Fiche de révision : Notions clés en variations et symétries

📋 Plan du Cours

1. Variations, tableaux et extremums
2. Parité et fonctions de référence
3. Droites du plan

📖 1. Variations, tableaux et extremums

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction croissante : Fonction croissante : variation où la valeur augmente quand l’entrée augmente, ce qui se lit sur une courbe par une montée continue ou globalement ascendante.
• Fonction décroissante : Fonction décroissante : variation où la valeur diminue quand l’entrée augmente, ce qui se lit sur une courbe par une descente continue ou globalement descendante.
• Tableau de variations : Tableau de variations : représentation synthétique de la monotonie et des valeurs atteintes par une fonction sur un intervalle.

📝 Points essentiels

• Une fonction est croissante (resp. décroissante) sur un intervalle lorsque ses valeurs augmentent (resp. diminuent) quand $x$ augmente sur cet intervalle.
• Un tableau de variations se construit à partir d’une courbe en identifiant les intervalles où la courbe monte ou descend et les valeurs aux points remarquables.
• Tracer une courbe à partir d’un tableau revient à reproduire la forme et les montées/descendes en plaçant les extremums indiqués.
• Un maximum (resp. minimum) correspond à une valeur de la fonction plus grande (resp. plus petite) que celles prises au voisinage dans l’intervalle étudié.

💡 Astuce mémo

Monotonie = sens de la pente : montée pour croissante, descente pour décroissante.

📖 2. Parité et fonctions de référence

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction paire : Fonction paire : fonction vérifiant que $f(-x)=f(x)$, ce qui se traduit par une symétrie de la courbe par rapport à l’axe des ordonnées.
• Fonction impaire : Fonction impaire : fonction vérifiant que $f(-x)=-f(x)$, ce qui se traduit par une symétrie centrale par rapport au point d’origine.
• Fonctions de référence : Fonctions de référence : fonctions dont on connaît les variations et la parité afin d’exploiter ces propriétés pour étudier d’autres fonctions.

📝 Points essentiels

• Montrer qu’une fonction est paire revient à vérifier l’égalité $f(-x)=f(x)$ sur l’ensemble de définition concerné.
• Montrer qu’une fonction est impaire revient à vérifier l’égalité $f(-x)=-f(x)$ sur l’ensemble de définition concerné.
• La symétrie axiale (paire) signifie que la courbe à gauche est le miroir de celle à droite par rapport à l’axe des ordonnées.
• Les variations et parités des fonctions de référence servent à établir des inégalités en comparant le signe et l’ordre des valeurs selon $x$.

💡 Astuce mémo

Paire : miroir (axe), impaire : rotation (origine).

📖 3. Droites du plan

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur directeur : Vecteur directeur : vecteur non nul qui décrit la direction d’une droite dans le plan.
• Équation cartésienne d’une droite : Équation cartésienne d’une droite : forme en coordonnées $x$ et $y$ qui décrit l’ensemble des points vérifiant une condition algébrique.
• Droite du plan : Droite du plan : ensemble des points alignés, caractérisé par une direction et un point (ou par une équation).

📝 Points essentiels

• À partir d’une représentation graphique, un vecteur directeur s’obtient en repérant le déplacement associé au passage d’un point de la droite à un autre (même direction).
• Construire une droite à partir d’un vecteur directeur et d’un point consiste à prendre tous les points atteignables en suivant la direction donnée depuis ce point.
• Déterminer une équation cartésienne à partir d’un vecteur directeur et d’un point revient à écrire la condition d’alignement des points de la droite avec la direction et ce point.

💡 Astuce mémo

Direction + point = droite ; vecteur directeur donne le “sens”, point donne le “départ”.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre “croissante” et “décroissante” en lisant la courbe sans regarder le sens des $x$ (montée vs descente).
2. Déduire un extremum uniquement parce que la courbe “change de pente” : il faut une valeur maximale ou minimale au voisinage selon l’intervalle.
3. Dire qu’une fonction est paire/impair sans vérifier sur l’ensemble de définition (une égalité peut échouer hors domaine).
4. Mélanger symétrie axiale et symétrie centrale : la paire est miroir par rapport à l’axe des ordonnées, l’impair une rotation autour de l’origine.
5. Oublier que le vecteur directeur doit être non nul : un vecteur nul ne donne pas une direction de droite.
6. Chercher l’équation cartésienne sans relier direction et point : la cohérence avec le vecteur directeur est indispensable.

✅ Checklist Examen

1. Construire un tableau de variations d’une fonction à partir de sa courbe en repérant les intervalles de croissance et de décroissance.
2. Lire sur une courbe les extremums d’une fonction et les reporter dans le tableau de variations.
3. Tracer une courbe à partir d’un tableau de variations en respectant le sens des variations et les valeurs aux points clés.
4. Identifier si une fonction est paire en vérifiant $f(-x)=f(x)$ sur le domaine étudié.
5. Identifier si une fonction est impaire en vérifiant $f(-x)=-f(x)$ sur le domaine étudié.
6. Relier parité à la symétrie graphique : paire à l’axe des ordonnées et impaire à la symétrie centrale autour de l’origine.
7. Utiliser les variations et parités des fonctions de référence pour conclure sur le sens d’une inégalité.
8. Déterminer un vecteur directeur d’une droite à partir d’un graphique en repérant un déplacement suivant la direction de la droite.
9. Construire la droite passant par un point et de direction donnée par un vecteur directeur.
10. Écrire l’équation cartésienne d’une droite à partir d’un vecteur directeur et d’un point en exprimant la condition d’alignement.