QCM : Mathématiques Troisième : triangles et cônes (63 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Lequel des nombres suivants est nécessairement un nombre réel représentable sur une droite graduée ?

Un nombre dépourvu de représentation sur une droite graduée
Un symbole ne représentant aucun nombre
Le nombre 2\sqrt{2}
Une expression dont la valeur n’est pas définie

Le nombre \(\sqrt{2}\)

Explication

Tout nombre représentable sur une droite graduée appartient à l’ensemble des réels. 2\sqrt{2} est donc un nombre réel.

2. Quelle propriété caractérise a\sqrt{a} lorsque aa est positif ?

C’est l’unique réel dont le carré vaut −a-a.
C’est toujours la solution négative de l’équation x2=ax^2=a.
C’est l’unique réel positif dont le carré vaut aa.
C’est un réel dont le carré peut être différent de aa.

C’est l’unique réel positif dont le carré vaut \(a\).

Explication

Par définition, a\sqrt{a} est l’unique réel positif dont le carré est égal à aa. Les solutions de x2=ax^2=a, elles, peuvent être positives et négatives.

3. Pour a,b>0a,b>0, quelle égalité de radicaux est correcte ?

ab=a+b\sqrt{ab}=\sqrt a+\sqrt b
a+b=a+b\sqrt{a+b}=\sqrt a+\sqrt b
ab=a b\sqrt{ab}=\sqrt a\,\sqrt b
a/b=a b\sqrt{a/b}=\sqrt a\,\sqrt b

\(\sqrt{ab}=\sqrt a\,\sqrt b\)

Explication

Le produit de deux radicaux positifs vérifie ab=a b\sqrt{ab}=\sqrt a\,\sqrt b. En revanche, cette propriété ne s’étend pas à l’addition des radicaux.

4. Quelle expression développe correctement (a−b)2(a-b)^2 ?

a2−2ab+b2a^2-2ab+b^2
a2+2ab+b2a^2+2ab+b^2
a2−2b+b2a^2-2b+b^2
a2−b2a^2-b^2

\(a^2-2ab+b^2\)

Explication

Le développement du carré d’une différence est (a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2=a^2-2ab+b^2. Le terme du milieu est négatif.

5. Que représente la valeur absolue ∣x∣|x| d’un réel ?

Son opposé lorsqu’il est positif
Sa distance à zéro sur la droite graduée
La distance entre deux réels quelconques
Son carré lorsqu’il est négatif

Sa distance à zéro sur la droite graduée

Explication

La valeur absolue d’un réel est sa distance à zéro. Elle est donc toujours positive ou nulle, même lorsque xx est négatif.

6. La distance entre les réels −3-3 et 55 est égale à quelle valeur ?

−8-8
1515
88
22

\(8\)

Explication

On calcule d(−3,5)=∣−3−5∣=∣−8∣=8d(-3,5)=|-3-5|=|-8|=8. La distance est positive ou nulle, contrairement à la différence non corrigée.

7. Quelle condition caractérise l’appartenance d’un réel xx à l’intervalle fermé [a;b][a;b] ?

a≤x≤ba\le x\le b
x≤ax\le a ou x≥bx\ge b
a<x<ba<x<b
a≤x<ba\le x<b

\(a\le x\le b\)

Explication

L’intervalle fermé [a;b][a;b] contient tous les réels compris entre aa et bb, bornes incluses.

8. Si I=[1;4]I=[1;4] et J=[3;6]J=[3;6], quelle est leur intersection ?

]4;6]]4;6]
[3;4][3;4]
[1;3][1;3]
[1;6][1;6]

\([3;4]\)

Explication

L’intersection contient les nombres appartenant simultanément aux deux intervalles. Les valeurs communes vont donc de 33 à 44, bornes incluses.

9. Dans un triangle, quelle information constitue le point de départ de la propriété directe de Thalès ?

La perpendicularité de deux côtés du triangle
La connaissance d’une seule longueur du triangle
Le parallélisme d’une droite avec le troisième côté
L’égalité de deux angles opposés par le sommet

Le parallélisme d’une droite avec le troisième côté

Explication

La propriété directe de Thalès part du parallélisme d’une droite avec le troisième côté pour établir l’égalité de rapports de longueurs.

10. Dans une configuration de Thalès, quelle égalité permet d’exploiter des longueurs correspondantes ?

AMAB=ANAC\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}
AMBC=ABAN\frac{AM}{BC}=\frac{AB}{AN}
AMAC=ANAB\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}
ABAM=ANBC\frac{AB}{AM}=\frac{AN}{BC}

\(\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}\)

Explication

Les rapports de Thalès associent les longueurs correspondantes : AMAM à ABAB et ANAN à ACAC. Cette égalité permet de calculer une longueur inconnue.

11. Dans la réciproque de Thalès, quelle conclusion obtient-on lorsque les points sont alignés dans le même ordre et que AMAB=AM′AC\frac{AM}{AB}=\frac{AM'}{AC} ?

Les droites MM′MM' et BCBC sont perpendiculaires.
Les points MM et M′M' sont confondus.
Les droites MM′MM' et BCBC sont parallèles.
Les segments AMAM et ACAC sont de même longueur.

Les droites \(MM'\) et \(BC\) sont parallèles.

Explication

La réciproque de Thalès part de rapports égaux, avec les points alignés dans le même ordre, pour conclure au parallélisme de MM′MM' et BCBC.

12. Quelle condition caractérise deux triangles semblables ?

Ils ont seulement la même aire et des périmètres différents
Ils ont des angles correspondants égaux et des côtés correspondants proportionnels
Ils ont des côtés de même longueur sans relation entre leurs angles
Ils ont deux angles quelconques égaux et des côtés non proportionnels

Ils ont des angles correspondants égaux et des côtés correspondants proportionnels

Explication

Deux triangles sont semblables lorsque leurs angles correspondants sont égaux et que leurs côtés correspondants sont proportionnels. Avoir la même aire ne suffit pas à établir la similitude.

13. Dans deux triangles semblables, que peut-on affirmer au sujet des côtés correspondants ?

Leurs longueurs sont nécessairement identiques
Leurs produits sont tous égaux à un
Leurs différences sont toutes égales
Leurs rapports sont constants

Leurs rapports sont constants

Explication

Dans des triangles semblables, le rapport entre chaque paire de côtés correspondants est constant, par exemple AB/IJ = BC/JK = AC/IK.

14. Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse mesure 13 cm et un côté de l’angle droit mesure 5 cm. Quelle est la longueur de l’autre côté de l’angle droit ?

8 cm
18 cm
12 cm
10 cm

12 cm

Explication

Le théorème de Pythagore donne 13² = 5² + x², donc x² = 144 et x = 12 cm.

15. Dans un triangle rectangle ABC, la hauteur issue de l’angle droit rencontre l’hypoténuse BC en E. Quelle relation métrique est correcte pour le côté DB, si la notation correspondante est utilisée ?

DB² = BE × CE
DB² = BE × BC
DB² = DE × BC
DB² = CE × BC

DB² = BE × BC

Explication

Les relations métriques associent le carré de DB à sa projection BE sur l’hypoténuse : DB² = BE × BC. Les produits ne peuvent pas être échangés indifféremment.

16. Dans un triangle rectangle, quel rapport représente le sinus d’un angle aigu α ?

Le côté adjacent sur l’hypoténuse
Le côté opposé sur le côté adjacent
Le côté adjacent sur le côté opposé
Le côté opposé sur l’hypoténuse

Le côté opposé sur l’hypoténuse

Explication

Le sinus d’un angle aigu est le rapport du côté opposé à cet angle sur l’hypoténuse. Le rapport côté adjacent sur hypoténuse correspond au cosinus.

17. Si sin α = 3/5 et cos α = 4/5, quelle est la valeur de tan α ?

4/3
3/5
3/4
4/5

3/4

Explication

La tangente vérifie tan α = sin α / cos α. Ainsi, tan α = (3/5)/(4/5) = 3/4.

18. Un angle aigu α vérifie sin α = 3/5. Quelle valeur peut prendre cos α ?

6/5
1/5
2/5
4/5

4/5

Explication

Comme sin² α + cos² α = 1, on obtient cos² α = 1 − 9/25 = 16/25. Pour un angle aigu, le cosinus est positif, donc cos α = 4/5.

19. Lequel des angles suivants est un angle inscrit ?

Un angle dont le sommet est le centre du cercle et dont les côtés sont des rayons
Un angle dont le sommet appartient au cercle et dont les côtés rencontrent encore le cercle
Un angle dont le sommet est à l’extérieur du cercle et dont les côtés sont des diamètres
Un angle dont le sommet est à l’intérieur du cercle et dont un seul côté rencontre le cercle

Un angle dont le sommet appartient au cercle et dont les côtés rencontrent encore le cercle

Explication

Un angle inscrit a son sommet sur le cercle et ses côtés coupent le cercle en deux autres points. Un angle dont le sommet est au centre est un angle au centre.

20. Un angle inscrit intercepte le même arc qu’un angle au centre de 86°. Quelle est la mesure de l’angle inscrit ?

344°
86°
172°
43°

43°

Explication

La mesure d’un angle inscrit est la moitié de celle de l’angle au centre qui intercepte le même arc : 86°/2 = 43°.

21. Dans un quadrilatère inscrit dans un cercle, un angle mesure 112°. Quelle est la mesure de son angle opposé ?

68°
78°
248°
112°

68°

Explication

Les angles opposés d’un quadrilatère inscrit sont supplémentaires. L’angle opposé mesure donc 180° − 112° = 68°.

22. Comment définit-on un cône de révolution ?

Un solide obtenu en faisant tourner un triangle rectangle autour de l’un de ses côtés de l’angle droit
Un solide obtenu en faisant tourner un cercle autour de l’un de ses diamètres
Un solide obtenu en faisant tourner un rectangle autour de l’un de ses côtés
Un solide obtenu en faisant glisser un triangle rectangle le long d’un axe

Un solide obtenu en faisant tourner un triangle rectangle autour de l’un de ses côtés de l’angle droit

Explication

Un cône de révolution est engendré par la rotation d’un triangle rectangle autour de l’un de ses côtés de l’angle droit.

23. Un cône a un rayon de base r, une hauteur h et un apothème a. Quelle expression donne son volume ?

13πr2h\frac{1}{3}\pi r^2h
πr(a+r)\pi r(a+r)
πra\pi ra
13πrah\frac{1}{3}\pi rah

$$\frac{1}{3}\pi r^2h$$

Explication

Le volume d’un cône est 13πr2h\frac{1}{3}\pi r^2h. Il vaut donc un tiers de celui d’un cylindre ayant la même base et la même hauteur.

24. Que produit une section d’un cône circulaire droit par un plan parallèle à sa base ?

Un tronc de cône et un cône réduit
Deux cylindres de même rayon
Un prisme et un cône de même hauteur
Une sphère et un cône réduit

Un tronc de cône et un cône réduit

Explication

Un plan parallèle à la base découpe le cône en deux solides : un cône réduit et un tronc de cône.

25. Quelle formule permet de calculer le volume d’un tronc de cône de hauteur h et de rayons r et r′ ?

πh3(r2+r′2)\frac{\pi h}{3}(r^2+r′^2)
13π(r+r′)2h\frac{1}{3}\pi(r+r′)^2h
πh3(r2+rr′+r′2)\frac{\pi h}{3}(r^2+rr′+r′^2)
πh(r+r′)\pi h(r+r′)

$$\frac{\pi h}{3}(r^2+rr′+r′^2)$$

Explication

Le volume d’un tronc de cône est Vt=πh3(r2+rr′+r′2)V_t=\frac{\pi h}{3}(r^2+rr′+r′^2). Le terme croisé rr′rr′ est indispensable.

26. Quelle distinction décrit correctement le cône réduit et le tronc de cône issus d’une section parallèle à la base ?

Les deux solides sont entièrement coniques, mais leurs bases ont des rayons différents
Les deux solides sont des cylindres, mais leurs hauteurs sont différentes
Le cône réduit est entièrement conique, tandis que le tronc de cône est la partie restante du cône initial
Le cône réduit est la partie restante, tandis que le tronc de cône est entièrement conique

Le cône réduit est entièrement conique, tandis que le tronc de cône est la partie restante du cône initial

Explication

Le cône réduit conserve une forme conique complète. Le tronc de cône correspond à la différence entre le cône initial et le cône réduit.

27. Un cône réduit a une échelle de réduction k par rapport au cône initial. Quels sont les rapports des longueurs, des aires et des volumes correspondants ?

k2, k, k3k^2,\ k,\ k^3
k3, k2, kk^3,\ k^2,\ k
k, k2, k3k,\ k^2,\ k^3
k, k3, k2k,\ k^3,\ k^2

$$k,\ k^2,\ k^3$$

Explication

Les longueurs sont multipliées par kk, les aires par k2k^2 et les volumes par k3k^3. Le rapport d’aire ne doit donc pas être confondu avec le rapport de volume.

28. Quelle expression donne l’aire latérale d’un tronc de cône de rayons r et r′ et d’apothème a_t ?

πrr′at\pi rr′a_t
π(r−r′)at\pi(r-r′)a_t
π(r+r′)at\pi(r+r′)a_t
12π(r+r′)at\frac{1}{2}\pi(r+r′)a_t

$$\pi(r+r′)a_t$$

Explication

L’aire latérale du tronc de cône est At=π(r+r′)atA_t=\pi(r+r′)a_t. Elle dépend de la somme des deux rayons et de l’apothème du tronc.

29. Quelle définition correspond à un polynôme ?

Un quotient de deux fonctions quelconques
Un produit de plusieurs fractions
Une somme de plusieurs monômes
Une équation comportant nécessairement une racine carrée

Une somme de plusieurs monômes

Explication

Un polynôme est une somme de plusieurs monômes, comme 3x2−2x+53x^2-2x+5.

30. Quel est le degré du polynôme 4x5−3x2+x−74x^5-3x^2+x-7 ?

4
7
5
2

5

Explication

Le degré d’un polynôme est le plus grand degré de ses monômes. Ici, le monôme de plus haut degré est 4x54x^5, donc le degré est 5.

31. Après avoir développé un produit de polynômes, quelle démarche permet d’obtenir une expression réduite et ordonnée ?

Remplacer chaque terme par son carré, puis classer les constantes
Factoriser immédiatement chaque monôme, puis supprimer les parenthèses
Regrouper les termes de même degré, puis réduire et ordonner l’expression
Additionner les exposants de tous les termes, puis diviser par le nombre de monômes

Regrouper les termes de même degré, puis réduire et ordonner l’expression

Explication

Le calcul avec des polynômes consiste à développer, regrouper les termes de même degré, réduire les coefficients, puis ordonner l’expression. Réduire signifie regrouper les termes semblables, et non factoriser.

32. Quelle méthode peut être utilisée pour factoriser une expression polynomiale ?

Remplacer chaque somme par une différence sans modifier les coefficients
Additionner les termes de degrés différents puis supprimer les variables
Mettre en évidence un facteur commun ou utiliser un produit remarquable
Multiplier tous les termes par leur degré avant de les regrouper

Mettre en évidence un facteur commun ou utiliser un produit remarquable

Explication

La factorisation peut s’effectuer en extrayant un facteur commun ou en reconnaissant une identité de produit remarquable. Ces deux méthodes transforment une somme en produit, mais reposent sur des démarches différentes.

33. Quelle relation caractérise deux vecteurs orthogonaux ?

Ils ont la même direction
L’un est un multiple positif de l’autre
Ils ont nécessairement la même longueur
Ils forment un angle droit

Ils forment un angle droit

Explication

Deux vecteurs orthogonaux forment un angle droit. Des vecteurs colinéaires, eux, ont la même direction.

34. Deux vecteurs non nuls u⃗\vec u et v⃗\vec v sont-ils colinéaires lorsque v⃗=−3u⃗\vec v= -3\vec u ?

Oui, car l’un est un multiple réel de l’autre
Non, car le coefficient est négatif
Non, car leurs longueurs sont différentes
Oui, mais seulement s’ils ont le même sens

Oui, car l’un est un multiple réel de l’autre

Explication

Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si et seulement si l’un est un multiple réel de l’autre. Le coefficient peut donc être négatif.

35. Que devient un vecteur lorsqu’on le multiplie par le réel −2-2 ?

Sa direction est conservée, son sens est inversé et sa longueur est doublée
Sa direction et son sens sont inversés, sans changement de longueur
Sa direction est changée et son sens est conservé, avec une longueur doublée
Sa direction et son sens sont conservés, et sa longueur est divisée par 2

Sa direction est conservée, son sens est inversé et sa longueur est doublée

Explication

La multiplication par un réel négatif inverse le sens du vecteur, tandis que sa longueur est multipliée par la valeur absolue du réel.

36. Quelle condition permet de conclure que les points AA, BB et MM sont alignés ?

Les longueurs AMAM et ABAB sont nécessairement égales
Il existe un réel kk tel que AM⃗+AB⃗=k\vec{AM}+\vec{AB}=k
Les vecteurs AM⃗\vec{AM} et AB⃗\vec{AB} sont orthogonaux
Il existe un réel kk tel que AM⃗=kAB⃗\vec{AM}=k\vec{AB}

Il existe un réel \(k\) tel que \(\vec{AM}=k\vec{AB}\)

Explication

Les points sont alignés si et seulement si le vecteur AM⃗\vec{AM} est un multiple réel de AB⃗\vec{AB}.

37. Que représentent les coordonnées d’un vecteur dans un repère ?

La position absolue de son origine
Les coordonnées du point situé à son extrémité
La distance entre son origine et son extrémité
Les coefficients de sa décomposition sur les vecteurs de base

Les coefficients de sa décomposition sur les vecteurs de base

Explication

Les coordonnées d’un vecteur sont les coefficients de sa décomposition sur les vecteurs de base. Elles décrivent ainsi un déplacement, et non directement la position d’un point.

38. Si A(2;−1)A(2;-1) et B(5;3)B(5;3), quelles sont les coordonnées de AB⃗\vec{AB} ?

(7; 2)
(3; 4)
(-3; -4)
(5; -3)

(3; 4)

Explication

On calcule AB⃗=(xB−xA;yB−yA)=(5−2;3−(−1))=(3;4)\vec{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A)=(5-2;3-(-1))=(3;4).

39. Dans un repère orthonormé, quelle expression donne la distance entre A(xA;yA)A(x_A;y_A) et B(xB;yB)B(x_B;y_B) ?

(xB−xA)2+(yB−yA)2(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2
(xB−xA)+(yB−yA)(x_B-x_A)+(y_B-y_A)
xB−xA+yB−yA\sqrt{x_B-x_A+y_B-y_A}
(xB−xA)2+(yB−yA)2\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}

\(\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\)

Explication

La distance s’obtient par la racine carrée de la somme des carrés des différences de coordonnées. Les simples différences donnent les coordonnées du vecteur.

40. Les vecteurs u⃗=(2;3)\vec u=(2;3) et v⃗=(x′;y′)\vec v=(x';y') sont-ils colinéaires lorsque 2y′−3x′=02y'-3x'=0 ?

Non, car il faudrait vérifier 2x′+3y′=02x'+3y'=0
Oui, car leur produit scalaire est nul
Oui, car leur déterminant est nul
Non, car deux vecteurs colinéaires doivent avoir des coordonnées positives

Oui, car leur déterminant est nul

Explication

La condition de colinéarité est xy′−x′y=0xy'-x'y=0. Ici, elle devient 2y′−3x′=02y'-3x'=0.

41. Quelle forme est une équation cartésienne d’une droite lorsque aa et bb sont non nuls ?

x2+y2+c=0x^2+y^2+c=0
y=ax+by=ax+b uniquement avec a=0a=0
ax+by+c=0ax+by+c=0
axy+b=0axy+b=0

\(ax+by+c=0\)

Explication

Une équation de la forme ax+by+c=0ax+by+c=0, avec aa et bb non nuls, est une équation cartésienne d’une droite.

42. Dans l’équation réduite y=−2x+5y=-2x+5, quelles sont respectivement le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine ?

Le coefficient directeur vaut −2 et l’ordonnée à l’origine vaut −5
Le coefficient directeur vaut 5 et l’ordonnée à l’origine vaut −2
Le coefficient directeur vaut 2 et l’ordonnée à l’origine vaut 5
Le coefficient directeur vaut −2 et l’ordonnée à l’origine vaut 5

Le coefficient directeur vaut −2 et l’ordonnée à l’origine vaut 5

Explication

Dans y=ax+by=ax+b, aa est le coefficient directeur et bb l’ordonnée à l’origine. Ici, ils valent respectivement −2 et 5.

43. Quel est le coefficient directeur de la droite passant par A(1;2)A(1;2) et B(4;8)B(4;8) ?

12\frac{1}{2}
6
2
3

2

Explication

Le coefficient directeur vaut a=yB−yAxB−xA=8−24−1=63=2a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{8-2}{4-1}=\frac{6}{3}=2.

44. Dans un repère orthonormé, deux droites non verticales de coefficients directeurs 33 et −13-\frac{1}{3} sont-elles perpendiculaires ?

Non, car le produit de leurs coefficients directeurs vaut 1
Oui, car leurs coefficients directeurs sont opposés
Non, car elles ont des coefficients directeurs différents
Oui, car le produit de leurs coefficients directeurs vaut −1

Oui, car le produit de leurs coefficients directeurs vaut −1

Explication

Deux droites non verticales sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leurs coefficients directeurs vaut −1. Ici, 3×(−13)=−13\times(-\frac13)=-1.

45. Laquelle des relations suivantes est une inéquation du premier degré à une inconnue ?

√x=5
3x-5<7
3xy-2>0
x²+1=4

3x-5<7

Explication

Une inéquation du premier degré comporte une inconnue au premier degré et une comparaison entre deux expressions. La relation 3x−5<7 répond à ces deux critères.

46. Que devient le sens de l’inégalité lorsqu’on divise ses deux membres par un nombre négatif ?

Il s’inverse
Il disparaît
Il devient une égalité
Il reste inchangé

Il s’inverse

Explication

La division par un nombre négatif inverse le sens de l’inégalité, comme la multiplication par un nombre négatif.

47. Pour résoudre graphiquement l’inéquation 2x+y≤4, quelle démarche faut-il suivre ?

Retenir toute la région située entre deux droites
Tracer uniquement la droite 2x+y≤4
Tracer la droite 2x+y=4 puis retenir le demi-plan approprié
Résoudre séparément x et y comme deux inéquations

Tracer la droite 2x+y=4 puis retenir le demi-plan approprié

Explication

La droite frontière est obtenue en remplaçant l’inégalité par l’égalité 2x+y=4. Les solutions constituent ensuite le demi-plan correspondant au signe ≤.

48. Comment représente-t-on graphiquement les solutions d’un système de deux inéquations à deux inconnues ?

En additionnant les deux demi-plans
En prenant l’intersection des demi-plans solutions
En conservant uniquement les droites frontières
En prenant l’union des deux droites frontières

En prenant l’intersection des demi-plans solutions

Explication

Chaque inéquation définit un demi-plan solution, et les solutions du système sont les points appartenant simultanément aux deux demi-plans, donc leur intersection.

49. Quelle forme caractérise une application affine ?

f(x)=a/x
f(x)=ax+b
f(x)=ax²+b
f(x)=a

f(x)=ax+b

Explication

Une application affine s’écrit f(x)=ax+b, où a est le coefficient et b le terme constant. Le terme b peut être non nul.

50. Une application affine est définie par f(x)=-3x+5. Quelle est sa variation sur R ?

Elle n’est définie que pour x positif
Elle est strictement croissante
Elle est strictement décroissante
Elle est constante

Elle est strictement décroissante

Explication

Le coefficient directeur vaut −3, un nombre négatif. Une application affine dont le coefficient est négatif est strictement décroissante sur R.

51. Quelle expression définit une application linéaire ?

g(x)=x²+a
g(x)=ax avec un terme constant nul
g(x)=a/x avec a non nul
g(x)=ax+b avec b quelconque

g(x)=ax avec un terme constant nul

Explication

Une application linéaire est de la forme g(x)=ax. Son terme constant est donc nul et sa représentation passe par l’origine.

52. Si g est une application linéaire, quelle égalité permet de calculer l’image d’un multiple réel ?

g(kv)=g(k)+g(v)
g(kv)=g(v)/k
g(kv)=k+g(v)
g(kv)=kg(v)

g(kv)=kg(v)

Explication

Une application linéaire respecte la multiplication par un réel : g(kv)=kg(v). Elle respecte également l’addition, selon g(u+v)=g(u)+g(v).

53. Quelle propriété caractérise une application linéaire g(x)=ax dans le cadre considéré ?

Elle ne s’annule jamais
Elle est nécessairement constante
Elle s’annule en 0 et son coefficient a est non nul
Elle possède toujours un terme constant positif

Elle s’annule en 0 et son coefficient a est non nul

Explication

Pour g(x)=ax, on a g(0)=0 ; l’application s’annule donc en 0. Dans le cadre indiqué, le coefficient a est un réel non nul.

54. Soit g(x)=4x. Quelle égalité vérifie l’additivité de g pour u=2 et v=−5 ?

g(2−5)=g(2)+g(−5)
g(2−5)=g(2)−g(5)
g(2−5)=g(2)g(−5)
g(2−5)=g(2)+g(5)

g(2−5)=g(2)+g(−5)

Explication

L’additivité impose g(u+v)=g(u)+g(v). Ici, avec v=−5, on obtient g(2−5)=g(2)+g(−5).

55. Soit g(x)=−3x et k=2. Quelle relation illustre l’homogénéité de g ?

g(2v)=g(v)/2
g(2v)=g(2)+g(v)
g(2v)=2g(v)
g(2v)=g(v)+2

g(2v)=2g(v)

Explication

Pour une application linéaire, g(kv)=kg(v). Avec k=2, on obtient donc g(2v)=2g(v), quelle que soit la valeur de v.

56. Dans une étude portant sur les moyens de transport utilisés par les élèves d’un collège, que désigne la population ?

L’ensemble des élèves étudiés
Le moyen de transport observé
Un seul élève choisi dans le collège
Le nombre d’élèves utilisant chaque moyen

L’ensemble des élèves étudiés

Explication

La population est l’ensemble sur lequel porte l’étude statistique, ici tous les élèves concernés.

57. Une étude porte sur la couleur préférée de chaque élève d’une classe. Que représente un individu ?

Le nombre d’élèves préférant une couleur
Une couleur proposée dans le questionnaire
L’ensemble des élèves de la classe
Chaque élève de la classe étudiée

Chaque élève de la classe étudiée

Explication

Un individu est chaque élément de la population étudiée. Ici, chaque élève constitue un individu, tandis que la classe entière forme la population.

58. Dans une étude sur le nombre de livres lus par des élèves, quel est le caractère étudié ?

L’ensemble des élèves interrogés
Chaque élève participant à l’étude
Le nombre de livres lus par élève
Le nombre total de réponses obtenues

Le nombre de livres lus par élève

Explication

Le caractère est ce sur quoi porte l’étude statistique. Dans ce cas, il s’agit du nombre de livres lus par chaque élève.

59. Une enquête recense les animaux domestiques de 30 familles et indique que 12 familles possèdent un chat. Quel est l’effectif de la modalité « chat » ?

La présence d’un chat
12 familles
30 familles
Les différents animaux étudiés

12 familles

Explication

L’effectif d’une modalité est le nombre d’individus correspondant à cette modalité. La modalité « chat » a donc un effectif de 12.

60. Une classe compte 25 élèves, dont 10 portent des lunettes. Quelle est la fréquence de la modalité « porter des lunettes » ?

15
0,40
0,25
10

0,40

Explication

La fréquence se calcule en divisant l’effectif de la modalité par l’effectif total : 10 ÷ 25 = 0,40. Il s’agit d’une proportion, et non d’un nombre d’individus.

61. Dans le regroupement de tailles de T-shirts, quelle est la classe modale ?

[155;160[
[170;175[
[160;165[
[165;170[

[170;175[

Explication

La classe modale est celle dont l’effectif est le plus élevé. L’effectif maximal est 19, associé à la classe [170;175[.

62. Dans une série statistique, quelle représentation convient particulièrement pour comparer les effectifs de plusieurs catégories distinctes, comme des couleurs de T-shirts ?

Un tableau ne contenant que les fréquences
Un diagramme en bâtons
Une droite graduée sans effectifs
Un histogramme de classes continues

Un diagramme en bâtons

Explication

Un diagramme en bâtons permet de comparer visuellement les effectifs de catégories distinctes. L’histogramme est plutôt adapté à des données regroupées en classes.

63. Pour étudier les âges d’élèves et savoir combien ont au plus 13 ans, quelle démarche faut-il suivre ?

Additionner les âges sans établir les effectifs ni rechercher le mode
Calculer uniquement la moyenne, puis retenir les élèves les plus proches de cette moyenne
Construire uniquement un diagramme circulaire, puis choisir la classe la plus grande
Construire les effectifs et les fréquences, déterminer le mode, calculer la moyenne et compter les âges inférieurs ou égaux à 13 ans

Construire les effectifs et les fréquences, déterminer le mode, calculer la moyenne et compter les âges inférieurs ou égaux à 13 ans

Explication

L’étude demande de construire le tableau des effectifs et des fréquences, de déterminer le mode, de calculer la moyenne et de compter les élèves âgés d’au plus 13 ans.

Révisez avec les flashcards

Mémorisez les réponses avec 79 flashcards sur Mathématiques Troisième : triangles et cônes.

Qu'est-ce qu'un nombre réel ?

Un nombre représentable sur une droite graduée appartenant à R\mathbb{R}.

Qu'est-ce que la racine carrée de a>0a>0 ?

L'unique réel positif dont le carré vaut aa.

Quelle est la formule de ab\sqrt{ab} pour a,b>0a,b>0 ?

ab=a×b\sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}.

Voir les flashcards →

Approfondir avec la fiche

Consultez la fiche de révision complète sur Mathématiques Troisième : triangles et cônes.

Voir la fiche →

Cours similaires

Programme de physique-chimie en Première

Physique

Variation génétique et immunité

SVT

Division et expression du patrimoine génétique

SVT

Théorie de l’esprit et empathie

Jugement moral et comportements sociaux

Biologie fondamentale pour les soins

Crée tes propres QCM

Importe ton cours et l'IA génère des QCM avec corrections en 30 secondes.

Générateur de QCM