QCM : Mathématiques Troisième : triangles et cônes — 63 questions

Question 1

1. Lequel des nombres suivants est nécessairement un nombre réel représentable sur une droite graduée ?

Un nombre dépourvu de représentation sur une droite graduée

Un symbole ne représentant aucun nombre

Le nombre $\sqrt{2}$

Une expression dont la valeur n’est pas définie

Explication

Tout nombre représentable sur une droite graduée appartient à l’ensemble des réels. $\sqrt{2}$ est donc un nombre réel.

Answer

Le nombre $\sqrt{2}$

Question 2

2. Quelle propriété caractérise $\sqrt{a}$ lorsque $a$ est positif ?

C’est l’unique réel dont le carré vaut $-a$.

C’est toujours la solution négative de l’équation $x^2=a$.

C’est l’unique réel positif dont le carré vaut $a$.

C’est un réel dont le carré peut être différent de $a$.

Explication

Par définition, $\sqrt{a}$ est l’unique réel positif dont le carré est égal à $a$. Les solutions de $x^2=a$, elles, peuvent être positives et négatives.

Answer

C’est l’unique réel positif dont le carré vaut $a$.

Question 3

3. Pour $a,b>0$, quelle égalité de radicaux est correcte ?

$\sqrt{ab}=\sqrt a+\sqrt b$

$\sqrt{a+b}=\sqrt a+\sqrt b$

$\sqrt{ab}=\sqrt a\,\sqrt b$

$\sqrt{a/b}=\sqrt a\,\sqrt b$

Explication

Le produit de deux radicaux positifs vérifie $\sqrt{ab}=\sqrt a\,\sqrt b$. En revanche, cette propriété ne s’étend pas à l’addition des radicaux.

Answer

$\sqrt{ab}=\sqrt a\,\sqrt b$

Question 4

4. Quelle expression développe correctement $(a-b)^2$ ?

$a^2-2ab+b^2$

$a^2+2ab+b^2$

$a^2-2b+b^2$

$a^2-b^2$

Explication

Le développement du carré d’une différence est $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$. Le terme du milieu est négatif.

Answer

$a^2-2ab+b^2$

Question 5

5. Que représente la valeur absolue $|x|$ d’un réel ?

Son opposé lorsqu’il est positif

Sa distance à zéro sur la droite graduée

La distance entre deux réels quelconques

Son carré lorsqu’il est négatif

Explication

La valeur absolue d’un réel est sa distance à zéro. Elle est donc toujours positive ou nulle, même lorsque $x$ est négatif.

Answer

Sa distance à zéro sur la droite graduée

Question 6

6. La distance entre les réels $-3$ et $5$ est égale à quelle valeur ?

$-8$

$15$

$8$

$2$

Explication

On calcule $d(-3,5)=|-3-5|=|-8|=8$. La distance est positive ou nulle, contrairement à la différence non corrigée.

Answer

$a\le x\le b$

Answer

Le parallélisme d’une droite avec le troisième côté

Answer

$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$

Answer

Les droites $MM'$ et $BC$ sont parallèles.

Answer

Ils ont des angles correspondants égaux et des côtés correspondants proportionnels

Answer

Leurs rapports sont constants

Answer

DB² = BE × BC

Answer

Le côté opposé sur l’hypoténuse

Answer

Un angle dont le sommet appartient au cercle et dont les côtés rencontrent encore le cercle

Answer

Un solide obtenu en faisant tourner un triangle rectangle autour de l’un de ses côtés de l’angle droit

Answer

$$\frac{1}{3}\pi r^2h$$

Answer

Un tronc de cône et un cône réduit

Answer

$$\frac{\pi h}{3}(r^2+rr′+r′^2)$$

Answer

Le cône réduit est entièrement conique, tandis que le tronc de cône est la partie restante du cône initial

Answer

$$k,\ k^2,\ k^3$$

Answer

$$\pi(r+r′)a_t$$

Answer

Une somme de plusieurs monômes

Answer

Regrouper les termes de même degré, puis réduire et ordonner l’expression

Answer

Mettre en évidence un facteur commun ou utiliser un produit remarquable

Answer

Ils forment un angle droit

Answer

Oui, car l’un est un multiple réel de l’autre

Answer

Sa direction est conservée, son sens est inversé et sa longueur est doublée

Answer

Il existe un réel $k$ tel que $\vec{AM}=k\vec{AB}$

Answer

Les coefficients de sa décomposition sur les vecteurs de base

Answer

$\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$

Answer

Oui, car leur déterminant est nul

Answer

$ax+by+c=0$

Answer

Le coefficient directeur vaut −2 et l’ordonnée à l’origine vaut 5

Answer

Oui, car le produit de leurs coefficients directeurs vaut −1

Answer

Il s’inverse

Answer

Tracer la droite 2x+y=4 puis retenir le demi-plan approprié

Answer

En prenant l’intersection des demi-plans solutions

Answer

Elle est strictement décroissante

Answer

g(x)=ax avec un terme constant nul

Answer

g(kv)=kg(v)

Answer

Elle s’annule en 0 et son coefficient a est non nul

Answer

g(2−5)=g(2)+g(−5)

Answer

g(2v)=2g(v)

Answer

L’ensemble des élèves étudiés

Answer

Chaque élève de la classe étudiée

Answer

Le nombre de livres lus par élève

Answer

12 familles

Answer

Un diagramme en bâtons

Answer

Construire les effectifs et les fréquences, déterminer le mode, calculer la moyenne et compter les âges inférieurs ou égaux à 13 ans

Question 7

7. Quelle condition caractérise l’appartenance d’un réel $x$ à l’intervalle fermé $[a;b]$ ?

$a\le x\le b$

$x\le a$ ou $x\ge b$

$a<x<b$

$a\le x<b$

Explication

L’intervalle fermé $[a;b]$ contient tous les réels compris entre $a$ et $b$, bornes incluses.

Question 8

8. Si $I=[1;4]$ et $J=[3;6]$, quelle est leur intersection ?

$]4;6]$

$[3;4]$

$[1;3]$

$[1;6]$

Explication

L’intersection contient les nombres appartenant simultanément aux deux intervalles. Les valeurs communes vont donc de $3$ à $4$, bornes incluses.

Question 9

9. Dans un triangle, quelle information constitue le point de départ de la propriété directe de Thalès ?

La perpendicularité de deux côtés du triangle

La connaissance d’une seule longueur du triangle

Le parallélisme d’une droite avec le troisième côté

L’égalité de deux angles opposés par le sommet

Explication

La propriété directe de Thalès part du parallélisme d’une droite avec le troisième côté pour établir l’égalité de rapports de longueurs.

Question 10

10. Dans une configuration de Thalès, quelle égalité permet d’exploiter des longueurs correspondantes ?

$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$

$\frac{AM}{BC}=\frac{AB}{AN}$

$\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}$

$\frac{AB}{AM}=\frac{AN}{BC}$

Explication

Les rapports de Thalès associent les longueurs correspondantes : $AM$ à $AB$ et $AN$ à $AC$. Cette égalité permet de calculer une longueur inconnue.

Question 11

11. Dans la réciproque de Thalès, quelle conclusion obtient-on lorsque les points sont alignés dans le même ordre et que $\frac{AM}{AB}=\frac{AM'}{AC}$ ?

Les droites $MM'$ et $BC$ sont perpendiculaires.

Les points $M$ et $M'$ sont confondus.

Les droites $MM'$ et $BC$ sont parallèles.

Les segments $AM$ et $AC$ sont de même longueur.

Explication

La réciproque de Thalès part de rapports égaux, avec les points alignés dans le même ordre, pour conclure au parallélisme de $MM'$ et $BC$.

Question 12

12. Quelle condition caractérise deux triangles semblables ?

Ils ont seulement la même aire et des périmètres différents

Ils ont des angles correspondants égaux et des côtés correspondants proportionnels

Ils ont des côtés de même longueur sans relation entre leurs angles

Ils ont deux angles quelconques égaux et des côtés non proportionnels

Explication

Deux triangles sont semblables lorsque leurs angles correspondants sont égaux et que leurs côtés correspondants sont proportionnels. Avoir la même aire ne suffit pas à établir la similitude.

Question 13

13. Dans deux triangles semblables, que peut-on affirmer au sujet des côtés correspondants ?

Leurs longueurs sont nécessairement identiques

Leurs produits sont tous égaux à un

Leurs différences sont toutes égales

Leurs rapports sont constants

Explication

Dans des triangles semblables, le rapport entre chaque paire de côtés correspondants est constant, par exemple AB/IJ = BC/JK = AC/IK.

Question 14

14. Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse mesure 13 cm et un côté de l’angle droit mesure 5 cm. Quelle est la longueur de l’autre côté de l’angle droit ?

8 cm

18 cm

12 cm

10 cm

Explication

Le théorème de Pythagore donne 13² = 5² + x², donc x² = 144 et x = 12 cm.

Question 15

15. Dans un triangle rectangle ABC, la hauteur issue de l’angle droit rencontre l’hypoténuse BC en E. Quelle relation métrique est correcte pour le côté DB, si la notation correspondante est utilisée ?

DB² = BE × CE

DB² = BE × BC

DB² = DE × BC

DB² = CE × BC

Explication

Les relations métriques associent le carré de DB à sa projection BE sur l’hypoténuse : DB² = BE × BC. Les produits ne peuvent pas être échangés indifféremment.

Question 16

16. Dans un triangle rectangle, quel rapport représente le sinus d’un angle aigu α ?

Le côté adjacent sur l’hypoténuse

Le côté opposé sur le côté adjacent

Le côté adjacent sur le côté opposé

Le côté opposé sur l’hypoténuse

Explication

Le sinus d’un angle aigu est le rapport du côté opposé à cet angle sur l’hypoténuse. Le rapport côté adjacent sur hypoténuse correspond au cosinus.

Question 17

17. Si sin α = 3/5 et cos α = 4/5, quelle est la valeur de tan α ?

4/3

3/5

3/4

4/5

Explication

La tangente vérifie tan α = sin α / cos α. Ainsi, tan α = (3/5)/(4/5) = 3/4.

Question 18

18. Un angle aigu α vérifie sin α = 3/5. Quelle valeur peut prendre cos α ?

6/5

1/5

2/5

4/5

Explication

Comme sin² α + cos² α = 1, on obtient cos² α = 1 − 9/25 = 16/25. Pour un angle aigu, le cosinus est positif, donc cos α = 4/5.

Question 19

19. Lequel des angles suivants est un angle inscrit ?

Un angle dont le sommet est le centre du cercle et dont les côtés sont des rayons

Un angle dont le sommet appartient au cercle et dont les côtés rencontrent encore le cercle

Un angle dont le sommet est à l’extérieur du cercle et dont les côtés sont des diamètres

Un angle dont le sommet est à l’intérieur du cercle et dont un seul côté rencontre le cercle

Explication

Un angle inscrit a son sommet sur le cercle et ses côtés coupent le cercle en deux autres points. Un angle dont le sommet est au centre est un angle au centre.

Question 20

20. Un angle inscrit intercepte le même arc qu’un angle au centre de 86°. Quelle est la mesure de l’angle inscrit ?

344°

86°

172°

43°

Explication

La mesure d’un angle inscrit est la moitié de celle de l’angle au centre qui intercepte le même arc : 86°/2 = 43°.

Question 21

21. Dans un quadrilatère inscrit dans un cercle, un angle mesure 112°. Quelle est la mesure de son angle opposé ?

68°

78°

248°

112°

Explication

Les angles opposés d’un quadrilatère inscrit sont supplémentaires. L’angle opposé mesure donc 180° − 112° = 68°.

Question 22

22. Comment définit-on un cône de révolution ?

Un solide obtenu en faisant tourner un triangle rectangle autour de l’un de ses côtés de l’angle droit

Un solide obtenu en faisant tourner un cercle autour de l’un de ses diamètres

Un solide obtenu en faisant tourner un rectangle autour de l’un de ses côtés

Un solide obtenu en faisant glisser un triangle rectangle le long d’un axe

Explication

Un cône de révolution est engendré par la rotation d’un triangle rectangle autour de l’un de ses côtés de l’angle droit.

Question 23

23. Un cône a un rayon de base r, une hauteur h et un apothème a. Quelle expression donne son volume ?

\frac{1}{3}\pi r^2h

\pi r(a+r)

\pi ra

\frac{1}{3}\pi rah

Explication

Le volume d’un cône est $\frac{1}{3}\pi r^2h$ . Il vaut donc un tiers de celui d’un cylindre ayant la même base et la même hauteur.

Question 24

24. Que produit une section d’un cône circulaire droit par un plan parallèle à sa base ?

Un tronc de cône et un cône réduit

Deux cylindres de même rayon

Un prisme et un cône de même hauteur

Une sphère et un cône réduit

Explication

Un plan parallèle à la base découpe le cône en deux solides : un cône réduit et un tronc de cône.

Question 25

25. Quelle formule permet de calculer le volume d’un tronc de cône de hauteur h et de rayons r et r′ ?

\frac{\pi h}{3}(r^2+r′^2)

\frac{1}{3}\pi(r+r′)^2h

\frac{\pi h}{3}(r^2+rr′+r′^2)

\pi h(r+r′)

Explication

Le volume d’un tronc de cône est $V_t=\frac{\pi h}{3}(r^2+rr′+r′^2)$ . Le terme croisé $rr′$ est indispensable.

Question 26

26. Quelle distinction décrit correctement le cône réduit et le tronc de cône issus d’une section parallèle à la base ?

Les deux solides sont entièrement coniques, mais leurs bases ont des rayons différents

Les deux solides sont des cylindres, mais leurs hauteurs sont différentes

Le cône réduit est entièrement conique, tandis que le tronc de cône est la partie restante du cône initial

Le cône réduit est la partie restante, tandis que le tronc de cône est entièrement conique

Explication

Le cône réduit conserve une forme conique complète. Le tronc de cône correspond à la différence entre le cône initial et le cône réduit.

Question 27

27. Un cône réduit a une échelle de réduction k par rapport au cône initial. Quels sont les rapports des longueurs, des aires et des volumes correspondants ?

k^2,\ k,\ k^3

k^3,\ k^2,\ k

k,\ k^2,\ k^3

k,\ k^3,\ k^2

Explication

Les longueurs sont multipliées par $k$ , les aires par $k^2$ et les volumes par $k^3$ . Le rapport d’aire ne doit donc pas être confondu avec le rapport de volume.

Question 28

28. Quelle expression donne l’aire latérale d’un tronc de cône de rayons r et r′ et d’apothème a_t ?

\pi rr′a_t

\pi(r-r′)a_t

\pi(r+r′)a_t

\frac{1}{2}\pi(r+r′)a_t

Explication

L’aire latérale du tronc de cône est $A_t=\pi(r+r′)a_t$ . Elle dépend de la somme des deux rayons et de l’apothème du tronc.

Question 29

29. Quelle définition correspond à un polynôme ?

Un quotient de deux fonctions quelconques

Un produit de plusieurs fractions

Une somme de plusieurs monômes

Une équation comportant nécessairement une racine carrée

Explication

Un polynôme est une somme de plusieurs monômes, comme $3x^2-2x+5$ .

Question 30

30. Quel est le degré du polynôme $4x^5-3x^2+x-7$ ?

4

7

5

2

Explication

Le degré d’un polynôme est le plus grand degré de ses monômes. Ici, le monôme de plus haut degré est $4x^5$ , donc le degré est 5.

Question 31

31. Après avoir développé un produit de polynômes, quelle démarche permet d’obtenir une expression réduite et ordonnée ?

Remplacer chaque terme par son carré, puis classer les constantes

Factoriser immédiatement chaque monôme, puis supprimer les parenthèses

Regrouper les termes de même degré, puis réduire et ordonner l’expression

Additionner les exposants de tous les termes, puis diviser par le nombre de monômes

Explication

Le calcul avec des polynômes consiste à développer, regrouper les termes de même degré, réduire les coefficients, puis ordonner l’expression. Réduire signifie regrouper les termes semblables, et non factoriser.

Question 32

32. Quelle méthode peut être utilisée pour factoriser une expression polynomiale ?

Remplacer chaque somme par une différence sans modifier les coefficients

Additionner les termes de degrés différents puis supprimer les variables

Mettre en évidence un facteur commun ou utiliser un produit remarquable

Multiplier tous les termes par leur degré avant de les regrouper

Explication

La factorisation peut s’effectuer en extrayant un facteur commun ou en reconnaissant une identité de produit remarquable. Ces deux méthodes transforment une somme en produit, mais reposent sur des démarches différentes.

Question 33

33. Quelle relation caractérise deux vecteurs orthogonaux ?

Ils ont la même direction

L’un est un multiple positif de l’autre

Ils ont nécessairement la même longueur

Ils forment un angle droit

Explication

Deux vecteurs orthogonaux forment un angle droit. Des vecteurs colinéaires, eux, ont la même direction.

Question 34

34. Deux vecteurs non nuls $\vec u$ et $\vec v$ sont-ils colinéaires lorsque $\vec v= -3\vec u$ ?

Oui, car l’un est un multiple réel de l’autre

Non, car le coefficient est négatif

Non, car leurs longueurs sont différentes

Oui, mais seulement s’ils ont le même sens

Explication

Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si et seulement si l’un est un multiple réel de l’autre. Le coefficient peut donc être négatif.

Question 35

35. Que devient un vecteur lorsqu’on le multiplie par le réel $-2$ ?

Sa direction est conservée, son sens est inversé et sa longueur est doublée

Sa direction et son sens sont inversés, sans changement de longueur

Sa direction est changée et son sens est conservé, avec une longueur doublée

Sa direction et son sens sont conservés, et sa longueur est divisée par 2

Explication

La multiplication par un réel négatif inverse le sens du vecteur, tandis que sa longueur est multipliée par la valeur absolue du réel.

Question 36

36. Quelle condition permet de conclure que les points $A$, $B$ et $M$ sont alignés ?

Les longueurs $AM$ et $AB$ sont nécessairement égales

Il existe un réel $k$ tel que $\vec{AM}+\vec{AB}=k$

Les vecteurs $\vec{AM}$ et $\vec{AB}$ sont orthogonaux

Il existe un réel $k$ tel que $\vec{AM}=k\vec{AB}$

Explication

Les points sont alignés si et seulement si le vecteur $\vec{AM}$ est un multiple réel de $\vec{AB}$.

Question 37

37. Que représentent les coordonnées d’un vecteur dans un repère ?

La position absolue de son origine

Les coordonnées du point situé à son extrémité

La distance entre son origine et son extrémité

Les coefficients de sa décomposition sur les vecteurs de base

Explication

Les coordonnées d’un vecteur sont les coefficients de sa décomposition sur les vecteurs de base. Elles décrivent ainsi un déplacement, et non directement la position d’un point.

Question 38

38. Si $A(2;-1)$ et $B(5;3)$, quelles sont les coordonnées de $\vec{AB}$ ?

(7; 2)

(3; 4)

(-3; -4)

(5; -3)

Explication

On calcule $\vec{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A)=(5-2;3-(-1))=(3;4)$.

Question 39

39. Dans un repère orthonormé, quelle expression donne la distance entre $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ ?

$(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2$

$(x_B-x_A)+(y_B-y_A)$

$\sqrt{x_B-x_A+y_B-y_A}$

$\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$

Explication

La distance s’obtient par la racine carrée de la somme des carrés des différences de coordonnées. Les simples différences donnent les coordonnées du vecteur.

Question 40

40. Les vecteurs $\vec u=(2;3)$ et $\vec v=(x';y')$ sont-ils colinéaires lorsque $2y'-3x'=0$ ?

Non, car il faudrait vérifier $2x'+3y'=0$

Oui, car leur produit scalaire est nul

Oui, car leur déterminant est nul

Non, car deux vecteurs colinéaires doivent avoir des coordonnées positives

Explication

La condition de colinéarité est $xy'-x'y=0$. Ici, elle devient $2y'-3x'=0$.

Question 41

41. Quelle forme est une équation cartésienne d’une droite lorsque $a$ et $b$ sont non nuls ?

$x^2+y^2+c=0$

$y=ax+b$ uniquement avec $a=0$

$ax+by+c=0$

$axy+b=0$

Explication

Une équation de la forme $ax+by+c=0$, avec $a$ et $b$ non nuls, est une équation cartésienne d’une droite.

Question 42

42. Dans l’équation réduite $y=-2x+5$, quelles sont respectivement le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine ?

Le coefficient directeur vaut −2 et l’ordonnée à l’origine vaut −5

Le coefficient directeur vaut 5 et l’ordonnée à l’origine vaut −2

Le coefficient directeur vaut 2 et l’ordonnée à l’origine vaut 5

Le coefficient directeur vaut −2 et l’ordonnée à l’origine vaut 5

Explication

Dans $y=ax+b$, $a$ est le coefficient directeur et $b$ l’ordonnée à l’origine. Ici, ils valent respectivement −2 et 5.

Question 43

43. Quel est le coefficient directeur de la droite passant par $A(1;2)$ et $B(4;8)$ ?

$\frac{1}{2}$

6

2

3

Explication

Le coefficient directeur vaut $a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{8-2}{4-1}=\frac{6}{3}=2$.

Question 44

44. Dans un repère orthonormé, deux droites non verticales de coefficients directeurs $3$ et $-\frac{1}{3}$ sont-elles perpendiculaires ?

Non, car le produit de leurs coefficients directeurs vaut 1

Oui, car leurs coefficients directeurs sont opposés

Non, car elles ont des coefficients directeurs différents

Oui, car le produit de leurs coefficients directeurs vaut −1

Explication

Deux droites non verticales sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leurs coefficients directeurs vaut −1. Ici, $3\times(-\frac13)=-1$.

Question 45

45. Laquelle des relations suivantes est une inéquation du premier degré à une inconnue ?

√x=5

3x-5<7

3xy-2>0

x²+1=4

Explication

Une inéquation du premier degré comporte une inconnue au premier degré et une comparaison entre deux expressions. La relation 3x−5<7 répond à ces deux critères.

Question 46

46. Que devient le sens de l’inégalité lorsqu’on divise ses deux membres par un nombre négatif ?

Il s’inverse

Il disparaît

Il devient une égalité

Il reste inchangé

Explication

La division par un nombre négatif inverse le sens de l’inégalité, comme la multiplication par un nombre négatif.

Question 47

47. Pour résoudre graphiquement l’inéquation 2x+y≤4, quelle démarche faut-il suivre ?

Retenir toute la région située entre deux droites

Tracer uniquement la droite 2x+y≤4

Tracer la droite 2x+y=4 puis retenir le demi-plan approprié

Résoudre séparément x et y comme deux inéquations

Explication

La droite frontière est obtenue en remplaçant l’inégalité par l’égalité 2x+y=4. Les solutions constituent ensuite le demi-plan correspondant au signe ≤.

Question 48

48. Comment représente-t-on graphiquement les solutions d’un système de deux inéquations à deux inconnues ?

En additionnant les deux demi-plans

En prenant l’intersection des demi-plans solutions

En conservant uniquement les droites frontières

En prenant l’union des deux droites frontières

Explication

Chaque inéquation définit un demi-plan solution, et les solutions du système sont les points appartenant simultanément aux deux demi-plans, donc leur intersection.

Question 49

49. Quelle forme caractérise une application affine ?

f(x)=a/x

f(x)=ax+b

f(x)=ax²+b

f(x)=a

Explication

Une application affine s’écrit f(x)=ax+b, où a est le coefficient et b le terme constant. Le terme b peut être non nul.

Question 50

50. Une application affine est définie par f(x)=-3x+5. Quelle est sa variation sur R ?

Elle n’est définie que pour x positif

Elle est strictement croissante

Elle est strictement décroissante

Elle est constante

Explication

Le coefficient directeur vaut −3, un nombre négatif. Une application affine dont le coefficient est négatif est strictement décroissante sur R.

Question 51

51. Quelle expression définit une application linéaire ?

g(x)=x²+a

g(x)=ax avec un terme constant nul

g(x)=a/x avec a non nul

g(x)=ax+b avec b quelconque

Explication

Une application linéaire est de la forme g(x)=ax. Son terme constant est donc nul et sa représentation passe par l’origine.

Question 52

52. Si g est une application linéaire, quelle égalité permet de calculer l’image d’un multiple réel ?

g(kv)=g(k)+g(v)

g(kv)=g(v)/k

g(kv)=k+g(v)

g(kv)=kg(v)

Explication

Une application linéaire respecte la multiplication par un réel : g(kv)=kg(v). Elle respecte également l’addition, selon g(u+v)=g(u)+g(v).

Question 53

53. Quelle propriété caractérise une application linéaire g(x)=ax dans le cadre considéré ?

Elle ne s’annule jamais

Elle est nécessairement constante

Elle s’annule en 0 et son coefficient a est non nul

Elle possède toujours un terme constant positif

Explication

Pour g(x)=ax, on a g(0)=0 ; l’application s’annule donc en 0. Dans le cadre indiqué, le coefficient a est un réel non nul.

Question 54

54. Soit g(x)=4x. Quelle égalité vérifie l’additivité de g pour u=2 et v=−5 ?

g(2−5)=g(2)+g(−5)

g(2−5)=g(2)−g(5)

g(2−5)=g(2)g(−5)

g(2−5)=g(2)+g(5)

Explication

L’additivité impose g(u+v)=g(u)+g(v). Ici, avec v=−5, on obtient g(2−5)=g(2)+g(−5).

Question 55

55. Soit g(x)=−3x et k=2. Quelle relation illustre l’homogénéité de g ?

g(2v)=g(v)/2

g(2v)=g(2)+g(v)

g(2v)=2g(v)

g(2v)=g(v)+2

Explication

Pour une application linéaire, g(kv)=kg(v). Avec k=2, on obtient donc g(2v)=2g(v), quelle que soit la valeur de v.

Question 56

56. Dans une étude portant sur les moyens de transport utilisés par les élèves d’un collège, que désigne la population ?

L’ensemble des élèves étudiés

Le moyen de transport observé

Un seul élève choisi dans le collège

Le nombre d’élèves utilisant chaque moyen

Explication

La population est l’ensemble sur lequel porte l’étude statistique, ici tous les élèves concernés.

Question 57

57. Une étude porte sur la couleur préférée de chaque élève d’une classe. Que représente un individu ?

Le nombre d’élèves préférant une couleur

Une couleur proposée dans le questionnaire

L’ensemble des élèves de la classe

Chaque élève de la classe étudiée

Explication

Un individu est chaque élément de la population étudiée. Ici, chaque élève constitue un individu, tandis que la classe entière forme la population.

Question 58

58. Dans une étude sur le nombre de livres lus par des élèves, quel est le caractère étudié ?

L’ensemble des élèves interrogés

Chaque élève participant à l’étude

Le nombre de livres lus par élève

Le nombre total de réponses obtenues

Explication

Le caractère est ce sur quoi porte l’étude statistique. Dans ce cas, il s’agit du nombre de livres lus par chaque élève.

Question 59

59. Une enquête recense les animaux domestiques de 30 familles et indique que 12 familles possèdent un chat. Quel est l’effectif de la modalité « chat » ?

La présence d’un chat

12 familles

30 familles

Les différents animaux étudiés

Explication

L’effectif d’une modalité est le nombre d’individus correspondant à cette modalité. La modalité « chat » a donc un effectif de 12.

Question 60

60. Une classe compte 25 élèves, dont 10 portent des lunettes. Quelle est la fréquence de la modalité « porter des lunettes » ?

15

0,40

0,25

10

Explication

La fréquence se calcule en divisant l’effectif de la modalité par l’effectif total : 10 ÷ 25 = 0,40. Il s’agit d’une proportion, et non d’un nombre d’individus.

Question 61

61. Dans le regroupement de tailles de T-shirts, quelle est la classe modale ?

[155;160[

[170;175[

[160;165[

[165;170[

Explication

La classe modale est celle dont l’effectif est le plus élevé. L’effectif maximal est 19, associé à la classe [170;175[.

Question 62

62. Dans une série statistique, quelle représentation convient particulièrement pour comparer les effectifs de plusieurs catégories distinctes, comme des couleurs de T-shirts ?

Un tableau ne contenant que les fréquences

Un diagramme en bâtons

Une droite graduée sans effectifs

Un histogramme de classes continues

Explication

Un diagramme en bâtons permet de comparer visuellement les effectifs de catégories distinctes. L’histogramme est plutôt adapté à des données regroupées en classes.

Question 63

63. Pour étudier les âges d’élèves et savoir combien ont au plus 13 ans, quelle démarche faut-il suivre ?

Additionner les âges sans établir les effectifs ni rechercher le mode

Calculer uniquement la moyenne, puis retenir les élèves les plus proches de cette moyenne

Construire uniquement un diagramme circulaire, puis choisir la classe la plus grande

Construire les effectifs et les fréquences, déterminer le mode, calculer la moyenne et compter les âges inférieurs ou égaux à 13 ans

Explication

L’étude demande de construire le tableau des effectifs et des fréquences, de déterminer le mode, de calculer la moyenne et de compter les élèves âgés d’au plus 13 ans.

QCM : Mathématiques Troisième : triangles et cônes — 63 questions

Questions et réponses du QCM

1. Lequel des nombres suivants est nécessairement un nombre réel représentable sur une droite graduée ?

2. Quelle propriété caractérise \(\sqrt{a}\) lorsque \(a\) est positif ?

3. Pour \(a,b>0\), quelle égalité de radicaux est correcte ?

4. Quelle expression développe correctement \((a-b)^2\) ?

5. Que représente la valeur absolue \(|x|\) d’un réel ?

6. La distance entre les réels \(-3\) et \(5\) est égale à quelle valeur ?

7. Quelle condition caractérise l’appartenance d’un réel \(x\) à l’intervalle fermé \([a;b]\) ?

8. Si \(I=[1;4]\) et \(J=[3;6]\), quelle est leur intersection ?

9. Dans un triangle, quelle information constitue le point de départ de la propriété directe de Thalès ?

10. Dans une configuration de Thalès, quelle égalité permet d’exploiter des longueurs correspondantes ?

11. Dans la réciproque de Thalès, quelle conclusion obtient-on lorsque les points sont alignés dans le même ordre et que \(\frac{AM}{AB}=\frac{AM'}{AC}\) ?

12. Quelle condition caractérise deux triangles semblables ?

13. Dans deux triangles semblables, que peut-on affirmer au sujet des côtés correspondants ?

14. Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse mesure 13 cm et un côté de l’angle droit mesure 5 cm. Quelle est la longueur de l’autre côté de l’angle droit ?

15. Dans un triangle rectangle ABC, la hauteur issue de l’angle droit rencontre l’hypoténuse BC en E. Quelle relation métrique est correcte pour le côté DB, si la notation correspondante est utilisée ?

16. Dans un triangle rectangle, quel rapport représente le sinus d’un angle aigu α ?

17. Si sin α = 3/5 et cos α = 4/5, quelle est la valeur de tan α ?

18. Un angle aigu α vérifie sin α = 3/5. Quelle valeur peut prendre cos α ?

19. Lequel des angles suivants est un angle inscrit ?

20. Un angle inscrit intercepte le même arc qu’un angle au centre de 86°. Quelle est la mesure de l’angle inscrit ?

21. Dans un quadrilatère inscrit dans un cercle, un angle mesure 112°. Quelle est la mesure de son angle opposé ?

22. Comment définit-on un cône de révolution ?

23. Un cône a un rayon de base r, une hauteur h et un apothème a. Quelle expression donne son volume ?

24. Que produit une section d’un cône circulaire droit par un plan parallèle à sa base ?

25. Quelle formule permet de calculer le volume d’un tronc de cône de hauteur h et de rayons r et r′ ?

26. Quelle distinction décrit correctement le cône réduit et le tronc de cône issus d’une section parallèle à la base ?

27. Un cône réduit a une échelle de réduction k par rapport au cône initial. Quels sont les rapports des longueurs, des aires et des volumes correspondants ?

28. Quelle expression donne l’aire latérale d’un tronc de cône de rayons r et r′ et d’apothème a_t ?

29. Quelle définition correspond à un polynôme ?

30. Quel est le degré du polynôme 4x5−3x2+x−74x^5-3x^2+x-74x5−3x2+x−7 ?

31. Après avoir développé un produit de polynômes, quelle démarche permet d’obtenir une expression réduite et ordonnée ?

32. Quelle méthode peut être utilisée pour factoriser une expression polynomiale ?

33. Quelle relation caractérise deux vecteurs orthogonaux ?

34. Deux vecteurs non nuls \(\vec u\) et \(\vec v\) sont-ils colinéaires lorsque \(\vec v= -3\vec u\) ?

35. Que devient un vecteur lorsqu’on le multiplie par le réel \(-2\) ?

36. Quelle condition permet de conclure que les points \(A\), \(B\) et \(M\) sont alignés ?

37. Que représentent les coordonnées d’un vecteur dans un repère ?

38. Si \(A(2;-1)\) et \(B(5;3)\), quelles sont les coordonnées de \(\vec{AB}\) ?

39. Dans un repère orthonormé, quelle expression donne la distance entre \(A(x_A;y_A)\) et \(B(x_B;y_B)\) ?

40. Les vecteurs \(\vec u=(2;3)\) et \(\vec v=(x';y')\) sont-ils colinéaires lorsque \(2y'-3x'=0\) ?

41. Quelle forme est une équation cartésienne d’une droite lorsque \(a\) et \(b\) sont non nuls ?

42. Dans l’équation réduite \(y=-2x+5\), quelles sont respectivement le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine ?

43. Quel est le coefficient directeur de la droite passant par \(A(1;2)\) et \(B(4;8)\) ?

44. Dans un repère orthonormé, deux droites non verticales de coefficients directeurs \(3\) et \(-\frac{1}{3}\) sont-elles perpendiculaires ?

45. Laquelle des relations suivantes est une inéquation du premier degré à une inconnue ?

46. Que devient le sens de l’inégalité lorsqu’on divise ses deux membres par un nombre négatif ?

47. Pour résoudre graphiquement l’inéquation 2x+y≤4, quelle démarche faut-il suivre ?

48. Comment représente-t-on graphiquement les solutions d’un système de deux inéquations à deux inconnues ?

49. Quelle forme caractérise une application affine ?

50. Une application affine est définie par f(x)=-3x+5. Quelle est sa variation sur R ?

51. Quelle expression définit une application linéaire ?

52. Si g est une application linéaire, quelle égalité permet de calculer l’image d’un multiple réel ?

53. Quelle propriété caractérise une application linéaire g(x)=ax dans le cadre considéré ?

54. Soit g(x)=4x. Quelle égalité vérifie l’additivité de g pour u=2 et v=−5 ?

55. Soit g(x)=−3x et k=2. Quelle relation illustre l’homogénéité de g ?

56. Dans une étude portant sur les moyens de transport utilisés par les élèves d’un collège, que désigne la population ?

57. Une étude porte sur la couleur préférée de chaque élève d’une classe. Que représente un individu ?

58. Dans une étude sur le nombre de livres lus par des élèves, quel est le caractère étudié ?

59. Une enquête recense les animaux domestiques de 30 familles et indique que 12 familles possèdent un chat. Quel est l’effectif de la modalité « chat » ?

60. Une classe compte 25 élèves, dont 10 portent des lunettes. Quelle est la fréquence de la modalité « porter des lunettes » ?

61. Dans le regroupement de tailles de T-shirts, quelle est la classe modale ?

62. Dans une série statistique, quelle représentation convient particulièrement pour comparer les effectifs de plusieurs catégories distinctes, comme des couleurs de T-shirts ?

63. Pour étudier les âges d’élèves et savoir combien ont au plus 13 ans, quelle démarche faut-il suivre ?

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30. Quel est le degré du polynôme $4x^5-3x^2+x-7$ ?