QCM : Maîtrise des logarithmes et leurs propriétés — 6 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle est la définition précise du logarithme en base $a$ de $b$ ?

Le logarithme en base $a$ de $b$ est la valeur que doit prendre $b$ pour que $a^b$ soit égal à $a$.
Le logarithme en base $a$ de $b$ est la puissance à laquelle il faut élever $a$ pour obtenir $b$, c'est-à-dire que $a^x = b$ implique $x = ext{log}_a(b)$.
Le logarithme est une fonction qui transforme une addition en multiplication.
Le logarithme est la somme des exposants dans une expression exponentielle.

Le logarithme en base $a$ de $b$ est la puissance à laquelle il faut élever $a$ pour obtenir $b$, c'est-à-dire que $a^x = b$ implique $x = ext{log}_a(b)$.

Explication

La définition fondamentale du logarithme en base $a$ de $b$ est qu'il s'agit de l'exposant $x$ tel que $a^x = b$, ce qui correspond à la réponse 0. Les autres propositions sont incorrectes ou confuses : la deuxième décrit une propriété des logarithmes (transformation d'additions en multiplications) mais ne donne pas la définition, la troisième inverse la relation, et la quatrième est fausse.

2. Quelle est la relation fondamentale qui définit le logarithme en base $a$ de $b$ ?

$a^x = b$ avec $a eq 0$, $a eq 1$, et $b eq 0$
$a^x = b$ avec $a > 0$ et $b > 0$, sans restriction sur $a$
$a^x = b$ avec $a > 0$, $a eq 1$, et $b > 0$
$a^x = b$ avec $a > 1$ et $b > 0$

$a^x = b$ avec $a > 0$, $a eq 1$, et $b > 0$

Explication

La relation fondamentale du logarithme est que $x = ext{log}_a(b)$ si et seulement si $a^x = b$, avec la condition que $a > 0$, $a eq 1$, et $b > 0$. Cette définition précise la relation inverse entre l'exponentielle et le logarithme, en précisant les conditions sur la base et l'argument.

3. Quel est le rôle principal de la propriété du logarithme qui stipule que si a^x = b, alors x = log_a(b) ?

Elle définit la base du logarithme en fonction de l'exponentielle.
Elle sert à calculer la valeur exacte d'un logarithme.
Elle permet de transformer une équation exponentielle en une équation logarithmique.
Elle permet de changer la base d'un logarithme dans une expression.

Elle permet de transformer une équation exponentielle en une équation logarithmique.

Explication

La propriété en question est utilisée pour transformer une équation exponentielle en une équation logarithmique, ce qui facilite sa résolution.

4. Quelle étape a été établie en dernier dans le développement des équations logarithmiques ?

La méthode de résolution des équations logarithmiques par égalité des arguments dans la seconde moitié du 17ème siècle
La découverte des propriétés du logarithme (produit, quotient, puissance) au 17ème siècle
L'application des logarithmes à la modélisation de phénomènes de croissance au 20ème siècle
La définition du logarithme comme inverse de l'exponentielle en 1614 par Napier

La méthode de résolution des équations logarithmiques par égalité des arguments dans la seconde moitié du 17ème siècle

Explication

La définition du logarithme comme inverse de l'exponentielle a été établie en premier par Napier en 1614. Les propriétés du logarithme ont été découvertes peu après, au 17ème siècle, pour faciliter la résolution des équations exponentielles. La méthode systématique de résolution par égalité des arguments a été formalisée après la découverte de ces propriétés, dans la seconde moitié du 17ème siècle. L'application à la modélisation est une utilisation plus récente, au 20ème siècle. Donc, la dernière étape parmi celles listées est la méthode de résolution par égalité des arguments.

5. En quoi la propriété des inégalités logarithmiques diffère-t-elle selon la base du logarithme ?

Les inégalités logarithmiques sont toujours inversées par rapport aux arguments.
La direction de l'inégalité dépend si la base est supérieure ou inférieure à 1.
Les inégalités logarithmiques ne s'appliquent qu'aux bases naturelles.
Les inégalités ne changent pas de sens selon la base.

La direction de l'inégalité dépend si la base est supérieure ou inférieure à 1.

Explication

La différence principale réside dans le fait que si la base est supérieure à 1, l'inégalité est conservée, tandis que si la base est comprise entre 0 et 1, l'inégalité s'inverse. Cela reflète le comportement croissant ou décroissant de la fonction logarithme selon la base.

6. Qui est crédité d'avoir formulé la définition du logarithme comme l'inverse de l'exponentielle?

Bernhard Riemann
Isaac Newton
Carl Friedrich Gauss
Leonhard Euler

Leonhard Euler

Explication

Leonhard Euler est crédité d'avoir formalisé la relation entre le logarithme et l'exponentielle comme étant des fonctions inverses, notamment dans ses travaux sur la fonction exponentielle et le logarithme.

Révisez avec les flashcards

Mémorisez les réponses avec 12 flashcards sur Maîtrise des logarithmes et leurs propriétés.

Logarithme — définition ?

Inverse de l'exponentielle, $a^x=b ightarrow x= ext{log}_a(b)$.

Bases importantes — exemples ?

Logarithme décimal ($ ext{log}$), népérien ($ ext{ln}$).

Propriété produit — formule ?

$ ext{log}_a(MN)= ext{log}_a(M)+ ext{log}_a(N)$.

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