QCM : Nombres et ensembles — 16 questions

Explication

La résolution doit montrer une rédaction complète conforme à la méthode étudiée afin de rendre les étapes vérifiables. Une simple suite de résultats ne permet pas de contrôler correctement le raisonnement.

Explication

Ces trois notions ne désignent pas la même réalité : le chiffre est un symbole, le nombre exprime une valeur et la quantité correspond à ce qui est dénombré. Les autres réponses inversent ou mélangent ces rôles.

Explication

Un ensemble est une collection d’objets, appelés ses éléments. Une opération, une égalité ou une mesure relèvent d’autres notions mathématiques.

Explication

La convention usuelle réserve les lettres majuscules aux ensembles et les lettres minuscules à leurs éléments. L’inversion de cette convention ne correspond pas à la notation mathématique présentée.

Explication

Le symbole $\in$ indique qu’un élément appartient à un ensemble, d’où l’écriture $x \in E$. Le symbole $\notin$ exprime au contraire la non-appartenance, tandis que l’ordre ensemble-élément est inversé dans les deux autres propositions.

Explication

La notation $A \subset E$ signifie que chaque élément de A appartient à E. Elle n’affirme pas qu'A contient E, que les deux ensembles sont égaux ou qu'A est un élément de E.

Explication

L’ensemble des entiers naturels comprend $0$ et les entiers positifs. Les nombres négatifs proposés appartiennent aux entiers relatifs, mais pas à $N$.

Explication

Les entiers relatifs $Z$ comprennent les entiers positifs, négatifs et zéro, donc $-3 \in Z$. Les entiers naturels $N$ ne comprennent pas les nombres négatifs, ce qui explique $-3 \notin N$.

Explication

Un nombre décimal peut s’écrire comme $\frac{a}{10^k}$, où le numérateur est entier et l’exposant naturel. La forme $\frac{a}{b}$ définit plus largement un nombre rationnel, qui peut ne pas être décimal.

Explication

Tout nombre décimal possède une écriture décimale avec un nombre fini de chiffres après la virgule, en ne tenant pas compte des zéros finaux. Une écriture infinie non périodique caractérise plutôt un nombre irrationnel.

Explication

On a $\frac{1}{3}=0,333\ldots$, une écriture décimale infinie et périodique, donc ce nombre n’est pas décimal. Le fait que son dénominateur soit égal à trois ne suffit pas à lui retirer son caractère rationnel.

Explication

Un nombre rationnel est le quotient de deux entiers, avec un dénominateur non nul. Le numérateur peut être nul, mais un dénominateur nul rend la fraction dépourvue de sens.

Explication

Les rationnels sont les nombres qui s’écrivent comme une fraction de deux entiers, ce qui inclut $\frac{1}{3}$ et tous les nombres décimaux. Les nombres $\pi$ et $\sqrt{2}$ sont irrationnels et n’appartiennent donc pas à $\mathbb{Q}$.

Explication

$\pi$ est un nombre irrationnel : il ne peut pas s’écrire comme une fraction de deux entiers. En revanche, $\frac{1}{3}$, $0,25$ et $-7$ sont rationnels.

Explication

L’ensemble $\mathbb{R}$ est formé de tous les nombres rationnels et de tous les nombres irrationnels. L’ensemble $\mathbb{Q}$ ne contient, lui, que les nombres rationnels.

Explication

Tout nombre irrationnel appartient à $\mathbb{R}$ puisque les réels réunissent les rationnels et les irrationnels. Il n’appartient pas à $\mathbb{Q}$ ni nécessairement à $D$.