avec p/100 × effectif total (ex. 20/100 × 275 = 55).
9. Identifier le caractère étudié et son type (quantitatif discret pour le montant des ventes d’Alix).
10. Calculer l’effectif total en sommant les effectifs (N = 18).
11. Calculer la moyenne x̄ avec la calculatrice puis la variance V (arrondie au centième) et en déduire l’écart-type σ.
12. Construire un taux démographique comme un quotient puis exprimer en pourcentage avec l’arrondi indiqué (7,5 % ; environ 74 % en 2023).