QCM : Maîtrise des limites en analyse — 14 questions

Question 1

1. Que signifie la notation [31m\lim_{x\to a,\, x>a} f(x)[0m ?

La limite de f(x) quand x devient arbitrairement grand

La limite de f(x) quand x se rapproche de a par la droite

La limite de f(x) quand x prend exactement la valeur a

La limite de f(x) quand x se rapproche de a par la gauche

Explication

L’écriture \(x>a\) indique une approche par des valeurs strictement supérieures à a, donc par la droite. La limite est prise vers a sans que x ne soit égal à a.

Answer

La limite de f(x) quand x se rapproche de a par la droite

Question 2

2. Dans quelle situation étudie-t-on la limite \(\lim_{x\to -\infty} f(x)\) ?

Quand x se rapproche d’un réel a sans l’atteindre

Quand x reste constant

Quand x devient arbitrairement grand en valeur positive

Quand x devient arbitrairement petit

Explication

La notation \(x\to -\infty\) signifie que la variable décroît sans borne, vers des valeurs de plus en plus petites. Ce n’est ni une limite en un réel ni une limite vers +∞.

Answer

Quand x devient arbitrairement petit

Question 3

3. Que vaut la limite de \(e^x\) lorsque \(x\to +\infty\) ?

0

+∞

−∞

Une valeur réelle constante

Explication

La fonction exponentielle diverge vers +∞ quand x tend vers +∞. C’est une des limites usuelles à connaître.

Answer

\(\lim_{x\to +\infty} f(x)=-\infty\)

Answer

La droite \(y=L\) est une asymptote horizontale

Answer

f(x) diverge vers +∞ quand x se rapproche de a sans l’atteindre

Answer

Quand \(\lim_{x\to a} f(x)=+\infty\) ou \(-\infty\)

Answer

On étudie le terme dominant en puissance la plus élevée

Answer

En comparant les degrés du numérateur et du dénominateur

Answer

Sa limite est L

Answer

Si f(x)≤g(x)≤h(x) et que f et h tendent vers la même limite réelle, alors g tend vers cette limite

Question 4

4. Si \(f(x)\) devient arbitrairement négative lorsque \(x\to +\infty\), quelle écriture est correcte ?

\(\lim_{x\to -\infty} f(x)=-\infty\)

\(\lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty\)

\(\lim_{x\to a} f(x)=+\infty\)

\(\lim_{x\to +\infty} f(x)=-\infty\)

Explication

Une limite infinie vers −∞ signifie que les valeurs de f(x) décroissent sans borne quand x→+∞. L’écriture correcte est donc \(\lim_{x\to +\infty} f(x)=-\infty\).

Question 5

5. Si \(\lim_{x\to +\infty} f(x)=L\) avec L réel, quelle conclusion est correcte ?

La droite \(y=L\) est une asymptote horizontale

La droite \(x=L\) est une asymptote verticale

La limite doit être infinie pour qu’il y ait une asymptote

La fonction n’a pas de comportement asymptotique

Explication

Une limite finie à l’infini entraîne une asymptote horizontale d’équation \(y=L\). La droite \(x=L\) correspondrait à une asymptote verticale, ce qui est un autre cas.

Question 6

6. Quelle droite est une asymptote horizontale si \(\lim_{x\to -\infty} f(x)=3\) ?

\(x=-\infty\)

\(x=3\)

\(y=-3\)

\(y=3\)

Explication

Quand la limite à l’infini vaut un réel 3, l’asymptote horizontale est la droite \(y=3\). Le sens de la limite, +∞ ou −∞, ne change pas la forme de cette droite.

Question 7

7. Que signifie le fait que \(\lim_{x\to a} f(x)=+\infty\) ?

f(x) a une limite horizontale en y=a

f(x) diverge vers +∞ quand x se rapproche de a sans l’atteindre

f(x) est forcément définie en x=a

f(x) se rapproche d’une valeur réelle quand x tend vers a

Explication

Une limite infinie en a signifie que f(x) devient arbitrairement grande au voisinage de a, sans que x prenne forcément la valeur a. Cela peut conduire à une asymptote verticale.

Question 8

8. Quelle situation permet d’affirmer que la droite \(x=a\) est une asymptote verticale ?

Quand \(\lim_{x\to a} f(x)=L\) avec L réel

Quand f est constante sur un intervalle

Quand \(\lim_{x\to +\infty} f(x)=L\)

Quand \(\lim_{x\to a} f(x)=+\infty\) ou \(-\infty\)

Explication

Une asymptote verticale apparaît lorsque la fonction diverge vers +∞ ou −∞ au voisinage de a, à gauche ou à droite. Une limite réelle en a ne suffit pas.

Question 9

9. Quelle est la limite de \(x^n\) quand \(x\to -\infty\) si n est pair ?

0

−∞

Elle dépend du signe de x

+∞

Explication

Pour une puissance de degré pair, \(x^n\) reste positive et tend vers +∞ quand x→−∞. Si n était impair, la limite serait différente.

Question 10

10. Quelle est la limite de \(\frac{1}{x}\) quand \(x\to 0\) avec \(x>0\) ?

0

1

−∞

+∞

Explication

Quand x s’approche de 0 par valeurs positives, \(1/x\) devient arbitrairement grand et positif. Par valeurs négatives, on obtiendrait au contraire −∞.

Question 11

11. Quelle règle permet de déterminer la limite à l’infini d’un polynôme en repérant le terme de plus haut degré ?

On remplace systématiquement x par la limite cherchée

On étudie le terme dominant en puissance la plus élevée

On compare uniquement les coefficients constants

On factorise par le plus petit degré du polynôme

Explication

Pour un polynôme, la limite à l’infini se déduit de la puissance dominante, c’est-à-dire du terme de plus haut degré. Les autres termes deviennent négligeables devant lui quand x tend vers l’infini.

Question 12

12. Comment détermine-t-on la limite à l’infini d’une fraction rationnelle ?

En remplaçant le quotient par la somme des limites des termes

En comparant les degrés du numérateur et du dénominateur

En dérivant le numérateur puis le dénominateur

En étudiant seulement le signe du dénominateur

Explication

Pour une fonction rationnelle, on analyse la limite en comparant les degrés du numérateur et du dénominateur. C’est cette comparaison qui permet de savoir si la fonction tend vers une constante, 0 ou l’infini.

Question 13

13. Si une fonction u(x) admet une limite b et si v(X) admet une limite L quand X tend vers b, que peut-on conclure pour v(u(x)) ?

Sa limite est toujours 0

Sa limite est L

Sa limite n’existe pas nécessairement

Sa limite est forcément b

Explication

La propriété de composition des limites dit que si u(x) tend vers b et si v(X) tend vers L quand X tend vers b, alors v(u(x)) tend vers L. La limite de la fonction composée se déduit donc des deux limites séparées.

Question 14

14. Quel énoncé correspond au théorème des gendarmes ?

Si f(x)≤g(x), alors g a la même limite que f

Si f(x)≤g(x)≤h(x) et que f et h tendent vers la même limite réelle, alors g tend vers cette limite

Si f et h divergent vers l’infini, alors g reste toujours bornée

Si f(x) et h(x) ont des limites différentes, alors g a une limite intermédiaire

Explication

Le théorème des gendarmes s’applique quand une fonction est encadrée par deux autres qui convergent vers la même limite réelle. Dans ce cas, la fonction encadrée converge vers cette même limite.

QCM : Maîtrise des limites en analyse — 14 questions

Questions et réponses du QCM

1. Que signifie la notation [31m\lim_{x\to a,\, x>a} f(x)[0m ?

2. Dans quelle situation étudie-t-on la limite \(\lim_{x\to -\infty} f(x)\) ?

3. Que vaut la limite de \(e^x\) lorsque \(x\to +\infty\) ?

4. Si \(f(x)\) devient arbitrairement négative lorsque \(x\to +\infty\), quelle écriture est correcte ?

5. Si \(\lim_{x\to +\infty} f(x)=L\) avec L réel, quelle conclusion est correcte ?

6. Quelle droite est une asymptote horizontale si \(\lim_{x\to -\infty} f(x)=3\) ?

7. Que signifie le fait que \(\lim_{x\to a} f(x)=+\infty\) ?

8. Quelle situation permet d’affirmer que la droite \(x=a\) est une asymptote verticale ?

9. Quelle est la limite de \(x^n\) quand \(x\to -\infty\) si n est pair ?

10. Quelle est la limite de \(\frac{1}{x}\) quand \(x\to 0\) avec \(x>0\) ?

11. Quelle règle permet de déterminer la limite à l’infini d’un polynôme en repérant le terme de plus haut degré ?

12. Comment détermine-t-on la limite à l’infini d’une fraction rationnelle ?

13. Si une fonction u(x) admet une limite b et si v(X) admet une limite L quand X tend vers b, que peut-on conclure pour v(u(x)) ?

14. Quel énoncé correspond au théorème des gendarmes ?

Révisez avec les flashcards

Approfondir avec la fiche

Cours similaires

Actions et mouvement

Gel pour les veines

Grandeurs composées et conversions

Réciproque de Pythagore

Réussir ses études efficacement

Les émotions humaines

Crée tes propres QCM

QCM : Maîtrise des limites en analyse — 14 questions

Questions et réponses du QCM

1. Que signifie la notation [31m\lim_{x\to a,\, x>a} f(x)[0m ?

2. Dans quelle situation étudie-t-on la limite \(\lim_{x\to -\infty} f(x)\) ?

3. Que vaut la limite de \(e^x\) lorsque \(x\to +\infty\) ?

4. Si \(f(x)\) devient arbitrairement négative lorsque \(x\to +\infty\), quelle écriture est correcte ?

5. Si \(\lim_{x\to +\infty} f(x)=L\) avec L réel, quelle conclusion est correcte ?

6. Quelle droite est une asymptote horizontale si \(\lim_{x\to -\infty} f(x)=3\) ?

7. Que signifie le fait que \(\lim_{x\to a} f(x)=+\infty\) ?

8. Quelle situation permet d’affirmer que la droite \(x=a\) est une asymptote verticale ?

9. Quelle est la limite de \(x^n\) quand \(x\to -\infty\) si n est pair ?

10. Quelle est la limite de \(\frac{1}{x}\) quand \(x\to 0\) avec \(x>0\) ?

11. Quelle règle permet de déterminer la limite à l’infini d’un polynôme en repérant le terme de plus haut degré ?

12. Comment détermine-t-on la limite à l’infini d’une fraction rationnelle ?

13. Si une fonction u(x) admet une limite b et si v(X) admet une limite L quand X tend vers b, que peut-on conclure pour v(u(x)) ?

14. Quel énoncé correspond au théorème des gendarmes ?

Révisez avec les flashcards

Approfondir avec la fiche

Cours similaires

Actions et mouvement

Gel pour les veines

Grandeurs composées et conversions

Réciproque de Pythagore

Réussir ses études efficacement

Les émotions humaines

Crée tes propres QCM

1. Que signifie la notation [31m\lim_{x\to a,\, x>a} f(x)[0m ?