Fiche de révision : Mécanique du point : cinématique

📋 Plan du Cours

1. Repères et référentiels
2. Degrés de liberté et trajectoire
3. Position vitesse et accélération
4. Base cartésienne et mouvements
5. Base cylindrique et polaire
6. Base de Frénet
7. Introduction à la dynamique
8. Lois de Newton
9. Forces et frottements
10. Travail d’une force
11. Travail et puissance des forces
12. Énergie cinétique et théorème
13. Énergie potentielle et mécanique
14. Équilibres et diagrammes d’énergie
15. Forces coulombiennes et champs
16. Moment cinétique et lois de Kepler

📖 1. Repères et référentiels

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère d’espace : Ensemble de points dont les distances mutuelles sont invariables au cours du temps.
• Référentiel : Constitué d’un repère spatial et d’un repère de temps.
• Base orthonormée : Lorsque ses vecteurs sont normés et orthogonaux entre eux.

📝 Points essentiels

• Un repère spatial est caractérisé par une origine et trois vecteurs non coplanaires formant une base.

💡 Astuce mémo

Repère spatial + repère du temps → référentiel

📖 2. Degrés de liberté et trajectoire

🔑 Notions clés & Définitions

• Degré de liberté : Nombre de paramètres dépendant du temps nécessaires pour définir son mouvement.

• Trajectoire : Ensemble des points coïncidents d’un point mobile dans un repère donné.

📝 Points essentiels

• Une particule dans l’espace possède a priori trois degrés de liberté, tandis qu’une particule contrainte à un plan en possède au maximum deux et une particule contrainte à une droite en possède un.

💡 Astuce mémo

Trajectoire indépendante du temps, mais dépendante du repère

📖 3. Position vitesse et accélération

★ À maîtriser

📐 Formule — Le vecteur position s’écrit $\overrightarrow{OM}(t)=a_1(t)\overrightarrow e_1+a_2(t)\overrightarrow e_2+a_3(t)\overrightarrow e_3$.

📐 Formule — La vitesse instantanée est la dérivée du vecteur position par rapport au temps : $\overrightarrow v=\frac{d\overrightarrow{OM}}{dt}$.

📐 Formule — L’accélération instantanée est la dérivée de la vitesse et la dérivée seconde de la position : $\overrightarrow a=\frac{d\overrightarrow v}{dt}=\frac{d^2\overrightarrow{OM}}{dt^2}$.

Compléments

📐 Formule — Le déplacement entre deux positions vérifie $\Delta\overrightarrow r=\overrightarrow r_2-\overrightarrow r_1$.

💡 Astuce mémo

Position → vitesse → accélération

📖 4. Base cartésienne et mouvements

★ À maîtriser

📐 Formule — Dans la base cartésienne, la vitesse s’écrit $\overrightarrow v=\dot x\overrightarrow i+\dot y\overrightarrow j+\dot z\overrightarrow k$.

📐 Formule — Dans la base cartésienne, l’accélération s’écrit $\overrightarrow a=\ddot x\overrightarrow i+\ddot y\overrightarrow j+\ddot z\overrightarrow k$.

📐 Formule — Pour un mouvement rectiligne uniformément accéléré d’accélération constante $a_0$, la vitesse et la position sont $v_x(t)=a_0t+v_0$ et $x(t)=\frac12a_0t^2+v_0t+x_0$.

📐 Formule — Dans un mouvement parabolique sous l’accélération gravitationnelle, la vitesse horizontale est constante et les équations sont $x(t)=v_{0x}t+x_0$ et $y(t)=-\frac12gt^2+v_{0y}t+y_0$.

Compléments

📐 Formule — La norme de la vitesse cartésienne vaut $\|\overrightarrow v\|=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}$.

📖 5. Base cylindrique et polaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Coordonnées cylindriques : Repèrent un point par sa distance r à l’axe, son angle θ autour de l’axe et sa coordonnée z.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Dans la base cylindrique, le vecteur position vaut $\overrightarrow{OM}=r\overrightarrow{u_r}+z\overrightarrow k$ et la distance à l’origine vaut $OM=\sqrt{r^2+z^2}$.

📐 Formule — La vitesse cylindrique s’écrit $\overrightarrow v=\dot r\overrightarrow{u_r}+r\dot\theta\overrightarrow{u_\theta}+\dot z\overrightarrow k$.

📐 Formule — L’accélération cylindrique s’écrit $\overrightarrow a=(\ddot r-r\dot\theta^2)\overrightarrow{u_r}+(2\dot r\dot\theta+r\ddot\theta)\overrightarrow{u_\theta}+\ddot z\overrightarrow k$.

📐 Formule — Pour un mouvement circulaire uniforme de rayon R et de vitesse angulaire constante ω, $\overrightarrow v=R\omega\overrightarrow{u_\theta}$, $T=\frac{2\pi}{\omega}$ et $\overrightarrow a=-R\omega^2\overrightarrow{u_r}$.

💡 Astuce mémo

Un point repéré par sa distance à l’axe, son angle et sa hauteur

📖 6. Base de Frénet

🔑 Notions clés & Définitions

• Base de Frénet : Base orthonormée directe formée par le vecteur tangent t, le vecteur normal n et la binormale b.

• Rayon de courbure : Rayon algébrique du cercle osculateur qui épouse au mieux la trajectoire au point considéré.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Dans la base de Frénet, la vitesse s’écrit $\overrightarrow v=v\overrightarrow t$ avec $v=\frac{ds}{dt}$.

📐 Formule — L’accélération dans la base de Frénet se décompose en une composante tangentielle et une composante normale : $\overrightarrow a=\frac{dv}{dt}\overrightarrow t+\frac{v^2}{R_C}\overrightarrow n$.

💡 Astuce mémo

Accélération tangentielle : variation de la vitesse ; normale : courbure de la trajectoire

📖 7. Introduction à la dynamique

★ À maîtriser

📌 La cinématique décrit le mouvement indépendamment de ses causes, tandis que la dynamique explique le mouvement à l’aide des forces, de la masse et de l’énergie.

Compléments

• La mécanique classique n’est pas valable pour une particule ayant une vitesse proche de celle de la lumière, soit environ $3\times10^8\ \mathrm{m.s^{-1}}$.

• La mécanique quantique devient pertinente pour décrire le mouvement des particules atomiques et subatomiques.

💡 Astuce mémo

Cinématique : décrire le mouvement ; dynamique : l’expliquer

📖 8. Lois de Newton

🔑 Notions clés & Définitions

• Quantité de mouvement : Vecteur $\overrightarrow p=m\overrightarrow v$.
• Référentiel galiléen : Référentiel dans lequel la première loi de Newton est valable.

📝 Points essentiels

📌 Dans un référentiel galiléen, un système isolé reste au repos ou en mouvement rectiligne uniforme, ce qui s’écrit $\frac{d\overrightarrow p}{dt}=\overrightarrow 0$.

📐 Formule — Dans un référentiel galiléen, la force résultante vérifie $\overrightarrow F=\frac{d\overrightarrow p}{dt}$ et, si la masse est constante, $\overrightarrow F=m\overrightarrow a$.

📌 La troisième loi de Newton affirme que la force exercée par B sur A est opposée à celle exercée par A sur B : $\overrightarrow F_{B\to A}=-\overrightarrow F_{A\to B}$.

💡 Astuce mémo

Inertie → force → action-réaction

📖 9. Forces et frottements

★ À maîtriser

📐 Formule — La force gravitationnelle entre deux masses m1 et m2 séparées par r a pour norme $\|\overrightarrow F\|=\frac{Gm_1m_2}{r^2}$ et elle est attractive.

📐 Formule — La force de Coulomb entre deux charges q1 et q2 séparées par r a pour norme $\|\overrightarrow F\|=\frac{q_1q_2}{4\pi\epsilon_0r^2}$.

📌 La réaction normale d’un support est perpendiculaire au support et peut équilibrer le poids d’un objet posé sur une table horizontale.

📐 Formule — La force élastique d’un ressort vérifie $\overrightarrow F=-k(\ell-\ell_0)\overrightarrow i$ et tend à ramener l’objet vers sa position d’équilibre.

📌 Le frottement statique s’exerce sans glissement et vérifie $\|\overrightarrow T\|\leq\mu_S\|\overrightarrow N\|$, tandis que le frottement cinétique s’exerce pendant le mouvement et vérifie $\|\overrightarrow f_C\|=\mu_C\|\overrightarrow N\|$.

Compléments

• Le coefficient de frottement statique est supérieur au coefficient de frottement cinétique : $\mu_S>\mu_C$.

💡 Astuce mémo

Frottement statique : empêche le glissement ; cinétique : s’oppose au mouvement

📖 10. Travail d’une force

🔑 Notions clés & Définitions

• Travail d’une force : Le produit scalaire $\delta W=\overrightarrow F\cdot d\overrightarrow\ell$, et son travail sur AB est $W_{A\to B}=\int_A^B\overrightarrow F\cdot d\overrightarrow\ell$.

★ À maîtriser

📌 Le travail est moteur lorsque la force est dans le sens du mouvement et résistant lorsqu’elle est dans le sens contraire du mouvement.

📐 Formule — Pour une force constante, le travail entre A et B vaut $W_{A\to B}=\overrightarrow F\cdot\overrightarrow{AB}=\|\overrightarrow F\|\,\|\overrightarrow{AB}\|\cos\theta$.

📌 Le travail du poids entre deux points A et B ne dépend pas du chemin suivi et est positif lorsque le point matériel descend.

Compléments

• L’unité du travail dans le système international est le joule, avec $1\ \mathrm J=1\ \mathrm{kg.m^2.s^{-2}}$.

💡 Astuce mémo

Force dans le mouvement : travail moteur ; force opposée : travail résistant

📖 11. Travail et puissance des forces

🔑 Notions clés & Définitions

• Travail d’une force : le produit scalaire de la force par le vecteur déplacement : $W_{A\to B}(\vec F)=\vec F\cdot\overrightarrow{AB}=\|\vec F\|\,\|\overrightarrow{AB}\|\cos\theta$.

★ À maîtriser

📐 Formule — La puissance instantanée d’une force vérifie $P=\frac{dW}{dt}=\vec F\cdot\vec v$ et s’exprime en watts.

📐 Formule — Le travail du poids entre A et B vaut $W_{A\to B}(\vec P)=-mg(z_B-z_A)$ lorsque l’axe vertical est orienté vers le haut.

Compléments

📌 Une force perpendiculaire au déplacement ne travaille pas, comme une force de réaction en l’absence de frottement.

📌 Le travail du poids ne dépend pas du chemin suivi, mais seulement des altitudes initiale et finale, et il est nul si le point revient à sa hauteur de départ.

💡 Astuce mémo

Force perpendiculaire : travail nul ; force alignée : travail maximal

📖 12. Énergie cinétique et théorème

🔑 Notions clés & Définitions

• Énergie cinétique : L’énergie cinétique d’un point matériel de masse m et de vitesse v est $E_c=\frac{1}{2}mv^2$.

★ À maîtriser

📌 Le théorème de l’énergie cinétique affirme que le travail de la résultante des forces entre A et B est égal à la variation d’énergie cinétique : $W_{A\to B}(\vec F)=E_{cB}-E_{cA}=\Delta E_c$.

Compléments

📌 Le théorème de l’énergie cinétique est mathématiquement équivalent à la deuxième loi de Newton, mais il permet de manipuler des grandeurs scalaires plutôt que des vecteurs.

💡 Astuce mémo

Travail de la résultante → variation d’énergie cinétique

📖 13. Énergie potentielle et mécanique

🔑 Notions clés & Définitions

• Force conservative : une force dont le travail entre deux points est indépendant du trajet suivi et dont le travail sur un trajet fermé est nul.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une force conservative, le travail est l’opposé de la variation d’énergie potentielle : $W_{A\to B}(\vec F)=-\Delta E_p=E_p(A)-E_p(B)$.

📐 Formule — L’énergie potentielle de pesanteur dans un axe vertical orienté vers le haut est $E_p=mgz+\mathrm{cte}$.

📐 Formule — Pour une force de rappel élastique $\vec F=-kx\vec i$, l’énergie potentielle élastique est $E_p=\frac{1}{2}kx^2+\mathrm{cte}$.

📌 Si une particule est soumise uniquement à des forces conservatives, son énergie mécanique $E=E_c+E_p$ est conservée.

Compléments

📌 Dans un référentiel galiléen, la variation d’énergie mécanique est égale au travail des forces non conservatives : $\Delta E=W(\vec F_{\mathrm{non\ conservatives}})$.

💡 Astuce mémo

Forces conservatives → énergie potentielle → conservation ou variation de l’énergie mécanique

📖 14. Équilibres et diagrammes d’énergie

🔑 Notions clés & Définitions

• Position d’équilibre : une position qui vérifie $\frac{dE_p}{dr}=-F(r)=0$.

📝 Points essentiels

• Un équilibre est stable si une particule légèrement écartée tend à revenir vers sa position d’équilibre, et instable dans le cas contraire.

• Si la dérivée seconde de l’énergie potentielle est positive à l’équilibre, $\frac{d^2E_p}{dr^2}>0$, l’équilibre est stable.

• Si la dérivée seconde de l’énergie potentielle est négative à l’équilibre, $\frac{d^2E_p}{dr^2}<0$, l’équilibre est instable.

💡 Astuce mémo

Minimum de l’énergie potentielle : équilibre stable ; maximum : équilibre instable

📖 15. Forces coulombiennes et champs

🔑 Notions clés & Définitions

• Force centrale : une force de la forme $\vec F=F(r)\vec u_r$ dont le support passe par un point fixe O.

★ À maîtriser

📐 Formule — Une force coulombienne entre deux particules séparées par r s’écrit $\vec F=\alpha\frac{\mu\mu'}{r^2}\vec u_r$.

📐 Formule — La force gravitationnelle entre deux masses est $\vec F_{2\to1}=-G_0\frac{m_1m_2}{r^2}\vec u_r$, avec $G_0\approx6{,}67\times10^{-11}\,\mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}}$.

📐 Formule — La force électrostatique entre deux charges est $\vec F_{2\to1}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1q_2}{r^2}\vec u_r$ avec $\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\approx9\times10^9$.

Compléments

• Dans l’atome d’hydrogène, le rapport de la force gravitationnelle à la force électrostatique vaut environ $0{,}44\times10^{-19}\ll1$, de sorte que la gravitation est généralement négligée dans les problèmes de charges.

📐 Formule — Le champ gravitationnel créé par une masse m₁ au point M est $\vec G_{m_1}(M)=-G_0\frac{m_1}{r^2}\vec u_r$ et la force sur une masse m₂ vérifie $\vec F=m_2\vec G_{m_1}(M)$.

📐 Formule — Les énergies potentielles gravitationnelle et électrostatique sont respectivement $E_p(r)=-G_0\frac{m_1m_2}{r}+\mathrm{cte}$ et $E_p(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1q_2}{r}+\mathrm{cte}$.

💡 Astuce mémo

Gravitation toujours attractive ; électrostatique attractive ou répulsive selon les charges

📖 16. Moment cinétique et lois de Kepler

🔑 Notions clés & Définitions

• Moment cinétique : Le moment cinétique d’un point matériel de quantité de mouvement $\vec p$ par rapport à O est $\vec L_O=\vec r\wedge\vec p$.

★ À maîtriser

📌 Le théorème du moment cinétique affirme que $\frac{d\vec L_O}{dt}=\vec M_O=\vec r\wedge\vec F$.

📌 Sous l’action d’une force centrale, le moment de la force par rapport à O est nul et le moment cinétique est constant : $\vec L_O=\mathrm{cte}$.

📐 Formule — En coordonnées polaires, la conservation du moment cinétique donne la constante des aires $C=r^2\dot\theta=\mathrm{cte}$ et la vitesse aérolaire vérifie $\frac{dA}{dt}=\frac{C}{2}$.

📌 La loi des aires affirme que le rayon vecteur balaie des aires égales pendant des intervalles de temps égaux ; elle constitue la deuxième loi de Kepler.

📐 Formule — La troisième loi de Kepler affirme que le carré de la période de révolution T est proportionnel au cube du demi-grand axe a : $\frac{a^3}{T^2}=\frac{G_0M_S}{4\pi^2}$.

Compléments

📌 Dans un mouvement à force centrale, la trajectoire est plane et se déroule dans le plan perpendiculaire au moment cinétique initial contenant le point O.

💡 Astuce mémo

Force centrale → moment cinétique conservé → mouvement plan → loi des aires

📊 Tableaux de synthèse

Types de mouvement et accélération

Frottements solide-solide