Fiche de révision : Maîtrise des inéquations affines et intervalles

📋 Plan du Cours

1. Nombres réels et droite numérique
2. Intervalles de ℝ
3. Signe d’une fonction affine
4. Résolution graphique d’inéquations
5. Inéquations et propriétés
6. Résolution de f(x) ≥ k et f(x) ≤ k
7. Résolution de f(x) > g(x) et f(x) < g(x)

📖 1. Nombres réels et droite numérique

🔑 Notions clés & Définitions

Ensemble des nombres réels (ℝ) :
L’ensemble ℝ est constitué de tous les nombres qui peuvent être représentés sur une droite graduée, appelée droite numérique. Selon AUTEUR (date), c’est l’ensemble des abscisses des points situés sur cette droite. Il inclut tous les nombres connus jusqu’à présent, qu’ils soient rationnels ou irrationnels.

Droite numérique :
C’est une représentation graphique où chaque point correspond à un unique nombre réel, et chaque nombre réel correspond à un point unique. Elle permet de visualiser la continuité et la relation entre les nombres.

Notation x ∈ ℝ :
Signifie que le nombre x appartient à l’ensemble des nombres réels. Si x ∉ ℝ, alors x n’est pas un nombre réel.

Carré d’un nombre réel :
Pour tout x ∈ ℝ, le carré x² est toujours positif ou nul, c’est-à-dire que x² ≥ 0.

📝 Points essentiels

• Chaque point sur la droite graduée correspond à un seul nombre réel, et inversement, chaque nombre réel est associé à un seul point sur cette droite.
• La droite numérique est une représentation graphique de l’ensemble ℝ, illustrant la continuité et la relation entre tous les nombres réels.
• Tous les nombres connus jusqu’à présent appartiennent à ℝ, ce qui en fait un ensemble complet pour la représentation des nombres.

💡 À retenir

Les nombres réels forment une droite continue où chaque point correspond à un nombre unique, ce qui constitue une base fondamentale pour leur représentation graphique et leur étude.

📖 2. Intervalles de ℝ

🔑 Notions clés & Définitions

Intervalle fermé [a; b] : Ensemble des réels x tels que a ≤ x ≤ b, où a et b sont les bornes inférieure et supérieure respectivement. La notation est a [ ] b, avec des crochets indiquant que les bornes sont incluses.
Intervalle ouvert ]a; b[ : Ensemble des x tels que a < x < b, avec des parenthèses ou crochets tournés vers l’extérieur, indiquant que les bornes ne sont pas incluses.
Intervalle semi-ouvert [a; b[ ou ]a; b] : Ensemble où une borne est incluse et l’autre non.

• [a; b[ : a ≤ x < b, avec la borne inférieure incluse, la borne supérieure exclue.
• ]a; b] : a < x ≤ b, avec la borne inférieure exclue, la borne supérieure incluse.
  Bornes inférieure et supérieure : Les valeurs a et b qui délimitent un intervalle. La borne inférieure est la plus petite limite, la borne supérieure la plus grande.
  Intervalles bornés et non bornés :
• Bornés : ont des bornes finies (ex : [a; b], ]a; b[).
• Non bornés : s’étendent à l’infini (ex : ]-∞; b], [a; +∞[, ]-∞; +∞[).
  Intersection (I ∩ J) : Ensemble des valeurs communes à deux intervalles I et J.
  Réunion (I ∪ J) : Ensemble des valeurs appartenant à l’un ou l’autre des intervalles I ou J.

📝 Points essentiels

Les symboles ≤ et < déterminent la nature des bornes :

• « ≤ » indique que la borne est incluse dans l’intervalle.
• « < » indique que la borne est exclue.

Les intervalles avec ±∞ sont toujours ouverts du côté infini, car l’infini ne peut pas être inclus :

• Par exemple, ]-∞; b[ ou ]a; +∞[.

L’intersection représente les valeurs communes à deux intervalles, c’est-à-dire l’ensemble des x qui appartiennent à la fois à I et J. La réunion, quant à elle, rassemble toutes les valeurs appartenant à l’un ou l’autre des intervalles, c’est-à-dire leur union.

💡 À retenir

Maîtriser la classification et la notation des intervalles permet de décrire précisément des ensembles de solutions sur ℝ, en utilisant notamment la distinction entre intervalles ouverts, fermés, semi-ouverts, ainsi que les intervalles bornés ou non bornés.

📖 3. Signe d’une fonction affine

🔑 Notions clés & Définitions

Fonction affine : f(x) = mx + p, où m et p sont des constantes. Elle représente une droite dont la pente est m et l’ordonnée à l’origine p.

Racine d’une fonction affine : La valeur de x telle que f(x) = 0. Pour une fonction affine, la racine est donnée par x = -p/m (si m ≠ 0).

Tableau de signes d’une fonction : Représentation graphique ou tabulaire indiquant où f(x) est positif, nul ou négatif en fonction de x.

Signe de f(x) selon l’intervalle : Le signe de f(x) est constant sur chaque intervalle délimité par ses racines, sauf en ces racines où f(x) = 0.

Lien entre signe de f(x) et résolution d’inéquations : Résoudre une inéquation f(x) > 0 ou f(x) < 0 revient à déterminer les intervalles où la fonction est positive ou négative, en utilisant son tableau de signes.

📝 Points essentiels

Le signe de f(x) change uniquement en sa racine x = -p/m. Avant cette racine, f(x) peut être positif ou négatif, et après cette racine, le signe s’inverse. Le tableau de signes permet de visualiser clairement ces zones : il indique pour chaque intervalle si f(x) est positif, nul ou négatif. Résoudre l’inéquation f(x) > 0 consiste à identifier les intervalles où la fonction est positive, ce qui se fait en se référant à ce tableau. La racine est le point où f(x) s’annule, et c’est à partir de cette racine que le signe change.

💡 À retenir

Analyser le signe d’une fonction affine via sa racine permet de visualiser rapidement où la fonction est positive, négative ou nulle, ce qui est essentiel pour résoudre efficacement les inéquations associées.

📖 4. Résolution graphique d’inéquations

🔑 Notions clés & Définitions

Inéquation f(x) ≥ k : Expression mathématique indiquant que la valeur de la fonction f(x) doit être supérieure ou égale à une constante k. La solution consiste à déterminer pour quelles valeurs de x cette condition est vérifiée.

Représentation graphique d’une fonction affine : La courbe d’une fonction de la forme f(x) = mx + p, où m est la pente et p l’ordonnée à l’origine. La droite est caractérisée par sa pente m et son point d’intersection avec l’axe des ordonnées.

Interprétation graphique des solutions d’une inéquation : Les solutions de f(x) ≥ k sont les abscisses des points situés sur la courbe de f au-dessus ou sur la droite y = k. Autrement dit, ce sont les x pour lesquels la courbe est au-dessus ou sur la ligne horizontale y = k.

Ordonnée k sur l’axe vertical : La valeur constante k est représentée par une droite horizontale parallèle à l’axe des abscisses, située à la hauteur y = k.

Abscisses des points vérifiant l’inéquation : Les valeurs de x pour lesquelles la courbe de f(x) est au-dessus ou sur la droite y = k. Ces abscisses correspondent aux solutions de l’inéquation.

📝 Points essentiels

Les solutions de f(x) ≥ k sont les abscisses des points de la courbe de f situés au-dessus ou sur la droite y = k. Graphiquement, cela signifie que l’on repère la droite y = k, puis on identifie les points de la courbe de f qui sont au-dessus ou sur cette droite. Les abscisses de ces points constituent la solution de l’inéquation.

La pente m et l’ordonnée à l’origine p déterminent le point d’annulation x = -p/m. Autrement dit, la courbe de la fonction affine coupe l’axe des abscisses en ce point. La position de ce point influence le sens de variation de la fonction : si m > 0, la fonction est croissante, si m < 0, elle est décroissante. Le tableau de signes de f(x) se déduit de ces variations, en fonction de la position par rapport à x = -p/m.

Le sens de variation de f dépend du signe de m : si m > 0, f(x) augmente avec x, si m < 0, f(x) diminue avec x. Cela permet d’interpréter graphiquement où la fonction est supérieure ou inférieure à une constante, en observant la position de la courbe par rapport à la droite y = k.

💡 À retenir

Utiliser la représentation graphique permet de visualiser et résoudre intuitivement les inéquations affines en comparant la courbe de la fonction à une constante, en repérant simplement les points où la courbe est au-dessus ou sur la ligne y = k.

📖 5. Inéquations et propriétés

🔑 Notions clés & Définitions

Inéquation
Une inéquation est une expression mathématique qui compare deux quantités à l’aide d’un symbole d’inégalité (par exemple, <, ≤, >, ≥). Elle indique que l’un des membres est inférieur, supérieur ou égal à l’autre. La résolution consiste à déterminer l’ensemble des valeurs qui satisfont cette relation.

Équivalence d’inéquations par addition ou soustraction
Ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres d’une inéquation ne modifie pas l’ordre de l’inégalité. La nouvelle inéquation est équivalente à l’originale, c’est-à-dire qu’elle a le même ensemble de solutions.

Multiplication/division par un réel strictement positif
Multiplier ou diviser les deux membres d’une inéquation par un nombre strictement positif conserve le sens de l’inégalité. La relation reste inchangée, et l’ensemble des solutions est le même.

Multiplication/division par un réel strictement négatif
Multiplier ou diviser les deux membres d’une inéquation par un nombre strictement négatif inverse le sens de l’inégalité. La nouvelle inéquation est équivalente, mais avec le symbole d’inégalité inversé.

Changement de sens de l’inégalité
Ce changement se produit uniquement lors de la multiplication ou division par un nombre négatif. Le symbole d’inégalité doit alors être inversé pour que l’inéquation reste équivalente.

📝 Points essentiels

• Ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres d’une inéquation conserve l’ordre et donne une inéquation équivalente de même ordre.
• Multiplier ou diviser par un nombre positif ne modifie pas le sens de l’inégalité, conservant l’équivalence.
• Multiplier ou diviser par un nombre négatif inverse le sens de l’inégalité, mais l’inéquation reste équivalente en changeant simplement le symbole d’inégalité.

💡 À retenir

Comprendre ces règles permet de transformer et résoudre correctement les inéquations en manipulant leurs membres sans altérer leur solution, en respectant le sens de l’inégalité selon le signe du nombre utilisé.

📖 6. Résolution de f(x) ≥ k et f(x) ≤ k

🔑 Notions clés & Définitions

• Résolution d’inéquations du type f(x) ≥ k : Trouver tous les x tels que f(x) soit supérieur ou égal à un seuil k. Pour une fonction affine f(x) = mx + p, cela revient à résoudre l’inéquation mx + p ≥ k.
• Résolution d’inéquations du type f(x) ≤ k : Trouver tous les x tels que f(x) soit inférieur ou égal à k. Pour une fonction affine, cela revient à résoudre l’inéquation mx + p ≤ k.
• Lien entre résolution algébrique et graphique : La résolution algébrique consiste à déterminer les intervalles de x où la courbe de f(x) se trouve au-dessus ou en dessous de la droite y = k. La résolution graphique consiste à repérer ces zones directement sur la courbe en comparant avec la droite y = k.

📝 Points essentiels

• Résoudre f(x) ≥ k revient à trouver x tels que mx + p ≥ k. La solution correspond à un ou plusieurs intervalles de la droite réelle, généralement déterminés par la racine de l’équation f(x) = k, c’est-à-dire x = (k - p)/m si m ≠ 0.
• La solution est un intervalle déterminé par cette racine : si m > 0, l’ensemble des solutions est x ≥ (k - p)/m ; si m < 0, c’est x ≤ (k - p)/m.
• La résolution graphique consiste à identifier sur la courbe de f(x) les abscisses où la courbe est au-dessus (pour f(x) ≥ k) ou en dessous (pour f(x) ≤ k) de la droite y = k. La racine de f(x) = k marque le point de changement de signe ou de position relative par rapport à cette droite.

💡 À retenir

Savoir passer de l’expression algébrique à la représentation graphique permet de résoudre efficacement les inéquations affines en identifiant visuellement les intervalles où la courbe est au-dessus ou en dessous de y = k.

📖 7. Résolution de f(x) > g(x) et f(x) < g(x)

🔑 Notions clés & Définitions

Inéquation f(x) > g(x) : Expression indiquant que pour certains x, la valeur de la fonction f est strictement supérieure à celle de g. La résolution consiste à déterminer les x vérifiant cette relation.

Inéquation f(x) < g(x) : Expression indiquant que pour certains x, la valeur de f est strictement inférieure à celle de g. La résolution consiste à trouver les x satisfaisant cette condition.

Comparaison de deux fonctions affines : Étude de leur différence (f - g) pour déterminer où l’une domine l’autre. La différence est aussi une fonction affine.

Interprétation graphique des solutions (droites f et g) : Sur la représentation graphique, les solutions de f(x) > g(x) sont les abscisses où la droite de f est au-dessus de celle de g. Inversement, pour f(x) < g(x), la droite de f est en dessous de g.

Exemple de résolution graphique : Tracer les droites de f et g, puis repérer graphiquement les intervalles où l’une est au-dessus de l’autre pour déterminer les solutions des inéquations.

📝 Points essentiels

Résoudre f(x) > g(x) revient à résoudre (f - g)(x) > 0. Graphiquement, cela correspond à repérer les abscisses où la droite représentant f est au-dessus de celle représentant g. La résolution algébrique consiste à étudier le signe de la fonction affine différence (f - g). En déterminant où cette différence est positive ou négative, on identifie les solutions de l’inéquation.

💡 À retenir

Comparer deux fonctions affines par leur différence permet de résoudre efficacement les inéquations en identifiant précisément où une droite domine l’autre sur la droite numérique.

📅 Repères chronologiques

📊 Tableaux de Synthèse

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre intervalles ouverts et fermés : ne pas oublier que « ≤ » implique un intervalle fermé, « < » un intervalle ouvert.
2. Oublier que l’infini ne peut pas être inclus dans un intervalle : toujours ouvert du côté infini.
3. Confusion entre intersection et réunion : l’intersection correspond aux valeurs communes, la réunion à l’union.
4. Mauvaise lecture du tableau de signes : ne pas repérer correctement le changement de signe en la racine.
5. Omettre la vérification du signe de m dans une fonction affine pour déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.
6. Résoudre une inéquation sans considérer la position relative de la courbe par rapport à y=k.
7. Confondre la notation [a; b] et ]a; b[ lors de la rédaction ou de l’interprétation.

✅ Checklist Examen

• Connaître la définition de l’ensemble des nombres réels (ℝ) selon AUTEUR.
• Maîtriser la représentation graphique de ℝ sur une droite numérique.
• Savoir définir et distinguer intervalles fermés, ouverts, semi-ouverts, bornés et non bornés.
• Savoir écrire et interpréter l’intersection et la réunion d’intervalles.
• Comprendre le concept de racine d’une fonction affine et son impact sur le signe.
• Savoir construire un tableau de signes pour une fonction affine donnée.
• Être capable d’utiliser le tableau de signes pour résoudre des inéquations du type f(x) > 0 ou f(x) < 0.
• Maîtriser la résolution graphique d’inéquations f(x) ≥ k ou f(x) ≤ k en utilisant la courbe de f et une ligne horizontale y=k.
• Comprendre le rôle du coefficient m dans le sens de variation d’une fonction affine.
• Savoir interpréter graphiquement les solutions d’une inéquation en fonction du positionnement de la courbe par rapport à une droite horizontale.
• Connaître les propriétés fondamentales des inéquations (transitivité, invariance par addition/multiplication par un positif).
• Vérifier systématiquement si le signe ou la position relative change en un point critique (racine ou intersection).