Fiche de révision : Maîtrise des pourcentages et évolutions

📋 Plan du Cours

1. Proportion et pourcentage
2. Effectif, proportion et pourcentage
3. Pourcentage de pourcentage
4. Coefficients multiplicateurs
5. Augmentation et diminution en pourcentage
6. Taux d’évolution
7. Évolutions successives et réciproques

📖 1. Proportion et pourcentage

🔑 Notions clés & Définitions

• Population de référence : La population de référence est l’ensemble choisi comme dénominateur pour calculer une proportion.
• Sous-population : Une sous-population est un groupe contenu dans la population de référence dont on compte les effectifs.
• Proportion : Une proportion est un nombre compris entre 0 et 1 qui mesure la part d’une sous-population dans la population de référence.
• Pourcentage : Un pourcentage est une proportion exprimée sur 100.

📝 Points essentiels

• La proportion vaut sous-population divisée par population de référence, puis le pourcentage vaut proportion multipliée par 100.
• Dans l’exemple, 108 externes sur 480 donnent p=108/480=0,225 donc 22,5 %.
• Si 15 % des 480 élèves ont choisi l’option grec, alors on calcule 0,15×480=72 élèves.

💡 Astuce mémo

Proportion = Sous-population / Référence, puis pourcentage = Proportion × 100.

📖 2. Effectif, proportion et pourcentage

🔑 Notions clés & Définitions

• Effectif : Un effectif est un nombre d’individus comptés dans une population ou une sous-population.
• Associer effectif proportion pourcentage : On associe effectif, proportion et pourcentage en reliant une part à un nombre puis à l’effectif correspondant.
• Cadres : Les cadres constituent une sous-population dans l’exemple de la société de 75 employés.
• Femmes : Les femmes constituent une sous-population utilisée pour calculer une proportion et un pourcentage conditionnels.

📝 Points essentiels

• Pour calculer l’effectif d’une catégorie, on prend le pourcentage (en décimal) multiplié par l’effectif de référence, par exemple 12 % de 75 donne 0,12×75=9 cadres.
• La proportion de femmes vaut effectif des femmes divisé par l’effectif total, et ici la société compte environ 47 % de femmes.
• La proportion de cadres parmi les femmes vaut effectif des femmes cadres sur effectif des femmes, et ici cela fait 14 % donc les femmes cadres sont surreprésentées.

💡 Astuce mémo

Sous-population d’origine puis sous-population d’arrivée : référence → parmi.

📖 3. Pourcentage de pourcentage

🔑 Notions clés & Définitions

• Pourcentage de pourcentage : Un pourcentage de pourcentage correspond à la part finale quand on applique un premier pourcentage puis un second sur le sous-ensemble obtenu.
• Propriété d’inclusion A⊂B⊂C : Quand A est inclus dans B et B dans C, la proportion de A dans C s’obtient en combinant les proportions intermédiaires.
• Proportion de A dans B : La proportion de A dans B est la part de A parmi les éléments de B.
• Proportion de B dans C : La proportion de B dans C est la part de B parmi les éléments de C.

📝 Points essentiels

• Pour calculer un pourcentage de pourcentage, on multiplie les deux pourcentages exprimés en décimaux, puis on repasse en pourcentage si besoin.
• Dans l’exemple, 60 % de 40 % donnent 0,6×0,4=0,24 donc 24 % de filles scolaires dans le bus.
• Si 66 % sont en âge de travailler puis 70 % sont actifs parmi eux, alors 70 %×66 % = 46,2 % de la population totale est active.

💡 Astuce mémo

Deux étages de sélection : on multiplie les parts (0,6×0,4).

📖 4. Coefficients multiplicateurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Coefficient multiplicateur : Un coefficient multiplicateur est le facteur appliqué à une valeur pour modéliser une augmentation ou une diminution en pourcentage.
• Coefficient d’augmentation : Le coefficient d’augmentation en T % est le facteur $1+\frac{T}{100}$ qui multiplie la valeur de départ.
• Coefficient de diminution : Le coefficient de diminution en T % est le facteur $1-\frac{T}{100}$ qui multiplie la valeur de départ.

📝 Points essentiels

• Augmenter de 25 % revient à multiplier par $1+0{,}25=1{,}25$, et diminuer de 25 % revient à multiplier par $1-0{,}25=0{,}75$.
• Pour une augmentation de $T$ %, le coefficient est $1+\frac{T}{100}$, et pour une diminution de $T$ %, le coefficient est $1-\frac{T}{100}$.
• Les coefficients multiplicateurs pour 38 %, 5 %, −45 % et −4 % sont respectivement 1,38 ; 1,05 ; 0,55 ; 0,96.

💡 Astuce mémo

Augmenter : plus devant, diminuer : moins devant.

📖 5. Augmentation et diminution en pourcentage

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur de départ : La valeur de départ est le nombre initial sur lequel s’applique une augmentation ou une diminution en pourcentage.
• Réduction en pourcentage : Une réduction en pourcentage correspond à une diminution dont le calcul utilise un coefficient $1-\frac{T}{100}$.
• Hausse en pourcentage : Une hausse en pourcentage correspond à une augmentation dont le calcul utilise un coefficient $1+\frac{T}{100}$.

📝 Points essentiels

• Diminuer un prix de 35 % revient à multiplier par 0,65, et ici 160×0,65=104 €.
• Augmenter un prix de 8 % revient à multiplier par 1,08, et ici 49×1,08=52,92 €.
• Pour calculer une valeur après variation, on fait valeur de départ fois coefficient multiplicateur correspondant au signe ( + ou − ).

💡 Astuce mémo

Nouveau prix = Ancien prix × (1 ± taux décimal).

📖 6. Taux d’évolution

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur initiale : La valeur initiale est la première valeur notée $V_0$ avant l’évolution.
• Valeur finale : La valeur finale est la valeur notée $V_1$ après l’évolution.
• Taux d’évolution : Le taux d’évolution mesure la variation relative entre $V_0$ et $V_1$, exprimée en pourcentage.

📝 Points essentiels

• Le taux d’évolution se calcule par $t=\frac{V_1-V_0}{V_0}$, puis on peut l’exprimer en pourcentage.
• Si $t>0$ alors l’évolution est une augmentation, et si $t<0$ alors c’est une diminution.
• Entre 2018 et 2022, de 8500 à 10400, on a $t\approx\frac{10400-8500}{8500}=0{,}224$, soit environ 22,4 %.

💡 Astuce mémo

Variation relative : on compare le gain à l’origine ($V_1-V_0$) sur $V_0$.

📖 7. Évolutions successives et réciproques

🔑 Notions clés & Définitions

• Évolutions successives : Des évolutions successives sont plusieurs variations en pourcentage appliquées les unes après les autres sur une même valeur.
• Taux d’évolution global : Le taux d’évolution global est la variation totale obtenue après toutes les évolutions successives.
• Évolution réciproque : Une évolution réciproque est une variation qui annule une première évolution pour revenir à la valeur de départ.
• Coefficient global : Le coefficient global est le facteur unique égal au produit des coefficients multiplicateurs de chaque étape.

📝 Points essentiels

• L’ordre ne se résume pas en ajoutant les pourcentages : 5 % puis 20 % donnent 1,05×1,20=1,26 donc +26 % globalement.
• Pour combiner des évolutions successives, on multiplie les coefficients multiplicateurs de chaque étape, puis on retombe sur le pourcentage via le coefficient final.
• Exemple : +10 % puis −5 % donne 1,1×0,95=1,045 donc une hausse globale de 4,5 %.
• Une évolution réciproque correspond à prendre l’inverse du coefficient multiplicateur, ainsi une hausse de 25 % (×1,25) est annulée par une baisse de 20 % (×0,8).
• Pour l’exemple des ventes : −8 % correspond à un coefficient 0,92, donc l’évolution réciproque nécessite une hausse d’environ 8,7 % (×1/0,92≈1,087).

💡 Astuce mémo

Successives : on multiplie les coefficients ; Réciproque : on inverse le coefficient.

📅 Repères chronologiques

1. 2018Population d’un village passe de 8500 (départ du calcul de taux d’évolution).
2. 2022Population passe à 10400 et donne un taux d’évolution d’environ 22,4 %.
3. 2021Aux délices augmente ses ventes de 10 %.
4. 2023Question sur l’évolution à appliquer pour que les ventes retrouvent leur valeur initiale.

📊 Tableaux de synthèse

Coefficients pour augmenter ou diminuer

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Ajouter deux pourcentages successifs au lieu de multiplier les coefficients conduit à une mauvaise valeur globale (exemple : +5 % puis +20 % n’est pas +25 %).
2. Confondre la proportion avec l’effectif fait perdre le bon outil : la proportion est sans unité, l’effectif est un nombre de personnes.
3. Intervertir population de référence et sous-population change le dénominateur et donc la proportion (et donc le pourcentage).
4. Calculer un pourcentage de pourcentage en additionnant les taux donne faux, car il faut multiplier les deux taux en décimal.
5. Prendre le mauvais signe lors d’une diminution utilise $1+T/100$ au lieu de $1-T/100$, ce qui inverse l’effet.

✅ Checklist Examen

1. Savoir identifier la population de référence et la sous-population pour calculer une proportion.
2. Savoir passer d’une proportion à un pourcentage et inversement.
3. Savoir calculer un effectif à partir d’un pourcentage appliqué à une population de référence.
4. Savoir calculer la proportion de A dans B puis de A dans C quand B est inclus dans C en utilisant la multiplication des pourcentages.
5. Savoir interpréter correctement un pourcentage de pourcentage comme une sélection en deux étapes.
6. Savoir écrire le coefficient multiplicateur d’une augmentation $T$ % comme $1+T/100$.
7. Savoir écrire le coefficient multiplicateur d’une diminution $T$ % comme $1-T/100$.
8. Savoir calculer un nouveau prix (ou valeur) après une hausse ou une baisse en pourcentage en multipliant par le coefficient.
9. Savoir calculer un taux d’évolution $t=\frac{V_1-V_0}{V_0}$ et conclure augmentation si $t>0$ et diminution si $t<0$.
10. Savoir calculer un taux d’évolution global pour des évolutions successives en multipliant les coefficients (et non en additionnant les pourcentages).
11. Savoir calculer l’évolution réciproque en prenant l’inverse du coefficient multiplicateur de la première évolution.