Fiche de révision : Nombres relatifs et rationnels

📋 Plan du Cours

1. Ensembles et vocabulaire numériques
2. Définitions des nombres relatifs
3. Calcul avec les nombres relatifs
4. Nombres rationnels et périodiques
5. Opérations sur les fractions
6. Fractions, pourcentages et conversions
7. Priorité des opérations

📖 1. Ensembles et vocabulaire numériques

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre entier : Un nombre sans partie décimale, tandis qu’un nombre entier relatif est muni d’un signe positif ou négatif.
• Nombre rationnel : Un nombre qui peut s’écrire sous la forme d’une fraction de deux entiers dont le dénominateur est non nul.
• Nombre irrationnel : Un nombre qui ne peut pas s’écrire sous la forme d’une fraction et dont l’écriture décimale est infinie et non périodique.

📝 Points essentiels

• Le vocabulaire des fractions comprend le numérateur, le dénominateur, la fraction irréductible, la simplification, l’amplification et les fractions équivalentes.

• Pour les opérations, les termes donnent une somme pour l’addition, une différence pour la soustraction, les facteurs donnent un produit pour la multiplication, et le dividende, le diviseur et le quotient interviennent dans la division.

📖 2. Définitions des nombres relatifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre entier relatif : Un nombre entier muni d’un signe positif s’il est supérieur à zéro ou négatif s’il est inférieur à zéro, et l’ensemble correspondant se note ℤ.
• Valeur absolue : D’un nombre est la distance entre ce nombre et zéro.
• Opposé : D’un nombre possède la même valeur numérique et le signe opposé, et deux nombres opposés ont une somme égale à zéro.

📝 Points essentiels

• La valeur absolue de −5 vaut 5 et l’opposé de 4,56 vaut −4,56.

📖 3. Calcul avec les nombres relatifs

📝 Points essentiels

• Pour simplifier une suite d’opérations avec des nombres relatifs, on supprime le signe du premier nombre positif, on enlève les parenthèses et on applique les règles de signes.

• Pour additionner ou soustraire des nombres relatifs, on applique les conventions d’écriture, on regroupe les nombres précédés du même signe, puis on effectue le calcul.

📌 Pour multiplier ou diviser deux nombres relatifs non nuls, on calcule d’abord les valeurs absolues, puis le résultat est positif si les nombres ont le même signe et négatif s’ils ont des signes différents.

• Dans un produit ou une suite de divisions de nombres relatifs non nuls, un nombre pair de nombres négatifs donne un résultat positif et un nombre impair donne un résultat négatif.

📖 4. Nombres rationnels et périodiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Fraction : Le quotient de deux nombres entiers relatifs, avec un dénominateur non nul, le premier étant le numérateur et le second le dénominateur.
• Nombre rationnel : Un nombre qui peut s’écrire sous la forme d’une fraction, et son écriture décimale est finie ou périodique.

★ À maîtriser

• Pour transformer un nombre périodique en fraction, on pose le nombre égal à x, on multiplie par une puissance de 10 correspondant à la longueur de la période, on soustrait les égalités, on isole x et on simplifie la fraction.

Compléments

• La transformation de 0,27 périodique donne $100x-x=27$, donc $99x=27$ et finalement $x=\frac{3}{11}$.

📖 5. Opérations sur les fractions

★ À maîtriser

• Pour additionner ou soustraire des fractions, on les réduit au même dénominateur, on additionne ou soustrait les numérateurs, on conserve le dénominateur commun et on simplifie si possible.

• Pour multiplier des fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, puis on simplifie la fraction obtenue.

Compléments

• Lors d’une multiplication de fractions, il est préférable de simplifier les facteurs avant d’effectuer les produits afin de faciliter le calcul.

• Pour calculer $\frac{18}{24}-\frac{7}{14}$, on obtient $\frac34-\frac12=\frac14$ après réduction et mise au même dénominateur.

📖 6. Fractions, pourcentages et conversions

🔑 Notions clés & Définitions

• Inverse : Deux nombres sont inverses l’un de l’autre lorsque leur produit est égal à 1.
• Fraction d’un nombre : Calculer une fraction d’un nombre consiste à multiplier ce nombre par le numérateur, puis à diviser le résultat par le dénominateur.
• Pourcentage : Une fraction dont le dénominateur est 100, et a % représente la fraction $\frac{a}{100}$.

📝 Points essentiels

• L’inverse d’une fraction non nulle s’obtient en échangeant son numérateur et son dénominateur.

• Pour diviser deux fractions, on conserve la première, on prend l’inverse de la seconde, on remplace la division par une multiplication, puis on applique la règle de multiplication des fractions.

📖 7. Priorité des opérations

★ À maîtriser

• Pour convertir une écriture décimale finie en fraction, on l’écrit avec un dénominateur égal à une puissance de 10, puis on simplifie.

• Pour convertir une écriture décimale en pourcentage, on la multiplie par 100 et on ajoute le symbole %, tandis que pour convertir un pourcentage en décimal, on le divise par 100.

• Pour calculer une expression, on effectue successivement les parenthèses, les puissances et les racines, les multiplications et divisions de gauche à droite, puis les additions et soustractions de gauche à droite.

Compléments

• Pour convertir une fraction en écriture décimale, on divise le numérateur par le dénominateur.

• Pour convertir une fraction en pourcentage, on la transforme en décimal puis on multiplie par 100, ou on l’écrit comme une fraction de dénominateur 100 avant de simplifier.

• Une barre de fraction regroupe l’intégralité du numérateur et l’intégralité du dénominateur avant d’effectuer la division.

📊 Tableaux de synthèse

Conversions entre écritures