Fiche de révision : Notions clés en mathématiques élémentaires

📋 Plan du Cours

1. Pourcentages et variations
2. Puissances et ordres de grandeur
3. Calculs algébriques
4. Fonctions et inéquations graphiques
5. Équations et tableaux de signes
6. Lecture de diagrammes statistiques

📖 1. Pourcentages et variations

🔑 Notions clés & Définitions

• Pourcentage : Un pourcentage exprime une proportion en la rapportant à 100, ce qui permet de convertir une partie en fraction.
• Variation relative : Une variation relative mesure l’évolution d’une grandeur en proportion de sa valeur de départ.

📝 Points essentiels

• Retrouver le prix initial après une baisse de 50 % revient à multiplier le prix baissé par 2, donc à augmenter de 100 % par rapport au prix baissé.
• Une baisse de 50 % correspond à un coefficient multiplicateur 0,5, car 100 % − 50 % = 50 % du prix initial.
• Passer de 250 € à 200 € correspond à une multiplication par 0,8, car 200/250 = 0,8.

💡 Astuce mémo

Baisse de p % ⇒ coefficient 1 − p/100 (ex. 50 % ⇒ 0,5).

📖 2. Puissances et ordres de grandeur

🔑 Notions clés & Définitions

• Exposants : Un exposant indique le nombre de fois où une base est multipliée par elle-même, via les règles de calcul sur les puissances.
• Écriture scientifique : Une écriture de type a×10^n décrit un nombre comme produit par une puissance de 10, pratique pour comparer des grandeurs.

📝 Points essentiels

• Pour comparer des masses données sous forme a×10^n, on compare d’abord les exposants n puis on compare les coefficients quand n est identique.
• Une feuille a une épaisseur 70×10^-3 mm, donc 2 000 feuilles donnent 70×2000×10^-3 mm = 140000×10^-3 mm = 140 mm = 14 cm.
• L’épaisseur d’une pile de feuilles se calcule en multipliant l’épaisseur d’une feuille par le nombre de feuilles, en gardant les unités.

💡 Astuce mémo

Coefficient × 10^n : compare d’abord n (l’ordre de grandeur), puis le coefficient.

📖 3. Calculs algébriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Développement d’un carré : Développer un carré revient à utiliser $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ pour obtenir une expression polynomiale.
• Mise sous forme polynomiale : Mettre une expression sous forme $ax^2+bx+c$ consiste à regrouper et simplifier les termes pour comparer facilement.

📝 Points essentiels

• Ajouter $x$, son triple $3x$, et son carré $x^2$ revient à obtenir $4x+x^2$.
• $(x+3x)^2$ simplifie d’abord $x+3x$ en $4x$, puis donne $16x^2$, ce qui n’égale pas $x+3x+x^2$.
• L’expression $x+(3x)^2$ vaut $x+9x^2$ et ne correspond pas au résultat $x+3x+x^2$.

💡 Astuce mémo

Somme demandée : $x + 3x + x^2$ ⇒ pense “linéaire + linéaire + carré”.

📖 4. Fonctions et inéquations graphiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Inéquation : Une inéquation compare deux expressions et décrit un ensemble de valeurs qui rendent la relation vraie.
• Interprétation graphique : Résoudre une inéquation avec deux courbes consiste à repérer où l’une est en dessous ou au-dessus de l’autre.

📝 Points essentiels

• Pour résoudre $f(x)\le g(x)$ à partir de deux courbes, on retient les abscisses où la courbe de $f$ est en dessous de la courbe de $g$ ou confondue avec elle.
• Si les zones où $f(x)\le g(x)$ sont sur deux intervalles disjoints, l’ensemble solution est une union d’intervalles, pas une intersection.
• Les réponses ensemblistes utilisent les symboles d’union $\cup$ et d’intersection $\cap$ : union si c’est “ou”, intersection si c’est “et”.

💡 Astuce mémo

$\le$ signifie “en dessous ou égal” ⇒ zones sous la courbe $g$.

📖 5. Équations et tableaux de signes

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation $f(x)=0$ : Résoudre $f(x)=0$ revient à trouver les abscisses où la courbe coupe l’axe des ordonnées.
• Tableau de signes : Un tableau de signes organise les valeurs possibles de $x$ et indique le signe de $f(x)$ sur chaque intervalle.

📝 Points essentiels

• Sur une courbe, le nombre de solutions de $f(x)=0$ correspond au nombre de points d’intersection avec l’axe $y=0$.
• Une table de signes de type $+\,\,0\,\,$ indique que $f(x)$ est positive avant la valeur où elle s’annule, puis négative après.
• Si le tableau indique $f(x)>0$ sur $(-\infty,2)$, $f(2)=0$ et $f(x)<0$ sur $(2,+\infty)$, la formule de $f$ doit avoir une racine en $x=2$ et changer de signe en passant de gauche à droite.

💡 Astuce mémo

Table de signes : plus à gauche, zéro au point, moins à droite ⇒ la fonction coupe l’axe et change de signe.

📖 6. Lecture de diagrammes statistiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Diagramme en barres : Un diagramme en barres compare des quantités pour différentes catégories à l’aide de hauteurs de barres.
• Catégories de provenance : Les catégories correspondent ici aux origines de production d’électricité, chacune associée à une hauteur indiquant la valeur en Twh.

📝 Points essentiels

• L’année cherchée est celle dont la barre correspondant à l’origine hydraulique a la plus grande hauteur.
• On lit directement “l’intervalle année” de la barre la plus haute pour l’origine hydraulique, sans calcul.
• L’unité indiquée est le térawatt-heure (Twh), donc les grandeurs se comparent entre elles sur le même diagramme.

💡 Astuce mémo

“Origine hydraulique” ⇒ repérer les barres hydrauliques et choisir la plus haute.

📅 Repères chronologiques

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre “baisse de p %” avec “augmentation de p %” : la multiplication n’est pas la même car le coefficient change.
2. Oublier de convertir correctement les puissances de 10 dans l’épaisseur : 10^-3 mm doit être traité avant de passer à cm.
3. Passer à côté du changement de signe dans un tableau : un signe “+ 0 −” impose une racine réelle et un échange de signe.
4. Confondre union et intersection : $[a,b]\cup[c,d]$ correspond à “ou”, tandis que $[a,b]\cap[c,d]$ correspond à “et”.
5. Isoler une variable sous une racine carrée : $\sqrt{C}$ donne deux valeurs possibles si on ne fixe pas le signe, alors que les choix proposés peuvent lever l’ambiguïté.
6. Lire $f(x)=0$ comme une inéquation : c’est une égalité, donc on compte seulement les intersections avec l’axe $y=0$.
7. Dire que la “solution” graphique de $f(x)\le g(x)$ correspond à “f au-dessus de g”, alors que c’est l’inverse pour $\le$.

✅ Checklist Examen

1. Savoir convertir un pourcentage en coefficient multiplicateur (ex. baisse p % ⇒ coefficient 1−p/100).
2. Savoir retrouver la valeur initiale après une baisse et exprimer l’augmentation équivalente en pourcentage.
3. Savoir interpréter un passage de prix avec un facteur multiplicateur à partir du rapport final/initial.
4. Savoir développer un carré pour reconnaître l’expression correspondant à une somme $x+3x+x^2$.
5. Savoir utiliser les règles de puissances pour vérifier rapidement une égalité proposée sur les exposants.
6. Savoir faire un calcul d’épaisseur avec une écriture en $10^{-3}$ puis convertir en mm/cm.
7. Savoir décider où $f(x)\le g(x)$ à partir de deux courbes et exprimer l’ensemble en union/intersection d’intervalles.
8. Savoir compter les solutions de $f(x)=0$ sur une courbe via les intersections avec l’axe $y=0$.
9. Savoir lire un tableau de signes et déduire les contraintes sur les racines et le changement de signe.
10. Savoir isoler une variable dans une relation du type $C=(1+t)^2$ en choisissant la bonne forme proposée.
11. Savoir lire un diagramme en barres : repérer la catégorie demandée (hydraulique) et l’année de la barre maximale.